ἈΡΧΙΜΉΔΟΥΣ ΣΤΟΜΆ ΧIΟΝ

Τοῦ λεγομένου στομαχίου ποικί λαν ἔχοντος τα ἐξ ὧν συνέστακε σχημάτων μεταθέσεως θεωρία θεωρίαν ἀναγκαῖον ἡγησάμην πράον πράττον του ὅλου σ χάμ ατ ος μέγεθος θεω ρῶν ἐκθέσθαι, εἴς τε ἃ διαιρεῖται, ἕκαστόν τε αὐτῶν τίνι ἐστὶ ἴσον καὶ ὁ μοιον, ἔτι δὲ καὶ ποῖαι γωνίαι συ νοδοιο λαμβανόμεναι καὶ κ α θ’ ἃς εἴρηται πρὸς τὸ τὰς ἐναρμόσεις τῶν ἐξ αὐτῶν γεννωμένων σχα μάτων γιγνώσκεσθαι, ε ἴ τε ἐπ’ εὐ θείας εἰσὶν αἱ γεννώμεναι ἐν τοῖς σχάμασι πλευραί, εἴτε καὶ μικρῶς λιποῦσαι τᾶι θεωρίαι λανθά νουσιν· τὰ γὰρ τοιαῦτα φιλότεχνα· καὶ ἐὰν ἐλάχιστον μὲν λίπηται, τᾶ δὲ θεωρίαι λανθάνηι, οὐ παρὰ τοῦ τ’ ἐστὶν ἔκβλητα ἃ συνίσταται.

ἔστι μὲν οὖν ἐξ αὐτῶν οὐκ ὀλίγων σχαμάτ σχαμάτων πλῆθος διὰ τὸ εισχεν αυτος εἶναι εἰς ἕτερον τόπου τοῦ ἴσου καὶ ἰσο γωνίου σχάματος μετατιθεμέν μετατιθεμένου καὶ ἑτέραν θέσιν λαμβάνοντος. ὅ τε δὲ καὶ δύο σχήματα συνάμφω ἑνὶ σχήματι ἴσων ὄντων καὶ ὁμοί ων τῶι ἑνὶ σχήματι ἢ καὶ δύο σχη μάτων συνάμφω ἴσων τε καὶ ὅμοι ον ὄντων δυσὶ σχήμασι συνάμφω πλείονα σχήματα συνίσταται ἐ κτὸς μεταθέσεως. προγραφόμε νον οὖν τι θεώρημα εἰς αὐτὸ συντεῖ νον.

ἔστω γὰρ παραλληλόγραμ μον ὀρθογώνιον τὸ ΖΓ, καὶ δεδικάσθω ἡ ΕΖ τῶι Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τῶν ΓΕ αἱ ΓΚ ΒΕ δεικτέον μεί ζων ἐστὶν ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ ἐκβεβλήσ θωσαν αἱ ΓΚ ΒΖ καὶ συμπιπτέ τωσαν κατ ὰ τὸ Δ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΚ τῆι ΚΖ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ΓΕ, τουτ τουτέστιν ἡ ΒΖ, τῆι ΖΔ· ὥστε μείζων ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ· καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΖΔΓ τῆς ὑπὸ τῶν ΖΓΔ μείζων ἐστίν. ἴσαι δέ εἰσιν αἱ ὑπὸ ΗΒΔ ΒΓΖ· ἡμίσεια γὰρ ὀρθῆς ἑκατέρα· μεί ζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΓΖΒ· ἡ γὰρ γὰρ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ ΗΒΔ ΗΔΒ, τῆς ὑπὸ τῶν ΗΓΒ· ὥστε μείζων ἐστὶν ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ. ἐὰν ἄρα δίχα τμη θῆι ἡ ΓΗ κατὰ Χ, ἔσται ἅμα λεία μ μὲν ἡ ὑπὸ ΓΧΒ· ἐπεὶ γὰρ ἴση ἡ ΓΧ τῆι ΧΒ, καὶ κοινὴ ἡ ΧΒ, δύο δυσὶν ἴσαι· καὶ βάσεις ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ μείζων· καὶ ἡ γωνία ἄρα τῆς γωνίας μείζω μείζων εἰσὶν ἀμβλεῖα μὲν ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΧΒ, ὀξεῖα δὲ ἡ ἐφεξῆς. ἡμίσεια δ ὲ ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΓΒΗ· ἰσοπλεύρου ὑποκειμέ νου τοῦ παραλληλογράμμου· ὀξεῖ α δὲ ἡ ὑπὸ ΒΧΗ. ἡμίσειαι δέ εἰσιν ἴσ αι αἱ λοιπαὶ ΓΒΗ. καὶ συνίσταται καὶ διαιρεῖται τὸν τρίποντον τόμ. τ ό μ ον.

ἔστω γὰρ ἴδιον διπλασιόπλευρον ὀρ θογώνιον ὡς πραες τὸ ΑΒ διπλα σιαν ἔχοντα τὴν ΓΑ τῆς ΓΒ διά μετρον ἔχον ἔχον τὸ παχοση αθ πο τα τ λι μορι τει δύνασθαι ἁρμόζειν ὡς εὐθεί εὐθείας τῶν τομῶν ἐχουσῶν τάξιν.

καὶ τ ε τμήσθω ἡ ΓΑ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ διὰ τοῦ Ε τῆι ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ· ἔστιν οὖν τετράγωνα τὰ ΓΖ ΖΑ. ἤχθωσαν διάμετροι αἱ ΓΔ ΒΕ ΕΔ, καὶ τετμήσθωσαν δίχα αἱ ΓΗ ΕΔ κατὰ τὰ ΘΧ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΘ ΧΖ, καὶ διὰ τῶν ΟΚ τῆι ΒΔ πα ράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΚΛ ΟΞ. δι ὰ τὸ προκείμενον ἄρα θεώρημα τοῦ ΒΓΘ τριγώνου ἡ πρὸς τῶι Θ γ ωνία ἀμβλεῖα, ἡ δὲ λοιπὴ ὀξεῖα. φα νερὸν φανερὸν δὴ ὅτι ὀξεῖά ἐστιν.