σαμεῖον, ὁ ΜΝ· ἐν τούτῳ δὴ τῷ χρόνῳ καὶ τὸ ἕτερον σαμεῖον διαπορεύεται τὰν ΖΗ. πάλιν δὴ καὶ ἐν ᾧ τὰν ΔΕ γραμμὰν δι επορεύετο τὸ σαμεῖον, ἔστω ὁ ΝΞ χρόνος· ἐν τούτῳ δὴ καὶ τὸ ἕτερον σαμεῖον διαπορεύεται τὰν ΗΘ· τὸν αὐτὸν δὴ λόγον ἑξοῦντι ἅ τε ΓΔ ποτὶ τὰν ΔΕ γραμμάν, ὃν ὁ χρόνος ὁ ΜΝ ποτὶ ΝΞ, καὶ ἁ ΖΗ ποτὶ τὰν ΗΘ, ὃν ὁ χρόνος ὁ ΜΝ ποτὶ τὸν ΝΞ. δῆλον οὖν ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ ΓΔ ποτὶ τὰν ΔΕ, ὃν ἁ ΖΗ ποτὶ τὰν ΗΘ.

κύκλων δοθέντων ὁποσων οῦν τῷ πλήθει δυνατόν ἐστιν εὐθεῖαν λαβεῖν μείζονα ἐοῦσαν τᾶν τῶν κύκλων περιφερειᾶν.

περιγραφέντος γὰρ περὶ ἕκαστον τῶν κύκλων πολυγώνου δῆλον ὡς ἁ ἐκ πα σᾶν συγκειμένα τᾶν περιμέ τρων εὐθεῖα μείζων ἐσσεῖται πα σᾶν τᾶν τῶν κύκλων περιφε

θεμένα ὑπερέξει τᾶς εὐθείας, καὶ εἰς τοσαῦτα ἴσα διαιρεθείσας τᾶς εὐθείας τὸ ἓν τμᾶμα ἔλασσον ἐσσεῖ ται τᾶς ὑπεροχᾶς. εἰ μὲν οὖν καὶ ἁ περιφέρεια μείζων τᾶς εὐ θείας, ἑνὸς τμάματος ποτι τεθέντος ποτὶ τὰν εὐθεῖαν τᾶς μὲν ἐλάσσονος τᾶν δοθεισᾶν δῆλον ὡς μείζων ἐσσεῖται, τᾶς δὲ μείζονος ἐλάσσων· καὶ γὰρ ἁ ποτικειμένα ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ὑπεροχᾶς.

κύκλου δοθέντος καὶ εὐθείας ἐπιψαυούσας τοῦ κύκλου δυνατόν ἐστιν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἀγαγεῖν εὐθεῖ αν ἐπὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, ὥστε τὰν μεταξὺ τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἢ ἁ περι φέρεια τοῦ κύκλου ἁ μεταξὺ τᾶς ἁφᾶς καὶ τᾶς διαχθείσας πο τὶ τὰν δοθεῖσαν ὁποιανοῦν κύ κλου περιφέρειαν.

δεδόσθω κύκλος ὁ ΑΒΓ, κέντρον δὲ αὐτοῦ τὸ Κ, καὶ ἐπιψαυέτω τοῦ κύκλου ἁ ΔΖ κατὰ τὸ Β, δεδόσθω δὲ καὶ κύκλου περι ἔχει ἁ ΘΖ ποτὶ τὰν ΘΚ, ὃν ἁ ΒΘ ποτὶ τὰν ΘΗ. ἁ ἄρα ΖΘ ποτὶ τὰν ΘΚ ἐλάσσο να λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἁ ΒΘ περιφέρεια ποτὶ τὰν δοθεῖσαν περιφέρειαν, διότι ἁ μὲν ΒΘ εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ΒΘ περιφερείας, ἁ δὲ ΘΗ μεί ζων τᾶς δοθείσας περιφερείας· ἐλάσσονα οὖν λόγον ἔχει καὶ ἁ ΖΘ ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου ἢ ἁ ΒΘ περιφέρεια ποτὶ τὰν δοθεῖσαν περιφέρειαν. ἑξῆς τὸ σ σχῆμα

κύκλου δοθέντος καὶ ἐν τῷ κύκλῳ γραμμᾶς ἐλάσσονος τᾶς διαμέ τρου δυνατὸν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ποτὶ τὰν περιφέρειαν αὐτοῦ ποτιβαλεῖν εὐθεῖαν τέμνου σαν τὰν ἐν τῷ κύκλῳ δεδομέναν γραμμάν, ὥστε τὰν ἀπολαφθεῖ σαν εὐθεῖαν μεταξὺ τᾶς περιφε ρείας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ δεδομένας ποτὶ τὰν ἐπι ζευχθεῖσαν ἀπὸ τοῦ πέρατος τᾶς ποτιπεσούσας τοῦ ἐπὶ τᾶς περιφε ρείας ποτὶ τὸ ἕτερον μέρος τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ δεδομένας εὐθείας τὸν ταχθέντα λόγον ἔχειν, εἴ κα ὁ δοθεὶς λόγος ἐλάσσων ᾖ τοῦ

δὲ αὐτοῦ τὸ Κ, καὶ ἐν αὐτῷ δεδόσθω εὐθεῖα ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἁ ΓΑ, καὶ λόγος, ὃν ἔχει ἁ Ζ ποτὶ Η, ἐλάσσων τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΓΘ ποτὶ τὰν ΚΘ, καθέ του ἐούσας τᾶς ΚΘ· ἄχθω δὲ ἀπὸ τοῦ κέντρου παρὰ τὰν ΑΓ ἁ ΚΝ καὶ τᾷ ΚΓ πρὸς ὀρθὰς ἁ ΓΛ· ὁμοῖα δή ἐστι τὰ ΓΘΚ, ΓΚΛ τρίγωνα. ἔστιν οὖν ὡς ἁ ΓΘ ποτὶ τὰν ΘΚ οὕτως ἁ ΚΓ πο τὶ τὰν ΓΛ· ἐλάσσω ἄρα λόγον ἔχει ἁ Ζ ποτὶ τὰν Η ἢ ἁ ΚΓ ποτὶ τὰν ΓΛ. ὃν δὴ λόγον ἔχει ἁ Ζ ποτὶ τὰν Η, τοῦτον ἐχέτω ποτὶ μείζονα τᾶς ΓΛ. ἐ χέτω τὰν ΒΝ, κείσθω δὲ ἁ ΒΝ με ταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ τᾶς εὐθείας διὰ τοῦ Γ· δυνατὸν δέ ἐστιν οὕτως τέμνειν· καὶ πεσεῖται ἐκτός, ἐπὶ μείζων ἐστὶν τᾶς ΓΛ. ἐπεὶ οὖν ἁ ΚΓ ποτὶ ΒΝ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἁ Ζ ποτὶ Η, καὶ ἁ ΕΒ ποτὶ ΒΓ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ὃν ἁ Ζ ποτὶ Η. ἑξῆς τὸ σχῆμα.

ΞΓ ποτὶ ΚΒ, καὶ λοιπὰ ἁ ΙΓ ποτὶ λοιπὰν τὰν ΒΕ ἐστὶν ὡς ἁ ΞΓ ποτὶ ΓΚ. ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ΞΓ ποτὶ ΓΚ, τοῦ τον ἔχει ἁ Η ποτὶ Ζ· ποτιπέπτωκεν δὴ ἁ ΚΕ ποτὶ τὰν ἐκβεβλημέναν, καὶ ἁ μεταξὺ τᾶς ἐκβεβλημένας καὶ τᾶς περιφερειὰς ἁ ΒΕ ποτὶ τὰν ΓΙ τὰν ἀπὸ τᾶς ἐπιψαυούσας ἀ πολαφθεῖσαν τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἁ Ζ ποτὶ τὰν Η. ἑξ ἑξῆς ἡ καταγραφή.

εἴ κα γραμμαὶ ἑξῆς τεθέωντι ὁπο σαιοῦν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερ έχουσαι, ᾖ δὲ ἁ ὑπεροχὰ ἴσα τᾷ ἐλαχίστᾳ, καὶ ἄλλαι γραμμαὶ τεθέωντι τῷ μὲν πλήθει ἴσαι ταύταις, τῷ δὲ μεγέθει ἑκάστα μεγίστᾳ, τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ ποτιλαμβά νοντα τό τε ἀπὸ τᾶς μεγίστας τετράγωνον καὶ τὸ περιεχόμε νον ὑπό τε τᾶς ἐλαχίστας καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχούσαις τριπλά σια ἐσσοῦνται τῶν τετραγώνων πάντων τῶν ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν.

ἔστωσαν γραμμαὶ ὁποσαιοῦν ἐφε ξῆς κείμεναι τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑ περέχουσαι αἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ, ἁ δὲ Θ ἴσα ἔστω τᾷ ὑπεροχᾷ, ποτικεί σθω δὲ ποτὶ τὰν Β ἴσα τᾷ Θ ἁ Ι, πο τὶ δὲ τὰν Γ ἁ Κ ἴσα τᾷ Η, ποτὶ δὲ τὰν ΔΛ ἁ Λ ἴσα τᾷ Ζ, ποτὶ δὲ τὰν Ε ἁ Μ ἴσα τᾷ Ε, ποτὶ δὲ τὰν Ζ ἁ Ν ἴσα τᾷ Δ, ποτὶ δὲ τὰν Η ἁ Ξ ἴσα τᾷ Γ, πο τὶ δὲ τὰν Θ ἁ Ο ἴσα τᾷ Β· ἐσσοῦνται δὲ αἱ γενόμεναι ἴσαι ἀλλάλαις καὶ τᾷ μεγίστᾳ. δεικτέον οὖν ὅτι τὰ τετρά γωνα τὰ ἀπὸ πασᾶν τᾶς τε Α καὶ τᾶν γενομενᾶν ποτιλαβόντα τό τε ἀπὸ τᾶς Α τεράγωνον καὶ τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ τρι πλάσιά ἐντι τῶν τετραγώνων πάντων τῶν ἀπὸ τᾶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ.

ἔστιν δὴ τὸ μὲν ἀπὸ τᾶς ΒΙ τε τράγωνον ἴσον τοῖς ἀπὸ τᾶν Ι, Β τετραγώνοις καὶ δύο τοῖς ὑπὸ Β, Ι περιεχομένοις, τὸ δὲ ἀπὸ τᾶς ΚΓ ἴσον τοῖς ἀπὸ τᾶν Κ, Γ τετραγώ νοις καὶ δύο τοῖς ὑπὸ τᾶν Κ, Γ περι εχομένων· ὁμοίως δὴ καὶ τὰ ἀ πὸ τᾶν ἀλλᾶν τᾶν ἰσᾶν τᾷ Α τετράγωνα ἴσα ἐντὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τμαμάτων τετραγώνοις καὶ δυσὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τμαμάτων περι εχομένοις. τὰ μὲν οὖν ἀπὸ τᾶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν Ι, Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ, ΟΠ ποτιλαβόντα τὸ ἀπὸ τᾶς Α τετράγωνον διπλάσιά ἐντι τῶν ἀπὸ τᾶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ τετραγώνων· λοιπὸν δὲ ἐπιδειξοῦμες ὅτι τὰ δι πλάσια τῶν περιεχομένων ὑ πὸ τῶν τμαμάτων ἐν ἑκατέρα γραμμᾷ τᾶν ἰσᾶν τᾷ Α ποτι λαβόντα τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ ἴσα ἐντὶ τοῖς ἀπὸ τᾶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ. καὶ ἐπεὶ δύο μὲν τὰ ὑπὸ Β, Ι περιεχόμενα ἴσα δυσὶ τοῖς ὑπὸ τᾶν Β, Θ περιεχο μένοις, δύο δὲ τὰ ὑπὸ τᾶν Κ, Γ ἴ σα τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς τετραπλασίας τᾶς Γ διὰ τὸ τὰν Κ διπλασίονα εἶ μεν τᾶς Θ, δύο δὲ τὰ ὑπὸ τᾶν Δ, Λ ἴσα τῷ ὑπὸ τᾶς Θ καὶ τᾶς ἑξα πλασίας τᾶς Δ διὰ τὸ τὰν Λ τριπλα σίαν εἶμεν τᾶς Θ, ὁμοίως δὲ καὶ τἄλλα τὰ διπλάσια τὰ περιε χόμενα ὑπὸ τῶν τμαμάτων ἴσα ἐντὶ τῷ περιεχομένῳ ὑ πό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς πολλαπλα σίας ἀεὶ κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθ μοὺς ἀρτίους τᾶς ἑπομένας γραμμᾶς, τὰ οὖν σύμπαντα πο τιλαβόντα τὸ περιεχόμενον ὑ πό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πά σαις ταῖς Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ ἐσσοῦνται ἴσα τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις τᾷ τε Α καὶ τᾷ τριπλασίᾳ τᾶς Β καὶ τᾷ πενταπλασίᾳ τᾶς Γ καὶ ἀεὶ τᾷ περισσᾷ κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθμοὺς περισσοὺς πολλαπλα σίους τᾶς ἑπομένας γραμμᾶς. ἐντὶ δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ τετράγωνα ἴσα τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τᾶν αὐτᾶν γραμ μᾶν. ἔστι γὰρ τὸ ἀπὸ τᾶς Α τε τράγωνον ἴσον τῷ περιεχομέ νῳ ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις τᾷ τε Α καὶ τᾷ ἴσᾳ ταῖς λοιπαῖς, ἇν ἑκάστα ἴσα τᾷ Α· ἰσάκις γὰρ μετρεῖ ἅ τε Θ τὰν Α καὶ ἁ Α τὰς ἴσας αὐτᾷ πά σας ἐν τᾷ Α· ὥστε ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ Α τετράγωνον τῷ περιεχο μένῳ ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴ σας τᾷ Α καὶ τᾷ διπλασίᾳ τᾶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ· αἱ γὰρ ἴσαι τᾷ Α πᾶσαι χωρὶς τᾶς Α διπλάσιαί ἐντι τᾶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ. ὁμοίως δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β τετράγωνον ἴσον ἐντὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας τᾷ τε Β καὶ τᾷ διπλασίᾳ τᾶν Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ, ὁμοί ως δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν ἀλλᾶν τε τράγωνα ἴσα ἐντὶ τοῖς περιε χομένοις ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας αὐτᾷ τε καὶ τᾷ διπλασίᾳ τᾶν λοιπᾶν. δῆλον οὖν ὅτι τὰ ἀ πὸ πασᾶν τετράγωνα ἴσα ἐν τὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις τᾷ τε Α καὶ τᾷ τριπλασίᾳ τᾶς Β καὶ τᾷ πενταπλασίᾳ τᾶς Γ καὶ τᾷ κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθμοὺς πε ρισσοὺς πολλαπλασίᾳ τᾶς ἑπομένας.

ἐκ τούτου οὖν φανερὸν ὅτι τὰ τε τράγωνα πάντα τὰ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ τῶν μὲν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν ἐλάσσονά ἐστιν ἢ τριπλάσια, ἐπειδὴ ποτιλα βόντα τινὰ τριπλάσιά ἐντι, τῶν δὲ λοιπῶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας τετραγώνου μείζονα ἢ τριπλάσια, ἐπειδὴ τὰ ποτιλα φθέντα ἐλάσσονά ἐντι ἢ τριπλά σια τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας τετρα γώνου. καὶ τοίνυν, εἴ κα ὁμοῖα εἴδεα ἀναγραφέωντι ἀπὸ πασᾶν, ἀ πὸ τὲ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερ εχουσᾶν καὶ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ με γίστᾳ τῶν μὲν ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν εἰδέων ἐλάσσονα ἐσσοῦνται ἢ τριπλά σια, τῶν δὲ λοιπῶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας εἴδεος μείζο να ἢ τριπλάσια· τὸν γὰρ αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον τὰ ὁμοῖα εἴδεα τοῖς τετραγώνοις.

εἴ κα γραμμαὶ ἑξῆς τεθέωντι ὁποσαι οῦν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερέχου σαι, καὶ ἄλλαι γραμμαὶ τεθέων τι τῷ μὲν πλήθει μιᾷ ἐλάσσον ες τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν, τὸ δὲ μεγέθει ἑκάστα ἴσα τᾷ μεγίσ τᾳ, τὰ τετράγωνα πάντα τὰ ἀ πὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ ποτὶ μὲν τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τᾶς ἐλαχίστας ἐλάσσονα λόγον ἔ χοντι ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μεγίστας ποτὶ τὸν ἴσον ἀμφοτέ ροις τῷ τε περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς μεγίστας καὶ τᾶς ἐλαχίστας καὶ τῷ τρίτῳ μέρει ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς τετραγώνω, ᾇ ὑπερέχει τὰ μεγίστα τᾶς ἐλαχίστας, ποτὶ δὲ τὰ τετράγω να τὰ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας τετραγώνου μείζονα τοῦ αὐτοῦ λόγου.

ἔστωσαν γὰρ γραμ μαὶ ὁποσαιοῦν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑ περέχουσαι ἑξῆς κείμεναι, ἁ μὲν ΑΒ τᾶς ΓΔ, ἁ δὲ ΓΔ τᾶς ΕΖ, ἁ δὲ ΕΖ τᾶς ΗΘ, ἁ δὲ ΗΘ τᾶς ΙΚ, ἁ δὲ ΙΚ τᾶς ΛΜ, ἁ δὲ ΛΜ τᾶς ΝΞ, ποτικείσθω δὴ ποτὶ μὲν τὰν ΓΔ ἴσα μιᾷ ὑπεροχᾷ ἁ ΓΟ, ποτὶ δὲ τὰν ΕΖ ἴσα δυσὶν ὑπεροχαῖς ἁ ΕΠ, ποτὶ δὲ τὰν ΗΘ ἴσα τρισὶν ὑπεροχαῖς ἁ ΗΡ, καὶ ποτὶ τὰς ἄλλας τὸν αὐτὸν τρόπον· ἐσσοῦνται δὴ αἱ γενόμε ναι ἀλλάλαις ἴσαι καὶ ἑκάστα τᾷ μεγίστᾳ. δεικτέον οὖν ὅτι τὰ ἀπὸ πα σᾶν τᾶν γενομενᾶν τετράγωνα πο τὶ μὲν πάντα τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ πασᾶν τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ΝΞ τετραγώνου ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΒ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἴσον ἀμφοτέροις τῷ τε περι εχομένῳ ὑπὸ τᾶν ΑΒ, ΝΞ καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς ΝΥ τε τραγώνου, ποτὶ δὲ τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν αὐτᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΒ τετραγώνου μείζονα λόγον ἔχει τοῦ αὐτοῦ λόγου.

ἀπολελάφθω ἀφ’ ἑκάστας τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν ἴσα τᾷ ὑπεροχᾷ· ὃν δὴ λόγον ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΒ πο τὶ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΑΒ, ΦΒ περιεχόμενον καὶ τὸ τρίτον μέ ρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΦ τετραγώνου, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τό τε ἀπὸ τᾶς ΟΔ τετράγωνον ποτί τε τὸ περιε χόμενον ὑπὸ τᾶν ΟΔ, ΔΧ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΧΟ τε τραγώνου καὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀ πὸ τᾶς ΠΖ ποτὶ τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΠΖ, ΨΖ καὶ τὸ τρίτον μέ ρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΨΠ τετραγώνου καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν ἀλλᾶν τετράγωνα ποτὶ τὰ ὁμοίως λαμβανόμενα χωρία· καὶ τὰ πάντα δὴ τὰ ἀπὸ πασᾶν τᾶν ΟΔ, ΠΖ, ΡΟ, ΣΚ, ΤΜ, ΥΞ ποτί τε πάντα περιεχομέναν ὑ πό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς εἰρημέναις γραμμαῖς καὶ τὰ τριταμόρια τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΟΧ, ΠΨ, ΡΩ, ΣϠ, ΤϞ, ΥΝ τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον, ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΒ τετράγωνον ποτὶ τὰ συναμ φότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΑΒ, ΦΒ πε ριεχόμενον καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ ΦΑ τετραγώνου. εἰ οὖν κα δειχθῇ τό τε περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς ΟΔ, ΠΖ, ΡΘ, ΣΚ, ΤΜ, ΥΞ καὶ τὰ τρί τα μέρεα τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΟΧ, ΠΨ, ΡΩ, ΣϠ, ΤϞ, ΥΝ τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ, ΛΜ ἐλάττονα, τῶν δὲ τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ, ΛΜ, ΝΞ μείζονα, δε δειγμένον ἐσσεῖται τὸ προτε θέν.

ἐστὶ δὴ τὸ μὲν περιεχόμε νον ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς ΟΔ, ΠΖ, ΡΘ, ΣΚ, ΤΜ, ΥΞ καὶ τὰ τρίτα μέρεα τῶν τετρα γώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΟΧ, ΠΨ, ΡΩ, ΣϠ, ΤϞ, ΥΝ ἴσα τοῖς τετραγώνοις τοῖς ἀπὸ ΧΔ, ΨΖ, ΩΘ, ϠΚ, ϞΜ, ΝΞ καὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ ἴσας πάσαις ταῖς ΟΧ, ΠΨ, ΡΩ, ΣϠ, ΤϞ, ΥΝ καὶ τῷ τρί τῳ μέρει τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΟΧ, ΠΨ, ΡΩ, ΣϠ, ΤϞ, ΥΝ, τὰ δὲ ἀπὸ τᾶν ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ, ΛΜ τετράγωνα ἴσα τοῖς ἀπὸ τᾶν ΒΦ, ΧΔ, ΨΖ, ΩΘ, ϠΚ, ϞΜ τετραγώνοις καὶ τοῖς ἀπὸ τᾶν ΑΦ, ΓΧ, ΕΨ, ΜΩ, ΡϠ, ΛϞ καὶ τῷ περιεχομένῳ ὑ πὸ τᾶν ΒΦ καὶ τᾶς διπλασίας τᾶν ΑΦ, ΓΧ, ΕΨ, ΜΩ, ΙϠ, ΛϞ. κοινὰ μὲν οὖν ἐντι ἑκατέρων τὰ τετρά γωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ ΝΞ, τὸ δὲ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς ἴσας ταῖς ΟΧ, ΠΨ, ΩΡ, ϠΣ, ϞΤ, ΥΝ ἔλασσόν ἐστι τοῦ περι εχομένου ὑπό τε τᾶς ΒΦ καὶ τᾶς διπλασίας τᾶν ΑΦ, ΓΧ, ΕΨ, ΗΩ, ΙϠ, ΛϞ διὰ τὸ τὰς νῦν εἰρη μένας γραμμὰς ταῖς μὲν ΓΟ, ΕΠ, ΡΗ, ΙΣ, ΛΤ, ΥΝ ἴσας εἶμεν, τᾶν δὲ λοιπᾶν μείζονας, καὶ τὰ τετρά γωνα δὲ τὰ ἀπὸ τᾶν ΑΦ, ΓΧ, ΕΨ, ΗΩ, ΙϠ, ΛϞ· δέδεικται γὰρ τοῦτο ἐν τοῖς ἐπάνω· ἐλάττονα ἄρα ἐντὶ τὰ ῥηθέντα χωρία τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ, ΛΜ.

λοιπὸν δὲ δειξοῦμες ὅτι μείζονά ἐν τι τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ, ΛΜ, ΝΞ. πάλιν δὴ τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ, ΛΜ, ΝΞ ἴσα ἐντὶ τοῖς τε ἀπὸ τᾶν ΧΓ, ΕΨ, ΗΩ, ΙϠ, ΛϞ καὶ τῷ περιεχο μένῳ ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς δι πλασίας πασᾶν τᾶν ΓΧ, ΕΨ, ΗΩ, Ι Ϡ, ΛϞ. καί ἐστι κοινὰ μὲν τὰ ἀπὸ τᾶν ΧΔ, ΨΖ, ΩΘ, ϠΚ, ΜϞ, ΝΞ, μεῖζον δὲ τὸ ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς ΟΧ, ΠΨ, ΡΩ, ΣϠ, ΤϞ, ΥΝ τοῦ ὑπὸ τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς διπλασίας πασᾶν τᾶν ΓΧ, ΕΨ, ΗΩ, ΙϠ, ΛϞ, ἐντὶ δὲ καὶ τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ΧΟ, ΨΠ, ΩΡ, ϠΣ, ϞΤ, ΥΝ τῶν ἀπὸ τᾶν ΓΧ, ΕΨ, ΗΩ, ΙϠ, ΛϞ μείζονα ἢ τριπλάσια· δέ δεικται γὰρ καὶ τοῦτο· μείζονα ἄρα ἐν τὶ γα ῥηθέντα χωρία τῶν τετραγώ νων τῶν ἀπὸ τᾶν ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ, ΛΜ, ΝΞ.

καὶ τοίνυν εἴ κα ὁμοῖα ἀναγραφέων τι ἀπὸ πασᾶν, ἀπό τε τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν καὶ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ, εἴδεα, πάντα τὰ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερε χουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ἐλαχίσ τας εἴδεος ἐλάσσονα λόγον ἑξοῦν τι ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς με γίστας ποτὶ τὸ ἴσον ἀμφοτέροις τῷ τε περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς μεγίστας καὶ τᾶς ἐλαχίστας καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπε ροχᾶς, ᾇ ὑπερέχει ἁ μεγίστα τᾶς ἐ λαχίστας, ποτὶ δὲ τὰ ἀπὸ τᾶν αὐ τᾶν εἴδεα χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας μείζονα τοῦ αὐτοῦ λόγου· τὸν αὐτὸν γὰρ ἑξοῦντι λόγον τὰ ὁμοῖα εἴδεα τοῖς τετραγώνοις.

εἴ κα εὐθεῖα ἐπιζευχθῇ γραμμὰ ἐν ἐπιπέδῳ καὶ μέ νοντος τοῦ ἑτέρου πέρατος αὐτᾶς ἰσοταχέως περιενεχθεῖσα ὁσα κισοῦν ἀποκατασταθῇ πάλιν, ὅθεν ὥρμασεν, ἅμα δὲ τᾷ γραμ μᾷ περιαγομένᾳ φέρηταί τι σα μεῖον ἰσοταχέως αὐτὸ ἑαυτῷ κατὰ τᾶς εὐθείας ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ μένοντος πέρατος, τὸ σα μεῖον ἕλικα γράψει ἐν τῷ ἐπιπέδῳ.

καλείσθω οὖν τὸ μὲν πέρας τᾶς εὐθείας τὸ μένον περιαγομένας αὐτᾶς ἀρχὰ τᾶς ἕλικος.

ἁ δὲ θέ σις τᾶς γραμμᾶς, ἀφ’ ἇς ἄρξατο ἁ εὐθεῖα περιφέρεσθαι, ἀρχὰ τῆς περιφορᾶς.

εὐθεῖα, ἃν μὲν ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ διαπορευθῇ τὸ σαμεῖον τὸ κατὰ τᾶς εὐθείας φερόμενον, πρώτα καλείσθω, ἃν δ’ ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ τὸ αὐ τὸ σαμεῖον διανύσῃ, δευτέρα, καὶ αἱ ἄλλαι ὁμοίως ταύταις ὁμωνύμως ταῖς περιφοραῖς καλείσθωσαν.

τὸ δὲ χωρίον τὸ περιλαφθὲν ὑ πό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ πρώ τᾳ περιφορᾷ γραφείσας καὶ τᾶς εὐθείας, ἅ ἐστι πρώτα, πρῶτον καλείσθω, τὸ δὲ περιλαφθὲν ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γραφείσας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς δευτέρας δεύτερον καλείσθω.

καὶ εἴ κα ἀπὸ τοῦ σα μείου, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἀχθῇ τις εὐθεῖα γραμμά, τᾶς εὐθείας ταύτας ἐπὶ τὰ αὐτά, ἁ περιφορὰ γένηται, προαγού μενα καλείσθω, τὰ δὲ ἐπὶ θά τερα ἑπόμενα.

ὅ τε γραφεὶς κύκλος κέντρῳ μὲν τῷ σαμείῳ, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, διαστήμα τι δὲ τᾷ εὐθείᾳ, ἅ ἐστιν πρώτα, πρῶτος καλείσθω, ὁ δὲ γραφεὶς κέντρῳ μὲν τῷ αὐτῷ, διαστήμα τι δὲ τᾷ διπλασίᾳ εὐθείᾳ δεύ τερος καλείσθω, καὶ οἱ ἄλλοι δὲ ἑξῆς τούτοις τὸν αὐτὸν τρόπον.

εἰ καὶ ποτὶ τὰν ἕλικα τὰ μὲν μιᾷ περιφορᾷ ὁποιᾳοῦν γεγραμμέ ναν ἀπὸ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος εὐθεῖαι ἐμπεσῶντι ὁποιαιοῦν ἴσας ποιοῦσαι γωνίας ποτ’ ἀλλά λας, τῷ ἴσῳ ὑπερέχοντι ἀλλαλᾶν.

ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς αἱ ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ, ΑΕ, ΑΖ ἴσας γωνίας ποιοῦσαι πο τ’ ἀλλάλας. δεικτέον ὅτι τῷ ἴσῳ ὑπερέχει ἁ ΑΓ τᾶς ΑΒ καὶ ἁ ΑΔ τᾶς ΑΓ καὶ αἱ ἄλλαι ὁμοίως.

ἐν ᾧ γὰρ χρόνῳ ἁ περιαγομένα γραμμὰ ἀπὸ τᾶς ΑΒ ἐπὶ τὰν ΑΓ ἀφικνεῖται, ἐν τούτῳ τῷ χρόνῳ τὸ σαμεῖον τὸ κατὰ τᾶς εὐθείας φερόμενον τὰν ὑπεροχὰν διαπορεύεται, ᾇ ὑπερέχει ἁ ΓΑ ταν ΑΒ, ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ ἀπὸ τᾶς ΑΓ ἐπὶ τὰν ΑΔ, ἐν τούτῳ διαπορεύεται τὰν ὑπερο χάν, ᾇ ὑπερέχει ἁ ΑΔ τᾶς ΑΓ. ἐ ν ἴσῳ δὲ χρόνῳ ἁ περιαγομέ να γραμμὰ ἀπό τε τᾶς ΑΒ ἐ πὶ τὰν ΑΓ ἀφικνεῖται καὶ ἀπὸ τᾶς ΑΓ ἐπὶ τὰν ΑΔ, ἐπειδὴ αἱ γω νίαι ἴσαι ἐντί· ἐν ἴσῳ ἄρα χρό νῳ τὸ κατὰ τᾶς εὐθείας φερό μενον σαμεῖον διαπορεύεται τὰν ὑπεροχάν, ᾇ ὑπερέχει ἁ ΓΑ τᾶς ΑΒ, καὶ τὰν ὑπεροχάν, ᾇ ὑπε ρέχει ἁ ΑΔ τᾶς ΑΓ. τῷ ἴσῳ ἄρα ὑπερέχει ἅ τε ΑΓ τᾶς ΑΒ καὶ ἁ ΑΔ τᾶς ΑΓ, καὶ αἱ λοιπαί.

εἴ κα εὐθεῖα γραμμὰ τᾶς ἕλικος ἐπιψαύῃ, καθ’ ἓν μόνον ἐπιψαύ σει σαμεῖον.

ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς τὰ Α, Β, Γ, Δ, ἔστω δὲ ἀρχὰ μὲν τᾶς ἕλικος τὸ Α σαμεῖον, ἀρχὰ δὲ τᾶς περιφορᾶς ἁ ΑΔ εὐθεῖα, καὶ ἐπι ψαυέτω τᾶς ἕλικος εὐθεῖά τις ἁ ΖΕ. φαμὶ δὴ καθ’ ἓν μόνον σαμεῖον ἐπιψαύειν αὐτᾶς.

ἐπιψαυέτω γάρ, εἰ δυνατόν, κατὰ δύο σαμεῖα τὰ Γ, Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΑΗ, καὶ ἁ γωνία δίχα τετμάσθω ἁ περι εχόμενα ὑπὸ τᾶν ΑΗ, ΑΓ, καθ’ ὃ δὲ σαμεῖον ἁ δίχα τέμνουσα τὰν γωνίαν τᾷ ἕλικι ποτιπίπτει, ἔστω τὸ Θ. τῷ δὴ ἴσῳ ὑπερέχει ἅ τε ΑΗ τᾶς ΑΘ καὶ ἁ ΑΘ τᾶς ΑΓ, ἐπειδὴ ἴσας γωνίας περιέχου σι ποτ’ ἀλλάλας· ὥστε διπλάσι αί ἐντι αἱ ΑΗ, ΑΓ τᾶς ΑΘ. ἀλλὰ τᾶς ἐν τῷ τριγώνῳ τᾶς ΑΘ δί χα τεμνούσας τὰν γωνίαν μεί ζονές ἐντι ἢ διπλάσιαι· δῆλον οὖν, ὅτι, καθ’ ὃ συμπίπτει σαμεῖον τᾷ ΓΗ εὐθείᾳ ἁ ΑΘ, μεταξὺ τῶν Θ, Α ἐντὶ σαμείων· τέμνει ἄρα ἁ ΕΖ τὰν ἕλικα, ἐπειδή τι τῶν ἐν τᾷ ΓΘΗ σαμείων ἐντός ἐστι τᾶς ἕλικος. ὑπέκειτο δὲ ἐπιψαύου σα· καθ’ ἓν ἄρα μόνον ἅπτεται ἁ ΕΗ τᾶς ἕλικος.

εἴ κα ποτὶ τὰν ἕλικα τὰν ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμέναν ποτι πεσέωντι δύο εὐθεῖαι ἀπὸ τοῦ σαμεί ου, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, καὶ ἐκ βληθέων ποτὶ τὰν τοῦ πρώτου κύ κλου περιφέρειαν, τὸν αὐτὸν ἑξοῦν τι λόγον αἱ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπί πτουσαι ποτ’ ἀλλάλας, ὃν αἱ περι φέρειαι τοῦ κύκλου αἱ μεταξὺ τοῦ πέρατος τᾶς ἕλικος καὶ τῶν πε ράτων τᾶν ἐκβληθεισᾶν εὐθειᾶν τῶν ἐπὶ τᾶς περιφερείας γινομέ νων, ἐπὶ τὰ προαγούμενα λαμβα νομενᾶν τᾶν περιφερειᾶν ἀπὸ τοῦ πέρατος τᾶς ἕλικος.

ἔστω ἕλιξ ἁ ΑΒΓΔΕΘ ἐν τᾷ πρώτᾳ περι φορᾷ γεγραμμένα, ἀρχὰ δὲ τᾶς μὲν ἕλικος ἔστω τὸ Α σαμεῖον, ἁ δὲ ΘΑ εὐθεῖα ἀρχὰ τᾶς περιφο ρᾶς ἔστω, καὶ κύκλος ὁ ΘΚΗ ἔστω ὁ πρῶτος, ποτιπιπτόντων δὲ ἀ πὸ τοῦ Α σαμείου ποτὶ τὰν ἕλικα αἱ ΑΕ, ΑΔ καὶ ἐκπιπτόντων ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν ἐπὶ τὰς Ζ, Η. δεικτέον, ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχον τι λόγον ἁ ΑΕ ποτὶ τὰν ΑΔ, ὃν ἁ ΘΚΖ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΘΚΗ περιφέρειαν.

περιαγομένας γὰρ τᾶς ΑΘ γραμμᾶς δῆλον ὡς τὸ μὲν Θ σαμεῖον κατὰ τᾶς τοῦ ΘΚΗ κύκλου περιφερείας ἐνηνεγμέ νον ἐστὶν ἰσοταχέως, τὸ δὲ Α κατὰ τᾶς εὐθείας φερόμενον τὰν ΑΘ γραμμὰν πορεύεται, καὶ τὸ Θ σαμεῖον κατὰ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας φερόμενον τὰν ΘΚΖ περιφέρειαν, τὸ δὲ Α τὰν ΑΕ εὐθεῖαν, καὶ πάλιν τό τε Α σαμεῖον τὰν ΑΔ γραμμὰν καὶ τὸ Θ τὰν ΘΚΗ περιφέρειαν, ἑκάτερον ἰ σοταχέως αὐτὸ ἑαυτῷ φερόμε νον· δῆλον οὖν ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ ΑΕ ποτὶ τὰν ΑΔ, ὃν ἁ ΘΚΖ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΘΚΗ περι φέρειαν δέδεικται γὰρ τοῦτο ἔξω ἐν τοῖς πρώτοις.

ὁμοίως δὲ δειχθή σεται, καὶ εἴ κα ἑτέρα τᾶν ποτιπιπτου σᾶν ἐπὶ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος πο τιπίπτῃ, τὸ αὐτὸ συμβαίνειν.

εἰ κα ποτὶ τὰν ἐν τᾷ δευτέρᾳ περι φορᾷ γεγραμμέναν ἕλικα πο τιπίπτωντι εὐθεῖαι ἀπὸ τᾶς ἀρ χᾶς τᾶς ἕλικος, τὸν αὐτὸν ἑξοῦν τι λόγον αἱ εὐθεῖαι ποτ’ ἀλλάλας, ὃν αἱ εἰρημέναι περιφέρειαι μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφε ρείας λαμβανομένας.

ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς αἱ ΑΒΓΔΘ, ἁ μὲν ΑΒΓ ΔΘ ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένα, ἁ δὲ ΘΛΕΜ ἐν τᾷ δευτέρᾳ, καὶ ποτιπίπτοντι εὐ θεῖαι αἱ ΑΕ, ΑΛ. δεικτέον, ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ ΑΛ ποτὶ τὰν ΑΕ, ὃν ἁ ΘΚΖ περιφέρεια μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας ποτὶ ΘΚΗ μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περι φερείας.

ἐν ὅσω γὰρ χρόνῳ τὸ Α σαμεῖον κατὰ τᾶς εὐθείας φε ρόμενον τὰν ΑΛ γραμμὰν δια πορεύεται, καὶ τὸ Θ σαμεῖον κατὰ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας φε ρόμενον ὅλαν τε τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν καὶ ἔτι τὰν ΘΚΖ περιφέρειαν διαπορεύεται, καὶ πάλιν τὸ Α σαμεῖον τὰν ΑΕ εὐθεῖαν καὶ τὸ Ε ὅλαν τε τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν καὶ ἔτι τὰν ΘΚΗ, ἑκάτερον ἰσοταχέως αὐτὸ ἑα υτῷ φερόμενον· δῆλον οὖν ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ ΑΛ γραμμὰ ποτὶ τὰν ΑΕ, ὃν ἁ ΘΚΖ περιφέρεια μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν ΘΚΗ πε ριφέρειαν μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας.

τὸν αὐτὸν δὲ τρό πον δειχθήσεται, καὶ ἢν ποτὶ τὰν ἐν τᾷ τρίτᾳ περιφορᾷ γεγραμμέναν ἕλικα ποτιπε σέωντι εὐθεῖαι, τὸν αὐτὸν λόγον ἑξοῦντι ποτ’ ἀλλάλας, ὃν ἁ εἰ ρημένα περιφέρεια μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας δὶς λαμβανομένας· ὁμοίως δὲ καὶ αἱ ποτὶ τὰς ἄλλας ἕλικας πο τιπίπτουσαι δείκνυνται ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον, ὃν αἱ εἰρη μέναι περιφέρειαι μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας τοσαύ τας λαμβανομένας, ὅσος ἐστὶν ὁ εν ἐλάσσων ἀριθμὸς τᾶν περιφορᾶν, καὶ εἴ κα ἁ ποτιπί πτουσα ἁ ἑκατέρα ποτὶ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος πίπτῃ.

εἴ κα τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ πρώ τᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιψαύῃ, καὶ ἀπὸ τᾶς ἁφᾶς εὐθεῖα γραμ μὰ ἐπιζευχθῇ ἐπὶ τὸ σαμεῖον, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἃς ποιεῖ γω νίας ἁ ἐφαπτομένα ποτὶ τὰν ἐπιζευχθεῖσαν, ἀνίσοι ἐσσοῦνται καὶ ἁ μὲν ἐν τοῖς προαγουμέ νοις ἀμβλεῖα, ἁ δὲ ἐν τοῖς ἑ πομένοις ὀξεῖα.

ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς τὰ Α, Β, Γ, Δ, Θ, ἐν τᾷ πρώ τᾳ περιφορᾷ γεγραμμένα, καὶ ἔστω τὸ μὲν Α σαμεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἁ δὲ ΑΘ εὐθεῖα ἀρ χὰ τᾶς περιφορᾶς, ὅ τε πρῶτος κύκλος ὁ ΘΚΗ, ἐπιψαυέτω δέ τις εὐθεῖα γραμμὰ τᾶς ἕλικος ἁ ΔΕΖ κατὰ τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Α ἐπεζεύχθω ἁ ΔΑ. δει κτέον ὅτι ἁ ΔΖ ποτὶ τὰν ΑΔ ἀμβλεῖ αν ποιεῖ γωνίαν.

γεγράφθω κύκλος ὁ ΔΤΝ κέντρῳ μὲν τῷ Α, διαστή ματι δὲ τᾷ ΑΔ· ἀναγκαῖον δὴ τούτου τοῦ κύκλου τὰ μὲν ἐν τοῖς προα γευμένοις περιφέρειαν ἐντὸς πίπτειν τᾶς ἕλικος, τὰν δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ἐκτὸς διὰ τὸ τᾶν ἀ πὸ τοῦ Α ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπι πτουσᾶν εὐθειᾶν τὰς μὲν ἐν τοῖς προαγευμένοις μείζονας εἶμεν τᾶς ΑΔ, τὰς δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ἐλάσσονας. ὅτι μὲν οὖν ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν ΑΔΖ οὐκ ἔστιν ὀξεῖα δῆλον, ἐπειδὴ μείζων ἐστὶ τᾶς τοῦ ἡμικυκλίου, ὅτι δὲ ὀρθὰ οὐ κ ἔστι δεικτέον οὕτως· ἔστω γὰρ, εἰ δυ νατόν, ὀρθά· ἁ ἄρα ΕΔΖ ἐπιψαύ ει τοῦ ΔΤΝ κύκλου. δυνατὸν δή ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ποτιβαλεῖν εὐθεῖαν πο τὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, ὥστε τὰν με ταξὺ τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύ κλου ἐλάσσονα λόγον ἔχειν τοῦ, ὃν ἔχει ἁ μεταξὺ τᾶς ἁφᾶς καὶ τᾶς ποτιπιπτούσας περιφέ ρειας ὅτι τὰν δοθεῖσαν περιφέ ρειαν. ποτιπιπτέτω δὴ ἁ ΑΙ· τε μεῖ δὴ αὕτα τὰν μὲν ἕλικα κα τὰ τὸ Λ, τὰν δὲ τοῦ ΔΝΤ περιφέ ρειαν κύκλου κατὰ τὸ Ρ· καὶ ἐχέτω ἁ ΡΙ εὐθεῖα ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσσο να λόγον τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΔΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΔΝΤ περιφέρειαν· καὶ ὅλα ἄρα ἁ ΙΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσ σονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΡΔΝΤ περι φέρεια ποτὶ τὰν ΔΝΤ περιφέρει αν, τουτέστιν ὃν ἔχει ἁ ΣΗΚΘ περιφέ ρεια ποτὶ τὰν ΗΚΘ περιφέρειαν. ὃν δὲ ἁ ΣΗΚΘ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΗΚΘ περιφέρειαν, τοῦτον ἔ χει ἁ ΑΛ εὐθεῖα ποτὶ τὰν ΑΔ· δέ δεικται γὰρ τοῦτο· ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΑΙ ποτὶ τὰν ΑΡ ἤπερ ἁ ΛΑ ποτὶ τὰν ΑΔ· ὅπερ ἀδύνατον· ἴσα γὰρ ἁ ΡΑ τᾷ ΔΑ. οὐκ ἐστὶν ἄρα ὀρθὰ ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν ΑΔΖ. δέδεικται δὲ ὅτι οὐδὲ ὀξεῖα· ἀμ βλεῖα ἄρα ἐστίν. ὥστε ἁ λοιπὰ ὀξεῖ ά ἐστιν.

ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, καὶ εἴ κα ἁ ἐπιψαύουσα τᾶς ἕλικος κατὰ τὸ πέρας ἐπιψαύει, τὸ αὐ τὸ συμβήσεται.

καὶ τοίνυν, εἴ κα τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλι κος ἐπιψαύῃ ἁ εὐθεῖα, τὸ αὐτὸ συμβήσεται.

ἐπιψαυέτω γὰρ ἁ ΕΖ εὐθεῖα τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περι φορᾷ γεγραμμένας ἕλικος κατὰ τὸ Δ, καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον κατεσκευάσθω. ὁμοίως δὴ τᾶς τοῦ ΡΝΔ περιφερείας κύκλου τὰ μὲν ἐν τοῖς προαγευμέ νοις τᾶς ἕλικος ἐντὸς πεσοῦν ται, τὰ δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ἐκτός· ἁ οὖν γωνία ἁ ὑπὸ τᾶν ΑΔΖ οὐκ ἔστιν ὀρθά, ἀλλὰ ἀμβλεῖα. ἔστω γάρ, εἰ δυ νατόν, ὀρθά· ἐπιψαύσει δὴ ἁ ΕΖ τοῦ ΡΝΔ κύκλου κατὰ τὸ Δ. ἄχθω δὴ πάλιν ποτὶ τὰν ἐπιψαύου σαν αἱ ΑΙ καὶ τεμνέτω τὰν μὲν ἕλικα κατὰ τὸ Χ, τὰν δὲ τοῦ ΡΝΔ κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὸ Ρ, ἐχέτω δὲ ἁ ΡΙ ποτὶ ΡΑ ἐλάσσονα λόγον τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΔΡ περιφέ ρεια ποτὶ ὅλαν τὰν τοῦ ΔΡΝ κύ κλου περιφέρειαν καὶ ποτὶ τὰν ΔΝΤ· δέδεικται γὰρ τοῦτο δυνατὸν ἐόν· καὶ ὅλα ἄρα ἁ ΙΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΡΔΝΤ πε ριφέρεια μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύ κλου περιφερείας ποτὶ τὰν ΔΝΤ περιφέρειαν μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας. ἀλλ’ ὃν ἔχει λόγον ἁ ΡΔΝΤ περιφέρει α μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ ΔΝΤΡ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν ΔΝΤ περιφέρειαν μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ Δ ΝΤΡ κύκλου περιφερείας, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἁ ΣΗΚΘ περι φέρεια μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας τᾶς ΘΣΗΚ ποτὶ τὰν ΗΚΘ περιφέρειαν με θ’ ὅλας τᾶς τοῦ ΘΣΗΚ κύκλου περιφερείας, ὃν δὲ λόγον ἔχον τι αἱ ὕστερον εἰρημέναι πε ριφέρειαι, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἁ ΧΑ εὐθεῖα ποτὶ τὰν ΑΔ εὐθεῖαν· δέδεικται γὰρ τοῦτο· ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΙΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἢ ΑΧ ποτὶ τὰν ΑΔ· ὅπερ ἀδύ νατον ἴση μὲν γὰρ ἡ ΡΑ τῇ ΑΔ, μείζων δὲ ἡ ΙΑ τῆς ΑΧ. δῆλον οὖν, ὅτι ἀμβλεῖά ἐστιν ἁ περιεχομέ να ὑπὸ τᾶν ΑΔΖ· ὥστε ἁ λοιπὰ ὀξεῖά ἐστι.

τὰ δ’ αὐτὰ συμβή σεται, καὶ εἴ κα ἁ ἐπιψαύουσα κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος ἐπι ψαύοι.

ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, καὶ εἴ κα τᾶς ἐν ὁποιᾳοῦν γεγραμ μένας ἕλικος ἐπιψαύει τις εὐθεῖα, καὶ εἴ κα κατὰ τὸ πέρας αὐτᾶς, ὅτι ἀνίσους ποιήσει τὰς γωνίας ποτὶ τὰν ἀπὸ τᾶς ἁ φᾶς ἐπιζευχθεῖσαν ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος καὶ τὰν μὲν ἐν τοῖς προαγευμένοις ἀμ βλεῖαν, τὰν δὲ ἐν τοῖς ἑπομέ νοις ὀξεῖαν. ἑξῆς τὸ σχῆμα

εἴ κα τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ πρώ τᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιψαύῃ κα τὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος, ἀπὸ δὲ τοῦ σαμείου, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕ λικος, ποτ’ ὀρθὰς ἀχθῇ τις τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς, ἁ ἀχθεῖσα συμπεσεῖται τᾷ ἐπιψαυ ούσᾳ, καὶ ἁ μεταξὺ εὐθεῖα τᾶς ἐ πιψαυούσας καὶ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος τᾶς ἕλικος ἴσα ἐσσεῖται τᾷ τοῦ πρώτου κύκλου περιφε ρείᾳ.

ἔστω ἕλιξ ἁ ΑΒΓΔΘ, ἔστω δὲ τὸ Α σαμεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἁ δὲ ΘΑ γραμμὰ ἀρχὰ τᾶς περι φορᾶς, ὁ δὲ ΘΗΚ κύκλος ὁ πρῶτος, ἐπιψαυέτω δέ τις τᾶς ἕλικος κατὰ τὸ Θ ἁ ΘΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἄχθω ποτ’ ὀρθὰς τᾷ ΘΑ ἁ ΑΖ· συμπεσεῖται δὴ αὕτα ποτὶ τὰν ΘΖ, ἐπεὶ αἱ ΖΘ, ΘΑ ὀξεῖαν γωνίαν περιέχοντι. συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ζ. δεικτέον, ὅτι ἁ ΖΑ ἴσα ἐστὶ τᾷ τοῦ ΘΚΗ κύκλου περιφερείᾳ.

εἰ γὰρ μή, ἤτοι μεί ζων ἐστὶν ἢ ἐλάσσων. ἔστω πρό τερον, εἰ δυνατόν, μείζων. ἔλα βον δή τινα εὐθεῖαν τὰν ΛΑ τᾶς μὲν ΖΑ εὐθείας ἐλάσσονα, τᾶς δὲ τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφε ρείας μείζονα. ἔστι δὴ κύκλος τις ὁ ΘΗΚ καὶ ἐν τῷ κύκλῳ γραμμὰ ἐλάσσων τᾶς διαμέ τρου ἁ ΘΗ καὶ λόγος, ὃν ἔχει ἁ ΘΑ ποτὶ ΑΛ, μείζων τοῦ ὃν ἔχει ἁ ἡμίσεια τᾶς ΗΘ ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἐπ’ αὐτὸν ἀγμέναν, διότι καὶ τοῦ, ὃν ἔχει ἁ ΘΑ ποτὶ ΑΖ· δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ποτιβαλεῖν πο τὶ τὰν ἐκβεβλημέναν τὰν ΑΝ, ὥστε τὰν μεταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ τᾶς ἐκβεβλημένας τὰν ΝΡ ποτὶ ΘΡ τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον, ὃν ἁ ΘΑ ποτὶ τὰν ΑΛ· ἕξει οὖν ἁ ΝΡ ποτὶ τὰν ΡΑ λόγον, ὃν ἁ ΘΡ εὐθεῖα ποτὶ τὰν ΑΛ. ἁ δὲ ΘΡ πο τὶ τὰν ΑΛ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΘΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν· ἁ μὲν γὰρ ΘΡ εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ΘΡ περιφερείας, ἁ δὲ ΑΛ εὐ θεῖα τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφε ρείας μείζων· ἐλάσσονα οὖν λόγον ἕξει καὶ ἁ ΝΡ ποτὶ ΡΑ ἢ ἁ ΘΡ πε ριφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύ κλου περιφέρειαν· καὶ ὅλα οὖν ἁ ΝΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἁ ΘΡ περιφέρει α μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέ ρειαν. ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ΘΡ περι φέρεια μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν, τοῦτον ἔχει ἁ ΧΑ ποτὶ τὰν ΑΘ· δέδεικται γὰρ τοῦτο· ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἁ ΝΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἤπερ ἁ ΧΑ ποτὶ τὰν ΑΘ· ὅπερ ἀδύνατον· ἁ μὲν γὰρ ΝΑ μείζων ἐστὶ τᾶς ΑΧ, ἁ δὲ ΑΡ ἴσα ἐστὶ τᾷ ΘΑ. οὐκ ἄρα μεί ζων ἁ ΖΑ τᾶς τοῦ κύκλου περιφε ρείας τοῦ ΘΗΚ.

ἔστω δὴ πάλιν, εἰ δυνατόν, ἐλάσσων ἁ ΖΑ τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφε ρείας. ἔλαβον δή τινα εὐθεῖαν πάλιν τὰν ΑΛ τᾶς μὲν ΑΖ μεί ζονα, τᾶς δὲ τοῦ ΘΗΚ κύκλου περι φερείας ἐλάσσονα, καὶ ἄγω ἀπὸ τοῦ Θ τὰν ΘΜ παράλληλον τᾷ ΑΖ. πάλιν οὖν κύκλος ἐστὶν ὁ ΘΗΚ καὶ ἐν αὐτῷ ἐλάσσων γραμμὰ τᾶς διαμέτρου ἁ ΘΗ καὶ ἄλλα ἐπι ψαύουσα τοῦ κύκλου κατὰ τὸ Θ καὶ λόγος, ὃν ἔχει ἁ ΑΘ ποτὶ τὰν ΑΔ, ἐλάσσων τοῦ, ὃν ἔχει ἁ ἡμί σεια τᾶς ΘΗ ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἐπ’ αὐτὰν ἀγμέναν, ἐπειδὴ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΘΑ ποτὶ ΑΖ, ἐλάσσων ἐστί· δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ἀγαγεῖν τὰν ΑΠ ποτὶ τὰν ἐπι ψαύουσαν, ὥστε τὰν ΡΝ τὰν μετα ξὺ τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ εὐθείας καὶ τᾶς περιφερείας ποτὶ τὰν ΘΠ τὰν ἀπολαφθεῖσαν ἀπὸ τᾶς ἐπιψαυ ούσας τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει ἁ ΘΑ ποτὶ τὰν ΑΛ· τεμεῖ δὴ ἁ ΑΠ τὸν μὲν κύκλον κατὰ τὸ Ρ, τὰν δὲ ἕλικα κατὰ τὸ Χ· καὶ ἕξει καὶ ἐναλλὰξ τὸν αὐτὸν λόγον ἁ ΝΡ ποτὶ ΡΑ, ὃν ἁ ΘΠ ποτὶ ΑΛ. ἁ δὲ ΘΠ πο τὶ τὰν ΑΛ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΘΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν· ἁ μὲν γὰρ ΘΠ εὐθεῖα μείζων ἐστὶν τᾶς ΘΡ πε ριφερείας, ἁ δὲ ΑΛ ἐλάσσων τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας· μεί ζονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΠΡ ποτὶ τὰν ΑΡ ἡ ΘΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν· ὥστε καὶ ἁ ΡΑ ποτὶ τὰν ΑΝ μείζονα λόγον ἔ χει ἢ ἁ τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέ ρεια ποτὶ τὰν ΘΚΡ περιφέρειαν. ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ τοῦ ΘΗΚ κύκλου πε ριφέρεια ποτὶ τὰν ΘΚΡ περιφέ ρειαν, ταὐτὸν ἔχει ἁ ΘΑ εὐθεῖα πο τὶ τὰν ΑΧ· δέδεικται γὰρ τοῦτο· μεί ζονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΡΑ ποτὶ τὰν ΑΝ ἢ ἁ ΘΑ ποτὶ τὰν ΑΧ· ὅ περ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν οὐδὲ ἐλάσσων ἁ ΖΑ τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας· ἴσα ἄρα.

εἰ δὲ καὶ τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ πε ριφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος κα τὰ τὸ πέρας ἐπιψαύοι εὐθεῖα, καὶ ἀπὸ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἀχθῇ τις ποτ’ ὀρθὰς τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περι φορᾶς, συμπεσεῖται αὕτα ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, καὶ ἐσσεῖται ἁ εὐθεῖ α ἁ μεταξὺ τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος διπλασία τᾶς τοῦ δευτέρου κύκλου περιφερεί ας.

ἔστω γὰρ ἁ μὲν ΑΒΓΘ ἕλιξ ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένα, ἁ δὲ ΘΕΤ ἐν τᾷ δευτέρᾳ, καὶ ὁ μὲν ΘΚΗ κύκλος ὁ πρῶτος, ὁ δὲ ΤΜΝ ὁ δεύτερος, ἔστω δέ τις γραμμὰ ἐ πιψαύουσα τᾶς ἕλικος κατὰ τὸ Θ ἁ ΤΖ, ἁ δὲ ΖΑ ποτ’ ὀρθὰς ἄχθῳ τᾷ ΤΑ· συμπεσεῖται δὲ τᾷ αὐτᾷ τᾷ ΤΖ διὰ τὸ δεδεῖχθαι τὰν γωνίαν ὀ ξεῖαν ἐοῦσαν τὰν ὑπὸ τᾶν ΑΤΖ. δει κτέον ὅτι ἁ ΖΑ εὐθεῖα διπλασία ἐντὶ τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφε ρείας.

εἰ γὰρ μή ἐστιν διπλασία, ἤ τοι μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία ἢ ἐλάσ σων ἐστὶν ἢ διπλασία. ἔστω πρότερον, εἰ δυνατόν, μείζων ἢ διπλασία, καὶ λελάφθω τις εὐθεῖα ἁ ΛΑ τᾶς μὲν ΖΑ εὐθείας ἐλάσσων, τᾶς δὲ τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερείας μεί ζων ἢ διπλασία. ἔστιν δή τις κύκλος ὁ ΤΜΝ καὶ ἐν τῷ κύκλῳ γεγραμ μένα ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἁ ΤΝ, καὶ ὃν ἔχει ἁ ΤΑ ποτὶ τὰν ΑΛ, μει μείζων τοῦ, ὃν ἔχει ἁ ἡμίσεια τᾶς ΤΝ ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἐπ’ αὐτὰν ἀγμέναν· δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ποτιβαλεῖν τὰν ΑΣ ποτὶ τὰν ΤΝ ἐκβεβλημέναν, ὥσ τε τὰν μεταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ τᾶς ἐκβεβλημένας τὰν ΡΣ ποτὶ τὰν ΤΡ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἁ ΤΑ ποτὶ τὰν ΑΛ· τεμεῖ δὴ ἁ ΑΣ τὸν μὲν κύκλον κατὰ τὸ Ρ, τὰν δὲ ἕ λικα κατὰ τὸ Χ· καὶ ἐναλλὰξ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ἁ ΡΣ ποτὶ τὰν ΤΑ, ὃν ἁ ΤΡ ποτὶ τὰν ΑΛ. ἁ δὲ ΤΡ ποτὶ τὰν ΑΛ ἐλάσσο να λόγον ἔχει ἢ ἁ ΤΡ περιφέρεια πο τὶ τὰν διπλασίαν τοῦ ΜΝ κύκλου περιφέρειαν· ἔστιν γὰρ ἁ μὲν ΤΡ εὐθεῖα ἐλάσσων τᾶς ΤΡ περιφε ρείας, ἁ δὲ ΑΛ εὐθεῖα μείζων ἢ διπλασία τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περι φερείας· ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΡΣ ποτὶ τὰν ΑΡ ἢ ἁ ΤΡ πε ριφέρεια ποτὶ τὰν διπλασίαν τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερείας· ὅλα οὖν ἁ ΣΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσσ ονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΤΡ περιφέ ρεια μετὰ τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερείας δὶς εἰρημένας ποτὶ τὰν τοῦ ΤΜΝ κύκλου πε ριφέρειαν δὶς εἰρημέναν. ὃν δὲ λόγον ἔχοντι αἱ εἰρημέναι περι φέρειαι, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἁ ΧΑ ποτὶ τὰν ΑΤ· δέδεικται γὰρ τοῦτο· ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΑΣ ποτὶ τὰν ΑΡ ἢ ἁ ΧΑ ποτὶ τὰν ΤΑ· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία ἁ ΖΑ εὐθεῖα τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περι φερείας. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, οὐδὲ ἐλάσσων ἢ διπλασία. δῆ λον οὖν, ὅτι διπλασία ἐστίν.

διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου δεικτέον, καὶ εἴ κα τᾶς ἐν ὁποιᾳοῦν περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος ἐπιψαύῃ τις εὐθεῖα κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος, καὶ ἀπὸ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ποτ’ ὀρθὰς ἀχθεῖσα τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς συμπίπτει ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, πολλα πλασία ἐστὶν τᾶς τοῦ κύκλου πε ριφερείας τοῦ κατὰ τὸν ἀριθμὸν τᾶς περιφορᾶς λεγομένου τῷ αὐτῷ ἀριθμῷ.

εἴ κα τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ πρώ τᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιψαύῃ μὴ κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος, ἀπὸ δὲ τᾶς ἁφᾶς ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος εὐθεῖα ἐπιζευχθῇ, καὶ κέν τρῳ μὲν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς ἕλικος, διαστήματι δὲ τᾷ ἐπιζευχθείσᾳ κύκλος γραφῇ, ἀπὸ δὲ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἀχθῇ τις ποτ’ ὀρθὰς ἀπὸ τᾶς ἁφᾶς ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἐπιζευχθείσᾳ, συμ πεσεῖται αὕτα ποτὶ τὰν ἐπιψαύ ουσαν, καὶ ἐσσεῖται ἁ μεταξὺ εὐθεῖ α τᾶς τε συμπτώσιας καὶ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἴσα τᾷ πε ριφερείᾳ τοῦ γραφέντος κύκλου τας μεταξὺ τᾶς ἁφᾶς καὶ τᾶς τομᾶς, καθ’ ὃ τέμνει ὁ γραφεὶς κύκλος τὰν ἀρχὰν τᾶς περιφο ρᾶς, ἐπὶ τὰ προαγεύμενα λαμ βανομένας τᾶς περιφερείας ἀπὸ τοῦ σαμείου τοῦ ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς.

ἔστω ἕλιξ, ἐ φ’ ἇς ἁ ΑΒΓΔ, ἐν τᾷ πρώτᾳ πε ριφορᾷ γεγραμμένα, καὶ ἐπι ψαυέτω τις αὐτᾶς εὐθεῖα ἁ ΕΖ κατὰ τὸ Δ, ἀπὸ δὲ τοῦ Δ ποτὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἐπεζεύχθω ἁ ΑΔ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Α, δι αστήματι δὲ τῷ ΑΔ κύκλος γε γράφθω ὁ ΔΜΝ, τεμνέτω δ’ οὗτος τὰν ἀρχὰν τᾶς περιφορᾶς κατὰ τὸ Κ, ἄχθω δὲ ἁ ΖΑ ποτὶ τὰν ΑΔ ὀρθά. ὅτι μὲν οὖν αὕτα συμ πίπτει δῆλον· ὅτι δὲ καὶ ἴσα ἐστὶν ἁ ΖΑ εὐθεῖα τᾷ ΚΜΝΔ περιφε ρείᾳ δεικτέον.

εἰ γὰρ μή, ἤτοι μεί ζων ἐστὶν ἢ ἐλάσσων. ἔστω, εἰ δυ νατόν, πρότερον μείζων, λελά φθω δέ τις ἁ ΛΑ τᾶς μὲν ΖΑ εὐ θείας ἐλάσσων, τᾶς δὲ ΚΜΝΔ περιφερείας μείζων. πάλιν δὴ κύκλος ἐστὶν ὁ ΚΜΝ καὶ ἐν τῷ κύκλῳ γραμμὰ ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἁ ΔΝ καὶ λόγος, ὃν ἔχει ἁ ΔΑ ποτὶ ΑΛ, μείζων τοῦ, ὃν ἔχει ἁ ἡμίσεια τᾶς ΔΝ ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἐπ’ αὐτὰν ἀγμέναν· δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ποτιβαλεῖν τὰν ΑΕ ποτὶ τὰν ΝΔ ἐκβεβλημέναν, ὥστε τὰν ΕΡ ποτὶ τὰν ΔΡ τὸν αὐτὸν ἔ χειν λόγον, ὃν ἁ ΔΑ ποτὶ τὰν ΑΛ· δέδεικται γὰρ τοῦτο δυνατὸν ἐόν· ἕξει οὖν καὶ ἁ ΕΡ ποτὶ τὰν ΑΡ τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν ἁ ΔΡ ποτὶ τὰν ΑΛ. ἁ δὲ ΑΡ ποτὶ τὰν ΑΛ ἐ λάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΔΡ περι φέρεια ποτὶ τὰν ΚΜΔ περιφέ ρειαν, ἐπεὶ ἁ μὲν ΔΡ ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ΔΡ περιφερείας, ἁ δὲ ΑΛ μείζων τᾶς ΚΜΔ περιφερείας· ἐλάσσονα οὖν λόγον ἔχει ἁ ΕΡ εὐ θεῖα ποτὶ ΡΑ ἢ ἁ ΔΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΚΜΔ περιφέρειαν· ὥστε καὶ ἁ ΑΕ ποτὶ ΑΡ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΚΜΡ περιφέρεια ποτὶ ΚΜΔ περιφέρειαν. ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ΚΜΡ ποτὶ τὰν ΚΜΔ περιφέ ρειαν, τοῦτον ἔχει ἁ ΧΑ ποτὶ ΑΔ· ἐλάσ σονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΕΑ ποτὶ ΑΡ ἢ ἁ ΑΧ ποτὶ ΔΑ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύ νατον. οὐκ ἄρα μείζων ἁ ΖΑ τᾶς ΚΜΔ περιφερείας. ὁμοίως δὲ τοῖς πρότερον δειχθήσεται ὅτι οὐδὲ ἐ λάσσων ἐστίν· ἴσα ἄρα.

διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου δειχθήσεται, καὶ εἴ κα τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφο ρᾷ γεγραμμένας ἕλικος ἐπι ψαύῃ εὐθεῖα μὴ κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος, τὰ δὲ ἄλλα τὰ αὐτὰ κατα σκευασθέντι, ὅτι ἁ μεταξὺ εὐθεῖα τᾶς ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν συμ πίπτουσα καὶ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἴσα ἐστὶν ὅλᾳ τᾷ τοῦ γραφέν τος κύκλου περιφερείᾳ καὶ ἔτι τᾷ μεταξὺ τῶν εἰρημένων σαμείων, ὡσαύτως τᾶς περιφερείας λαμ βανομένας· καὶ εἴ κα τᾶς ἐν ὁποι ᾳοῦν γεγραμμένας περιφορᾶς ἕλικος ἐπιψαύει τις εὐθεῖα μὴ κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος, τὰ δὲ ἄλλα τὰ αὐτὰ κατεσκευασθαιωντι, ὅτι ἁ μεταξὺ εὐθεῖα τῶν εἰρημένων σαμείων πολλαπλασία τίς ἐστι τᾶς τοῦ γραφέντος κύκλου περιφε ρείας κατὰ τὸν ἑνὶ ἐλάσσονα ἀ ριθμὸν τοῦ, καθ’ ὃν αἱ περιφοραὶ λέγονται, καὶ ἔτι ἴσα τᾷ μεταξὺ τῶν εἰρημένων σαμείων ὁμοίως λαμβανομένᾳ.

λαμβάνοντα τὸ χωρίον τὸ περι εχόμενον ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γε γραμμένας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς πρώτας ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς δυνατόν ἐστι περὶ αὐτὸ σχῆμα ἐπίπεδον περιγράψαι καὶ ἄλλο ἐγγράψαι ἐξ ὁμοίων τομέων συγκείμενον, ὥστε τὸ περιγεγραμμένον τοῦ ἐγ γεγραμμένου μεῖζον εἶμεν ἐ λάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέν τος χωρίου.

ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς ἁ ΑΒΓΔ, ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφο ρᾷ γεγραμμένα, ἔστω δὲ ἀρ χὰ μὲν τᾶς ἕλικος τὸ Θ σαμεῖ ον, ἀρχὰ δὲ τᾶς περιφορᾶς ἁ ΘΑ, ὁ δὲ πρῶτος κύκλος ὁ ΖΗΙΑ, αἱ δὲ ΑΗ, ΖΙ διάμετροι αὐτοῦ ποτ’ ὀρθὰς ἀλλάλαις. ἀεὶ δὴ τᾶς ὀρ θᾶς γωνίας δίχα τεμνομέ νας καὶ τοῦ τομέως τοῦ τὰν ὀρθὰν γωνίαν περιέχοντος ἐσσεῖται τὸ καταλειπόμενον τοῦ τομέως ἔλασσον τοῦ προτε θέντος· καὶ ἔστω γεγενημένος ὁ τομεὺς ὁ ΑΘΚ ἐλάσσων τοῦ προτεθέντος χωρίου. διαιρήσθω σαν δὴ αἱ γωνίαι αἱ τέσσα ρες ὀρθαὶ εἰς τὰς ἴσας γωνίας τᾷ περιεχομένᾳ ὑπὸ τᾶν ΑΘ, ΘΚ, καὶ αἱ ποιοῦσαι τὰς γω νίας εὐθεῖαι ἔστε ποτὶ τὰν ἕλικα ἄχθωσαν. καθ’ ὃ δὴ τέ μνει σαμεῖον ἁ ΘΚ τὰν ἕλικα, ἔστω τὸ Λ, καὶ κέντρῳ τῷ Θ, δια στήματι δὲ τῷ ΘΛ κύκλος γε γράφθω· πεσεῖται δὲ αὐτοῦ ἁ μὲν εἰς τὰ προαγεύμενα περι φέρεια ἐντὸς τᾶς ἕλικος, ἁ δὲ εἰς τὰ ἑπόμενα ἐκτός. γε γράφθω δὴ ἁ περιφέρεια, ἔσται κἂν συμπέσῃ τᾷ ΘΑ κατὰ τὸ Ο ἁ ΟΜ καὶ τᾷ μετὰ τὰν ΘΚ εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπιπτούσᾳ. πάλιν δὴ καὶ, καθ’ ὃ τέμνει σαμεῖον ἁ ΘΜ, ἔστω τὸ Ν, καὶ κέντρῳ τῷ Θ, δι αστήματι δὲ τῷ ΘΝ κύκλος γεγράφθω, ἔσται καὶ συμπέ σῃ ἁ περιφέρεια τοῦ κύκλου καὶ τᾷ μετὰ τὰν ΘΜ ποτιπι πτούσᾳ ποτὶ τὰν ἕλικα, ὁ μοίως δὲ καὶ διὰ τῶν ἄλλων πάντων, καθ’ ἃν τέμνοντι τὰν ἕλικα αἱ τὰς ἴσας γωνίας ποιοῦσαι, κύκλοι γεγράφθωσαν κέντρῳ τῷ Θ, ἔστ’ ἂν συμπέσῃ ἑκάστας ἁ περιφέρεια τᾷ τε προαγευμένᾳ εὐθείᾳ καὶ τᾷ ἑπομένᾳ· ἐσσεῖται δή τι περὶ τὸ λαφθὲν χωρίον περιγεγραμ μένον ἐξ ὁμοίων τομέων συγ κείμενον καὶ ἄλλο ἐγγεγραμ μένον. ὅτι δὲ τὸ περιγεγραμ μένον σχῆμα τοῦ ἐγγεγραμμέ νου μείζων ἐστιν ἐλάσσονι τοῦ προτεθὲν χωρίου δειχθήσεται. ἔστι γὰρ ὁ μὲν ΘΛΟ τομεὺς ἴσος τῷ ΘΜΛ, ὁ δὲ ΘΝΠ τῷ ΘΝΡ, ὁ δὲ ΘΧΣ τῷ ΘΧΤ, ἔστι δὲ καὶ τῶν ἄλλων τομέων ἕκαστος τῶν ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι ἴσος τῷ κοινὰν ἔχοντι πλευρὰν τομεῖ τῶν ἐν τῷ περιγεγραμ μένῳ σχήματι τομέων. δῆλον οὖν, ὅτι καὶ πάντες οἱ τομέες πάν τεσσιν ἴσοι ἐσοῦνται· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα ἐν τῷ χωρίῳ τῷ περιγεγραμμέ νῳ περὶ τὸ χωρίον σχήματι χω ρὶς τοῦ ΘΑΚ τομέως· μόνος γὰρ οὗτος λέλαπται τῶν ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι. δῆ λον οὖν, ὅτι τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα τοῦ ἐγγεγραμμένου μεῖ ζόν ἐστι τῷ ΑΚΘ τομεῖ, ὃς ἐλάσ σων ἐστὶν τοῦ προτεθέντος.

ἐκ τούτου δὲ φανερὸν ὅτι δυνατόν ἐστι περὶ τὸ εἰρημένον χωρίον σχῆ μα, οἷον εἴρηται, γράφειν, ὥστε τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα μεῖζον εἶμεν τοῦ χωρίου ἔλασσόν ἐστι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρί ου, καὶ πάλιν ἐγγράφειν, ὥστε τὸ χωρίον ὁμοίως μεῖζον εἶμεν τοῦ ἐγγραφέντος σχήματος ἐλάσ σονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου.

λαβόντα τὸ χωρίον τὸ περιεχό μενον ὑπὸ τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμέ νας καὶ τᾶς εὐθείας, ἅ ἐστι δευ τέρα τᾶν ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς πε ριφορᾶς, δυνατόν ἐστι περὶ αὐ τὸ σχῆμα ἐπίπεδον περιγρά ψαι ἐξ ὁμοίων τομέων συγκεί μενον καὶ ἄλλο ἐγγράψαι, ὥστε τὸ περιγραφὲν τοῦ ἐγγραφέντος μεῖζον εἶμεν ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου.

ἔστω ἕ λιξ, ἐφ’ ᾇ ἁ ΑΒΓΔΕ, ἐν τᾷ δευτέ ρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένα, καὶ ἔστω τὸ μὲν Θ σαμεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἁ δὲ ΑΘ ἀρχὰ τᾶς πε ριφορᾶς, ἁ δὲ ΕΑ ἁ δευτέρα εὐθεῖ α τᾶν ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς, δὲ ΑΖΗ κύκλος ἔστω δεύτερος καὶ αἱ ΑΓΗ, ΖΙ διάμετροι αὐτοῦ ποτ’ ὀρ θὰς ἀλλάλαις. πάλιν οὖν δίχα τεμνομένας τᾶς ὀρθᾶς γωνίας καὶ τοῦ τομέως τοῦ τὰν ὀρθὰν γωνίαν περιέχοντος ἐσσεῖται τὸ καταλειπόμενον ἔλασσον τοῦ προτεθέντος· καὶ ἔστω γεγε νημένος ὁ ΘΚΑ τομεὺς ἐλάσσων τοῦ προτεθέντος χωρίου. διαι ρεθεισᾶν δὴ τᾶν ὀρθᾶν γωνι ᾶν εἰς τὰς ἴσας γωνίας τᾷ ὑ πὸ τᾶν ΚΘΑ καὶ τῶν ἄλλων κατα σκευασθέντων κατὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον ἐσσεῖται τὸ περιγε γραμμένον σχῆμα τοῦ ἐγγεγραμ μένου σχήματος μείζων ἐλάσ σονι ἢ ὁ τομεὺς ὁ ΘΚΑ· μείζων γὰρ ἐσσεῖται α υπεροχα, ᾇ ὑπερ έχει ὁ ΘΚΑ τομεὺς τοῦ ΘΕΡ.

δῆλον οὖν, ὅτι δυνατόν ἐστιν καὶ τὸ περιγρα φὲν σχῆμα τοῦ λαφθέντος χωρί ου μείζων εἶμεν ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου, καὶ πάλιν τὸ λαφθὲν χωρίον μεῖζον εἶμεν τοῦ ἐγγραφέντος σχήμα τος ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προ τεθέντος χωρίου.

διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου φανερὸν δι ότι δυνατὸν λαβόντα τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν ὁποιᾳοῦν περιφορᾷ γεγραμμένας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς κατὰ τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν λεγομέ νας περιγράψαι σχῆμα, οἷον εἴρη ται, ἐπίπεδον, ἔστω τὸ περιγρα φὲν σχῆμα μεῖζον εἶμεν τοῦ λα φθέντος χωρίου ἐλάσσονι παν τὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου, καὶ πάλιν ἐγγράψαι, ὥστε τὸ λαφθὲν χωρίον μεῖζον εἶμεν τοῦ ἐγ γραφέντος σχήματος ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου.

λαβόντα τὸ χωρίον τὸ περιεχό μενον ὑπό τε τᾶς ἕλικος, ἅ ἐστιν ἐλάσσων τᾶς ἐν μιᾷ περιφορᾷ γεγραμμένας, οὐκ ἐχούσας πέρας τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος, καὶ τᾶν εὐθειᾶν τᾶν ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς ἕλικος ἀγομενᾶν δυνατόν ἐστι περὶ τὸ χωρίον σχῆμα ἐπίπεδον περιγράψαι ἐξ ὁμοίων τομέων συγκείμενον καὶ ἄλλο ἐγγράψαι, ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα τοῦ ἐγγραφέντος μείζονι μὲν ἐλάσ σονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χω ρίου.

ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς ἁ ΑΒΓΔΕ, πέρατα δὲ αὐτᾶς τὰ Α, Ε, ἔστω δὲ ἀρχὰ τᾶς ἕλικος τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΘ, ΘΕ. γεγρά φθω δὴ κύκλος κέντρῳ μὲν τῷ Θ, διαστήματι δὲ τῷ ΘΑ, καὶ συμπιπτέτω τᾷ ΘΕ κατὰ τὸ ΖΑ. εἰ δὲ τᾶς γωνίας τᾶς ποτὶ τὸ Θ καὶ τοῦ τομέως τοῦ ΘΑΖ δίχα τεμνομένων ἐσσεῖται τὸ καταλει πόμενον τοῦ προτεθέντος ἐ λάσσων. ἔστω ἐλάσσων ὁ τομεὺς ὁ ΘΑΚ τοῦ προτεθέντος. ὁμοίως δὴ τοῖς πρότερον γεγράφθωσαν κύκλοι διὰ τῶν σαμείων, καθ’ ἃ τέμνοντι τὰν ἕλικα αἱ τὰς ἴσας γωνίας ποιοῦσαι ποτὶ τᾷ Θ, ὥσ τε τᾶν περιφερειᾶν ἑκάστα συμπίπτειν τᾷ τε προαγευμένᾳ καὶ τᾷ ἑπομένᾳ· ἐσσεῖται δή τι τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλικος καὶ τᾶν ΑΘ, ΘΕ εὐθει ᾶν περιγεγραμμένον σχῆμα ἐ πίπεδον ἐξ ὁμοίων τομέων συγκεί μενον καὶ ἄλλο ἐγγεγραμμένον, καὶ τὸ περιγεγραμμένον τοῦ ἐγγεγραμ μένου ἐλάσσονι ὑπερέχει τοῦ προ τεθέντος χωρίου· ἐλάσσων γάρ ἐστιν ὁ ΘΑΚ τομεύς.

ἐκ τούτου φανερόν ἐστιν, ὅτι δυνατόν ἐστιν περὶ τὸ εἰρημένον χωρίον ἐπίπεδον, οἷον εἴρηται, περι γράψαι, ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα μεῖζον εἶμεν τοῦ χωρίου ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου,

τὸ περιλαφθὲν χωρίον ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ πρώτᾳ περι φορᾷ γεγραμμένας καὶ τᾶς εὐ θείας τᾶς πρώτας τᾶν ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ κύκλου τοῦ πρώτου.

ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς ἁ ΑΒΓΔΕΘ, ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμ μένα, ἔστω δὲ τὸ μὲν Θ σαμεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἁ δὲ ΘΑ εὐ θεῖα πρώτα ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς, ὁ δὲ ΑΝΖΗΙ κύκλος πρῶτος, οὗ τρίτον μέρος ἔστω ἐ ν ᾧ Ϟ κύκλος. δεικτέον, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ προειρημένον χωρίον τῷ Ϟ κύκλῳ.

εἰ γὰρ μή, ἤτοι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἔλασσον. ἔστω πρότερον, εἰ δυ νατόν, ἔλασσον. δυνατὸν δή ἐστιν περὶ τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕΘ ἕλικος καὶ τᾶς ΑΘ εὐθείας περιγράψαι σχῆμα ἐπίπεδον ἐξ ὁμοίων το μέων, ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆ μα μεῖζον εἶμεν τοῦ χωρίου ἐλάσ σονι τᾶς ὑπεροχᾶς, ᾇ ὑπερέ χει ὁ Ϟ κύκλος τοῦ εἰρημένου χω ρίου. περιγεγράφθω δή, καὶ ἔστω τῶν τομέων, ἐξ ὧν σύγκειται τὸ εἰρημένον σχῆμα, μέγιστος μὲν ὁ ΘΑΚ, ἐλάχιστος δὲ ὁ ΘΕΟ· δῆλον οὖν, ὅτι τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα ἔλασσόν ἐστι τοῦ Ϟ κύκλου. ἐκβε βλήσθωσαν δὲ εὐθεῖαι ποτὶ τὸ Θ ποι οῦσαι τὰς ἴσας γωνίας, ἔστ’ ἂν πο τὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν πέσωντι· ἐντὶ δή τινες γραμμαὶ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτι πίπτουσαι τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι, ἇν ἐστι μείζων μὲν ἁ ΘΑ, ἐλάσσων δὲ ἁ ΘΕ, καὶ ἁ ἐλα χίστα ἴσα τᾷ ὑπεροχᾷ, ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι τινὲς γραμμαὶ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν περιφέρειαν τοῦ κύκλου ποτιπίπτουσαι τῷ μὲν πλήθει ἴσαι ταύταις, τῷ δὲ με γέθει ἑκάστα ἴσα τᾷ μεγίστᾳ, καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ πασᾶν ὁμοῖοι τομέες, ἀπό τε τᾶν τῷ ἴ σῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν καὶ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾷ μεγίστᾳ· οἱ ἄρα τομέες οἱ ἀ πὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ ἐλάσ σονές ἐντι ἢ τριπλάσιοι τῶν τομέων τῶν ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν· δέδεικται γὰρ τοῦτο. ἐντὶ δὲ οἱ μὲν τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾷ μεγίστᾳ ἴσοι τῷ ΑΖΗΙ κύκλῳ, οἱ δὲ τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλ λαλᾶν ὑπερεχουσᾶν ἴσοι τῷ προγεγραμμένῳ σχήματι· ἐ λάσσων ἄρα ὁ ΑΖΗΙΚ κύκλος τοῦ περιγεγραμμένου σχήμα τος ἢ τριπλασίων. τοῦ δὲ Ϟ κύ κλου τριπλασίων· ἐλάσσων ἄρα ὁ Ϟ κύκλος τοῦ περιγεγραμμέ νου σχήματος. οὐκ ἔστι δέ, ἀλλὰ μείζων· οὐκ ἄρα ἐστὶ τὸ περιεχό μενον χωρίον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓ ΔΕΘ ἕλικος καὶ τᾶς ΑΘ ἐλάσ σων τοῦ Ϟ χωρίου. ἑξῆς τὸ σχᾶμα

οὐδὲ τοίνυν μεῖζον. ἔστω γάρ, εἰ δυ νατόν, μεῖζον. ἔστι δὴ πάλιν δυ νατὸν εἰς τὸ χωρίον τὸ περιεχό μενον ὑπὸ τᾶς ΑΒΓΔΘ ἕλικος καὶ τᾶς ΑΘ εὐθείας ἐγγράψαι σχῆμα, ὥστε τὸ εἰρημένον χωρίον τοῦ ἐγγραφέντος σχήματος μεῖ ζον εἶμεν ἐλάσσονι ἢ ᾧ ὑπερέχει τὸ εἰρημένον χωρίον τοῦ Ϟ κύκλου. ἐγγεγράφθω δή, καὶ ἔστω τῶν τομέων, ἐξ ὧν σύγκειται τὸ ἐγ γεγραμμένον σχῆμα, μέγιστος μὲν ὁ ΘΡΞ, ἐλάσσων δὲ ὁ ΘΕ· δῆλον οὖν, ὅτι τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα μειζωον ἐστιν τοῦ Ϟ κύκλου. ἐκ βεβλήστωσαν δὴ αἱ ποιοῦσαι τὰς ἴσας γωνίας ποτὶ τὸ Θ, ἔσ τ’ ἄν κα ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου πε ριφέρειαν πέσωντι. πάλιν οὖν ἐντί τινες γραμμαὶ τῷ ἴσῳ ἀλ λαλᾶν ὑπερέχουσαι ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπίπτου σαι, ἇν ἐστι μεγίστα μὲν ἁ ΘΑ, ἐ λαχίστα δὲ ἁ ΘΕ, καί ἐστιν ἁ ἐλα χίστα ἴσα τᾷ ὑπεροχᾷ, ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι γραμμαὶ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ ΑΖΗΙ κύκλου περι φέρειαν ποτιπίπτουσαι τῷ μὲν πλήθει ἴσαι ταύταις, τῷ δὲ μεγέθει ἑκάστα ἴσα τᾷ μεγίστᾳ, καὶ ἀναγεγράφαται ἀπὸ πα σᾶν ὁμοῖοι τομέες ἀπό τε τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾷ μεγίσ τᾳ καὶ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλα λᾶν ὑπερεχουσᾶν· οἱ ἄρα τομέ ες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ μείζονές ἐν τε ἢ τριπλάσιοι τῶν τομέων τῶν ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας· δέδεικται γὰρ τοῦτο. ἐντὶ δὲ οἱ μὲν τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ ἴσοι τῷ ΑΖΗΙ κύκλῳ, οἱ δὲ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ὑπὸ τᾶς μεγίστας ἴσοι τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι· μείζων ἄρα ὁ ΑΖΗΙ κύκλος ἢ τρι πλασίων τοῦ ἐγγεγραμμένου σχή ματος. τοῦ Ϟ κύκλου τριπλασίων· μείζων ἄρα ἐστὶν ὁ Ϟ κύκλος τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος. οὐκ ἔστιν δέ, ἀλλὰ ἐλάσ σων· οὐκ ἄρα ἐστὶν οὐδὲ μεῖζον τὸ χωρίον τὸ ὑπό τε τᾶς ΑΒΗΕΘ ἕλι κος καὶ τᾶς ΑΘ εὐθείας τοῦ Ϟ κύ κλου. ἴσος ἄρα ἐστίν τῷ περιλα φθέντι ὑπὸ τᾶς ἕλικος καὶ τᾶς ΑΘ εὐθείας.

χωρίον ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ δευτέ ρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς δευτέρας τᾶν ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς ποτὶ τὸν δεύτερον κύκλον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὰ ζ ποτὶ τὰ ιβ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ ὃν ἔχει τὰ συναμφότερα τό τε περιεχόμε νον ὑπὸ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ β κύκλου καὶ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ α κύκλου καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπερο χᾶς, ᾇ ὑπερέχει ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ β κύκλου τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ α κύκλου ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ β κύκλου.

ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς ἁ ΑΒ ΓΔΕ, ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένα, ἔστω δὲ τὸ μὲν Θ σα μεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἁ δὲ ΘΕ εὐθεῖα ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφο ρᾶς ἁ πρώτα, ἁ δὲ ΑΕ ἐν τᾷ ἀρ χᾷ τᾶς περιφορᾶς ἁ δευτέρα, ὁ δὲ κύκλος ὁ ΑΖΗΙ ὁ δεύτερος ἔστω, καὶ αἱ ΑΗ, ΙΖ διάμετροι ποτ’ ὀρθὰς ἀλλάλαις. δεικτέον ὅτι τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλικος καὶ τᾶς ΑΕ εὐθείας ποτὶ τὸν ΑΖΗΙ κύ κλον λόγον ἔχει, ὃν τὰ ζ ποτὶ ιβ.

ἔστω δή τις κύκλος ὁ Ϟ, ἁ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ϟ κύκλου δυνάμει ἴ σα τῷ τε ὑπὸ τᾶν ΑΘ, ΘΕ περιε χομένῳ καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΕ τετραγώνου· ἕ ξει δὴ ὁ Ϟ κύκλος ποτὶ τὸν ΑΗΖΙ ὡς ἑπτὰ ποτὶ δώδεκα, διότι καὶ ἁ ἐκ τοῦ κέντρου αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΖΗΙ κύκλου τοῦτον ἔχει δυνάμει τὸν λόγον. δειχθή σεται οὖν ἴσος ὁ Ϟ κύκλος τῷ περι εχομένῳ χωρίῳ ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλικος καὶ τᾶς ΑΕ εὐ θείας.

εἰ γὰρ μή, ἤτοι μείζων ἐστὶν ἢ ἐλάττων. ἔστω δὴ πρότερον, εἰ δυνατόν, μείζων. δυνατὸν δή ἐστι περὶ τὸ χωρίον περιγρά ψαι σχῆμα ἐπίπεδον ἐξ ὁμοί ων τομέων συγκείμενον, ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα μεῖζον εἶμεν τοῦ χωρίου ἐλάσσονι ἢ ᾧ ὑ περέχει ὁ Ϟ κύκλος τοῦ χωρίου. περιγεγράφθω, καὶ ἔστω, ἐξ ὧν σύγκειται τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα, μέγιστος μὲν ὁ ΘΑΚ το μεύς, ἐλάχιστος δὲ ὁ ΘΟΔ· δῆλον οὖν, ὅτι τὸ περιγραφὲν σχῆμα ἔλασσόν ἐστιν τοῦ κύκλου. ἐκ βεβλήσθωσαν αἱ εὐθεῖαι αἱ ποι οῦσαι ποτὶ εὸ Θ ἴσας γωνίας, ἔστ’ ἂν ποτὶ τὰν τοῦ δευτέρου κύκλου περιφέρειαν πέσων τι. ἐντὶ δή τινες γραμμαὶ τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτι πίπτουσιν, ἇν ἐστι μεγίστα μὲν ἁ ΘΑ, ἐλαχίστα δὲ ἁ ΘΕ, ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι γραμμαὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὰν τοῦ ΑΖΗΙ κύκλου πε ριφέρειαν ποτιπίπτουσαι, τῷ μὲν πλήθει μιᾷ ἐλάσσονες ἑαυ τᾶν, τῷ δὲ μεγέθει ἀλλάλαις τε ἴσαι καὶ τᾷ μεγίστᾳ, καὶ ἀνα γεγράφαται ὁμοῖοι τομέες ἀ πὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ καὶ ἀ πὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπε ρεχουσᾶν, ἀπὸ δὲ τᾶς ἐλαχίστας οὐκ ἀναγεγράφεται· οἱ ἄρα τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ ποτὶ τοὺς τομέας τοὺς ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ἐλαχίστας ἐλάσσονα λό γον ἔχοντι ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μεγίστας τᾶς ΘΑ πο τὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΑΘ, ΘΕ περιεχόμενον καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ τετραγώνου· δέδεικται γὰρ τοῦτο. ἐντὶ δὲ τοῖς μὲν τομέσι τοῖς ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλας καὶ τᾷ μεγίστᾳ ἴσος ὁ ΑΖΗΙ κύκλος, τοῖς δὲ τομέεσσι τοῖς ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χω ρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ἐλαχίστας ἴσον τὸ περιγεγραμμένον· ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ κύκλος ποτὶ τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΘ ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΑΘ, ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΕ τετραγώνου. ὃν δὲ ἔχει λόγον τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΘΑ, ΑΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΕ τε τραγώνου, τοῦτον ἔχει ὁ ΑΖΗΙ κύκλος ποτὶ τὸν Ϟ κύκλον· ἐλάσσονα οὖν λόγον ἔχει ὁ ΑΖΗΙ κύκλος ποτὶ τὸ περι γεγραμμένον σχῆμα ἢ ποτὶ τὸν Ϟ κύκλον· ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ὁ Ϟ κύκλος τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος. οὐκ ἔστι δέ, ἀλλὰ μείζων· οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ὁ Ϟ κύκλος τοῦ χωρίου τοῦ πε ριεχομένου ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλι κος καὶ τᾶς ΑΖ εὐθείας.

οὐδὲ τοίνυν ἐλάσσων. ἔστω γάρ, εἰ δυ νατόν, ἐλάσσων. πάλιν οὖν δυ νατόν ἐστιν εἰς τὸ χωρίον τὸ περιε χόμενον ὑπό τε τᾶς ἕλικος καὶ τᾶς ΑΕ εὐθείας ἐγγράψαι σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ ὁμοίων τομέων συγκείμενον, ὥστε τὸ περιεχόμε νον χωρίον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕ λικος καὶ τᾶς ΑΕ εὐθείας μείζο νι μὲν τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήμα τος ἐλάσσονι, ἢ ᾧ ὑπερέχει τὸ αὐτὸ χωρίον τοῦ Ϟ κύκλου. ἐγγε γράφθω οὖν, καὶ ἔστω τῶν τομέ ων, ἐξ ὧν σύγκειται τὸ ἐγγεγραμμέ νον σχῆμα, μέγιστος μὲν ὁ ΘΚΡ το μεύς, ἐλάχιστος δὲ ὁ ΘΕΟ· δῆλον οὖν, ὅτι τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα μεῖζόν ἐστι τοῦ Ϟ κύκλου. ἐκβε βλήσθωσαν αἱ ποιοῦσαι ἴσας γω νίας ποτὶ τῷ Θ, ἔστ’ ἂν ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν πέσωντι. πάλιν οὖν ἐντί τινες γραμμαὶ τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα πο τιπίπτουσαι, ἇν μεγίστα μὲν ἁ ΘΑ, ἐλαχίστα δὲ ἁ ΘΕ, ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι γραμμαὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν ποτιπίπτουσαι τῷ μὲν πλήθει μίαν ἐλάσσους ταῦτα, τῷ δὲ με γέθει ἴσαι ἀλλάλαις τε καὶ τᾷ μεγίστᾳ, καὶ ἀναγεγράφαται ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπε ρεχουσᾶν ὁμοῖοι τομέες καὶ ἀ πὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ· οἱ ἄρα τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ με γίστᾳ ποτὶ τοὺς τομέας τοὺς ἀ πὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερε χουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγί στας μείζονα λόγον ἔχοντι ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ πο τὶ τὰ συναμφότερα τό τε περιε χόμενον ὑπό τε τᾶν ΑΘ, ΘΕ καὶ τὸ τρίτον τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ τετρα γώνου. ἔστι δὲ τοῖς μὲν τομεῦσι τοῖς ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερ εχουσᾶν χωρὶς τοῦ ὑπὸ τᾶς μεγί στας ἴσον τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆ μα ἐν τῷ χωρίῳ, τοῖς δὲ ἑτέροις ὁ κύκλος· μείζονα οὖν λόγον ἔχει ὁ ΑΗΖΙ κύκλος ποτὶ τὸ ἐγγεγραμ μένον σχῆμα ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΘΑ, ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΕ τετραγώνου, τουτέστιν ὁ ΑΖΗΙ κύκλος ποτὶ τὸν Ϟ κύκλον. μεί ζων ἄρα ἐστὶν ὁ Ϟ κύκλος τοῦ ἐγ γεγραμμένου σχήματος· ὅπερ ἀδύνατον· ἦν γὰρ ἐλάσσων. οὐ κ ἄρα ἐστὶν οὐδὲ ἐλάσσων ὁ Ϟ κύκλος τοῦ περιεχομένου χω ρίου ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλικος καὶ τᾶς ΑΕ εὐθείας· ὥστε ἴσος.

διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου δειχθήσε ται καὶ διότι τὸ περιλαφθὲν χω ρίον ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν ὁ ποιᾳοῦν περιφορᾷ γεγραμμέ νας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς κατὰ τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν ταῖς περιφο ραῖς λεγομένας ποτὶ τὸν κύκλον τὸν ποτὶ τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν λε γόμενον ταῖς περιφοραῖς λόγον ἔχει, ὃν συναμφότερον τό τε ὑ πὸ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κατὰ τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν κύκλου καὶ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τὸ κατὰ τὸ μενι ἐλάσσονα τᾶν περιφο ρᾶν λεγομένου καὶ τὸ τρίτον μέ ρος τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς, ᾇ ὑπερέχει ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ μείζονος κύκλου τῶν εἰρημένων τᾶς ἐκ τοῦ κέν τρου τοῦ ἐλάσσονος κύκλου τῶν εἰρημένων, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ μείζονος κύκλου τῶν εἰρημένων.

τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τᾶς ἕλικος, ἅ ἐστιν ἐλάσσων τᾶς ἐν μιᾷ περιφορᾷ γεγραμ μένας, οὐκ ἐχούσας πέρας τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος, καὶ τᾶν εὐ θειᾶν τᾶν ἀπὸ τῶν περάτων αὐτᾶς ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλι κος ἀγμενᾶν ποτὶ τὸν τομέα τὸν ἔχοντα τὰν μὲν ἐκ τοῦ κέν τρου ἴσαν τᾷ μείζονι τᾶν ἀπὸ τοῦ πέρατος ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἀγμενᾶν, τὰν δὲ περι φέρειαν, ἅ ἐστι τᾷ μεταξὺ τᾶν εἰρημενᾶν εὐθειᾶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ τᾷ ἕλικι, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερα τό τε πε ριεχόμενον ἀπὸ τᾶν ἀπὸ τῶν περάτων ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἀγομέναν καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς, ᾇ ὑπερέχει ἁ μεί ζων τᾶν εἰρημενᾶν εὐθειᾶν τᾶς ἐλάσσονος, ποτὶ τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μείζονος τᾶν ἀπὸ τῶν περάτων ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἐπιζευχθεισᾶν.

ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς ἁ ΑΒΓΔΕ, ἐλάσσων τᾶς ἐν μιᾷ περιφορᾷ γεγραμ μένας, πέρατα δὲ αὐτᾶς ἔστω τὰ Α, Ε, ἔστω δὲ ἀρχὰ τᾶς ἕλικος τὸ Θ σαμεῖον, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Θ, διαστήματι δὲ τῷ ΘΑ κύ κλος γεγράφθω, καὶ συμπιπτέτω τᾷ περιφερείᾳ αὐτοῦ ἁ ΘΕ κατὰ τὸ Ζ. δεικτέον ὅτι τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλικος καὶ τᾶν εὐθειᾶν τᾶν ΑΘ, ΘΕ ποτὶ τὸν τομέα τὸν ΑΘΖ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΑΘ, ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέ ρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΖ ποτὶ τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ.

ἔστω δὴ κύ κλος, ἐν ᾧ ϞΧ, τὰν ἐκ τοῦ κέντρου ἔ χων ἴσαν δύναμιν τῷ τε ὑπὸ τᾶν ΑΘ, ΘΕ καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΖ, ποτὶ δὲ τῷ κέντρῳ αὐτοῦ γωνία ἴσα τᾷ ποτὶ τῷ Θ· ὁ δὴ τομεὺς ὁ ϞΧ ποτὶ τὸν τομέα τὸν ΘΑΖ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΘ, ΘΕ καὶ τὸ τρί τον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΖ τετρα γώνου ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ τετρά γωνον· αἱ γὰρ ἐκ τῶν κέντρων τοῦτον ἔχοντι τὸν λόγον δυνάμει ποτ’ ἀλλάλας. δειχθήσεται δὴ ὁ ΧϞ τομεὺς ἴσος ἐὼν τῷ χωρίῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλικος καὶ τᾶν ΑΘ, ΘΕ εὐ θειᾶν.

εἰ γὰρ μή, ἤτοι μείζων ἢ ἐ λάττων. ἔστω πρότερον, εἰ δυνατόν, μείζων. δυνατὸν οὖν ἐστιν περὶ τὸ εἰρημένον χωρίον περιγράψαι σχῆμα ἐπίπεδον ἐξ ὁμοίων τομέ ων συγκείμενον, ὥστε τὸ περιγρα φόμενον σχῆμα μείζονι μὲν τοῦ εἰρημένου χωρίου ἐλάσσονι ἢ ἁ λίκῳ ὑπερέχει ὁ ϞΧ τομεὺς τοῦ εἰρημένου χωρίου. περιγεγρά φθω δή, καὶ ἔστω τῶν τομέων, ἐξ ὧν σύγκειται τὸ περιγεγραμμένον σχῆ μα, μείζων μὲν ὁ ΘΑΚ, ἐλάσσων δὲ ὁ ΘΟΔ· δῆλον, ὅτι τὸ περιγεγραμ μένον σχῆμα ἔλασσόν ἐστι τοῦ ΧϞ τομέως. διάχθωσαν δὴ εὐ θεῖαι αἱ ποιοῦσαι τὰς ἴσας γω νίας ποτὶ τὸ Θ, ἔστ’ ἂν ποτὶ τὰν περιφέρειαν τοῦ ΘΑΖ τομέως πέσωντι. ἐντὶ δή τινες εὐθεῖαι τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι, αἱ ἀ πὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτι πίπτουσαι, ἇν ἐστι μεγίστα μὲν ἁ ΘΑ, ἐλαχίστα δὲ ἁ ΘΕ, ἐντὶ δὲ καὶ ἄλ λαι εὐθεῖαι ἐν μὲν τῷ πλήθει μιᾷ ἐλάσσονες ταυτᾶν, τῷ δὲ μεγέθει ἴσαι ἀλλάλαις τε καὶ τᾷ μεγίστᾳ, αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ ΑΘΖ τομέως περιφέρειαν ποτιπί πτουσαι χωρὶς τᾶς ΘΖ, καὶ ἀνα γεγράφαται ὁμοῖοι τομέες ἀ πὸ πασᾶν, ἀπό τε τᾶν ἰσᾶν ἀλ λάλαις τε καὶ τᾷ μεγίστᾳ καὶ ἀ πὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπε ρεχουσᾶν, ἀπὸ δὲ τᾶς ΘΕ οὐκ ἀ ναγέγραπται· τομέες οὖν οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾷ με γίστᾳ ποτὶ τοὺς τομέας τοὺς ἀ πὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπε ρεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ἐ λαχίστας τομέως ἐλάσσονα λόγον ἔχοντι ἢ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ ποτὶ τὰ συναμφότερα τά τε ὑπὸ τᾶν ΑΘ, ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέ ρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΖ τετραγώνου. ἔστι δὲ τοῖς μὲν τομέεσσιν τοῖς ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾷ μεγίστᾳ ἴσος ὁ ΘΑΖ τομεύς, τοῖς δὲ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑ περεχουσᾶν τὸ περιγεγραμμέ νον· ἐλάσσονα οὖν λόγον ἔχει ὁ ΘΑΖ τομεὺς ποτὶ τὸ περιγε γραμμένον σχῆμα ἢ τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΑ, ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΖΕ. ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ ἀ πὸ τᾶς ΘΑ ποτὶ τὰ εἰρημένα, τοῦτον τὸν λόγον ἔχει ὁ ΘΑΖ το μεὺς ποτὶ τὸν Χ τομέα· ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ὁ ΧϞ τομεὺς τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος. οὐκ ἔστι δέ, ἀλλὰ μείζων· οὐκ ἄρα ἐσσεῖται ὁ Χ τομεὺς μείζων τοῦ περι εχομένου χωρίου ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλικος καὶ τᾶν ΑΘ, ΘΕ εὐθειᾶν.

οὐδὲ τοίνυν ἐλάσσων. ἔστω γὰρ ἐλάσσων, καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ κατεσκευ άσθω. πάλιν δὴ δυνατόν ἐστιν εἰς τὸ χωρίον ἐγγράψαι σχῆμα ἐπίπεδον ἐξ ὁμοίων τομέων συγκείμενον, ὥστε τὸ εἰρημένον χωρίον μείζονι μὲν τὸ τοῦ ἐγ γραφέντος σχήματος ἐλάσσο νι ἢ ἁλίκῳ ὑπερέχει τὸ αὐτὸ χω ρίον τοῦ Χ τομέως. ἐγγεγράφθω οὖν, καὶ ἔστω τῶν τομέων, ἐξ ὧν σύγκειται τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆ μα, μεῖζον μὲν ὁ ΘΒΓ, ἔλασσον δὲ ὁ ΘΕ· δῆλον οὖν, ὅτι τὸ ἐγγεγραμμέ νον σχῆμα μεῖζόν ἐστι τοῦ Χ τομέ ως. πάλιν οὖν ἐντί τινες γραμ μαὶ τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερέ χουσαι ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλι κα ποτιπίπτουσαι, ἇν ἐστι με γίστα μὲν ἁ ΘΑ, ἐλαχίστα δὲ ἁ ΘΕ, ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι γραμμαὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ ΘΑΖ το μέως περιφέρειαν ποτιπί πτουσαι χωρὶς τᾶς ΘΑ τῷ μὲν πλήθει μιᾷ ἐλάσσονες τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν, τῷ δὲ μεγέθει ἀλλάλαις τε καὶ τᾷ μεγίστᾳ ἴσαι, καὶ ἀναγεγρά φεται ἀπὸ ἑκάστας ὁμοῖοι το μέες, ἀπὸ δὲ τᾶς μεγίστας τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν οὐκ ἀναγέγραπται· οἱ τομέες οὖν οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾷ μεγίστᾳ ποτὶ τοὺς το μέας τοὺς ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας μείζονα λόγον ἔχοντι ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΘΑ, ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀ πὸ τᾶς ΕΖ· ὥστε καὶ ὁ ΘΑΖ τομεὺς ποτὶ τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ποτὶ τὸν Χ τομέα· ὥστε μείζων ὁ ΧϞ τομεὺς τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος. οὐκ ἔστι δέ, ἀλλὰ ἐλάσσων· οὐκ ἄρα ἐστὶν οὐδὲ ἐλάσσων ὁ Χ τομεὺς τοῦ περιεχομένου χωρίου ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔ ἕλικος καὶ τᾶν ΑΘ, ΘΕ εὐ θειᾶν· ἴσος ἄρα.

τῶν χωρίων τῶν περιεχομένων ὑπό τε τᾶν ἑλίκων καὶ τᾶν εὐ θειᾶν τᾶν ἐν τᾷ περιφορᾷ τὸ μὲν γ τοῦ β διπλάσιόν ἐστι, τὸ δὲ δ τριπλάσιον, τὸ δὲ ε τετραπλά σιον, καὶ ἀεὶ τὸ ἑπόμενον κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθμοὺς πολλαπλά σιον τοῦ δευτέρου χωρίου, τὸ δὲ α χωρίον ἕκτον μέρος ἐστὶ τοῦ δευτέρου.

ἔστω ἁ προκειμένα ἕλιξ ἔν τε τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμ μένα καὶ ἐν τᾷ δευτέρᾳ καὶ ἐν ταῖς ἑπομέναις ὁποσαισοῦν, ἔστω ἀρχὰ μὲν τᾶς ἕλικος τὸ Θ σαμεῖον, ἁ δὲ ΘΕ εὐθεῖα ἀρχὰ τᾶς περιφορᾶς, τῶν δὲ χωρίων ἔστω τὸ μὲν Κ τὸ α, τὸ δὲ Λ τὸ β, τὸ δὲ Μ τὸ γ, τὸ δὲ Ν τὸ δ, τὸ δὲ Ξ τὸ ε. δει κτέον ὅτι τὸ μὲν Κ χωρίον ϛ μέρος ἐστὶ τοῦ ἑπομένου, τὸ δὲ Μ δι πλάσιον τοῦ Λ, τὸ δὲ νγπ τοῦ Λ, καὶ τῶν ἑξῆς ἀεὶ τὸ ἑπόμενον πολλαπλάσιον τοῦ Λ κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθμούς.

ὅτι μὲν οὖν τὸ Κ ϛ μέρος ἐστὶ τοῦ Λ, ὧδε δείκνυται. ἐπεὶ τὸ ΚΛ χωρίον ποτὶ τὸν β κύκλον δέδεικται τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὰ ζ ποτὶ τὰ ιβ, ὁ δὲ β κύ κλος ποτὶ τὸν α κύκλον ὡς ιβ πο τὶ τὰ γ· δῆλον γάρ ἐστιν· ὁ δὲ α κύκλος ποτὶ τὸ Κ χωρίον ἔχει ὡς γ ποτὶ α, ϛ ἄρα ἐστὶ τὸ Κ χωρίον τοῦ Α. πά λιν δὲ καὶ τὸ ΚΛΜ χωρίον ποτὶ τὸν γ κύκλον δέδεικται ὅτι τοῦτον ἔ χει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότε ρον τό τε ὑπὸ ΓΘΒ καὶ τὸ τρίτον μέ ρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΓΒ τετραγώνου ποτὶ τὸ ἀπὸ ΓΘ τετράγωνον. ὁ δὲ γ κύ κλος ἔχει ποτὶ τὸν β κύκλον ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΓΘ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΒ, ὁ δὲ β κύκλος ἔχει πο τὶ τὸ ΚΛ χωρίον ὃν τὸ ἀπὸ ΒΘ τετράγωνον ποτὶ τὰ συναμφότε ρα τό τε ὑπὸ τᾶν ΒΘ, ΘΑ καὶ τὸ τρί τον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΒ τετρα γώνου. ταῦτα δὲ ἔχει ποτὶ ἄλλαλα λόγον, ὃν ιθ ποτὶ τὰ ζ· ὥστε καὶ τὸ ΚΛΜ χωρίον ποτὶ τὸ ΛΚ χωρίον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ιθ ποτὶ τὰ ζ· αὐτὸ οὖν τὸ Μ ποτὶ τὸ ΚΛ λό γον ἔχει, ὃν τὰ ιβ ποτὶ τὰ ζ. τὸ δὲ ΚΛ ποτὶ τὸ Λ λόγον ἔχει, ὃν τὰ ιβ ποτὶ τὰ ζ. τὸ δὲ ΚΛ ποτὶ τὸ Λ λό γον ἔχει, ὃν τὰ ζ ποτὶ τὰ ϛ· δῆλον οὖν ὅτι διπλάσιόν ἐστι τὸ Μ τοῦ Λ.

ὅτι δὲ τὰ ἑπόμενα τὸν τῶν ἑξῆς ἀριθμῶν λόγον ἔχει, δειχθήσεται. τὸ γὰρ ΗΚΛ ΜΝΞ ποτὶ τὸν κύκλον, οὗ ἐστιν ἐκ τοῦ κέντρου ἁ ΘΕ, τοῦ τον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμ φότερον τό τε ὑπὸ τᾶν ΕΘ, ΘΔ πε ριεχόμενον καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΔΕ τετραγώνου πο τὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΕ τετράγωνον. ὁ δὲ κύκλος, οὗ ἐστιν ἐκ τοῦ κέντρου ἁ ΘΕ, ποτὶ τὸν κύκλον, οὗ ἐστιν ἐκ τοῦ κέντρου ἁ ΘΔ, τοῦτον ἔχει τὸν λό γον, ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΕ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΔ τετράγωνον, ὁ δὲ κύκλος, οὗ ἐστιν ἀπὸ τοῦ κέν τρου ἁ ΔΘ, ποτὶ τὸ ΚΛΜΝ χωρίον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΔ τετράγωνον ποτὶ τὰ συναμ φότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΔ, ΘΓ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΔΕ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΘ, ΘΓ καὶ τὸ τρί τον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΔΓ· διελόν τι καὶ τὸ Ξ χωρίον ποτὶ τὸ ΚΛΜΝ λόγον ἔχει, ὃν ἁ ὑπεροχὰ τοῦ τε ὑ πὸ ΕΘ, ΘΔ μετὰ τοῦ τρίτου μέρεος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΔ ποτί τε τὸ ὑπὸ τᾶν ΔΘ, ΘΓ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀ πὸ τᾶς ΔΓ· ὑπερέχει δὲ τὰ συναμ φότερα τῶν συναμφοτέρων, ᾧ καὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΕΘΔ τοῦ ὑπὸ τᾶν ΔΘΓ, ὑπερέχει δὲ τῷ ὑπὸ τᾶν ὑπερέχει δὲ τῷ ὑπὸ τᾶν

καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ, τὸ δὲ ΝΠ χωρίον ποτὶ τὸ Π τοῦ τον ἔχει τὸν λόγον, ὃν τὰ συναμ φότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΗΘΑ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ τετραγώνου ποτὶ συναμφότερον τό τε ὑπὸ τᾶν ΗΑΘ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ τετρα γώνου, ἕξει καὶ τὸ Ξ ποτὶ τὸ Π τοῦτον τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμ φότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΗ ΗΑ καὶ δύο τριταμόρια τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ ποτὶ συναμφότερον τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΗ ΗΑ καὶ δύο τρι ταμόρια τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ ποτὶ συναμφότερον τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΗ ΗΑ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ. τὰ δὲ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΑΗ καὶ δύο τριταμόρια τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ ποτὶ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΗΑ καὶ τὸ τρίτον μέ ρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ τετραγώ νου τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερα ἅ τε ΘΗ καὶ δύο τριταμόρια τᾶς ΗΑ ποτὶ συναμφοτέραν τὰν ΘΗ καὶ τὸ τρίτον μέρος τᾶς ΗΑ· δῆλον οὖν, ὅτι καὶ τὸ Ξ χωρίον ποτὶ τὸ Π χωρίον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν συναμφότερα ἅ τε ΘΑ καὶ δύο τριταμόρια τᾶς ΗΑ ποτὶ συναμφότερον τὰν ΘΑ καὶ τὸ τρίτον μέρος τᾶς ΗΑ. Ἀρχιμήδους περὶ ἑλίκων