εἰσί τινες ἐν ἐπιπέδωι καμπύλαι γραμμαὶ πεπερασ μέναι, αἳ τῶν τὰ πέρατα ἐπιζευ γνυουσῶν αὐτῶν εὐθειῶν ἤτοι ὅλαι ἐπὶ τὰ αὐτά εἰσιν ἢ οὐδὲν ἔχ ου σιν ἐπὶ τὰ ἕτερα.

ἐπὶ τὰ αὐτὰ δὴ κοίλην καλῶ τὴν τοιαύτην γραμ μήν, ἐν ᾗ ἐὰν δύο σημείων λαμ βανομένων ὁποιωνοῦν αἱ μετα ξὺ τῶν σημείων εὐθεῖαι ἤτοι πᾶσαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ πίπτουσιν τ τῆς γραμμῆς, ἢ τινὲς μὲν ἐπὶ τὰ αὐ τά, τινὲς δὲ κατ’ αὐτῆς, ἐπὶ τὰ ἕτερα δὲ μηδεμία.

ὁμοίως δὴ κ καὶ ἐπιφάνειαί τινές εἰσιν πεπερασ μέναι, αὐταὶ μὲν οὐκ ἐν ἐπιπέ δωι, τὰ δὲ πέρατα ἔχουσαι ἐν ἐ πιπέδωι, αἳ τοῦ ἐπιπέδου, ἐν ὧι τὰ πέρατα ἔχουσιν, ἤτοι ὅλαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ ἔσονται ἢ οὐδὲν ἔχουσιν ἐπὶ τὰ ἕτερα

ἐπὶ τὰ αὐτὰ δὴ κοίλας καλῶ τὰς τοιαύτας ἐπιφα νείας, ἐν αἷς ἂν δύο σημείων λαμ βανομένων αἱ μεταξὺ τῶν σημεί ων εὐθεῖαι ἤτοι πᾶσαι ἐπὶ τὰ αὐ τὰ πίπτουσιν τῆς ἐπιφανείας, ἢ τινὲς μὲν ἐπὶ τὰ αὐτὰ, τινὲς δὲ κατ’ α ὐτῆς , ἐπὶ τὰ ἕτερα δὲ μ έρ η μη δεμία.

τομέ α δὲ στερεὸν καλῶ, ἐπειδὰν σφαῖραν κῶνος τέμηι κορυφὴν ἔχω ν πρὸς τῶι κέντρωι τῆς σφαίρας, τὸ ἐμπεριεχόμε νον σχῆμα ὑπό τε τῆς ἐπιφα νεί ας τοῦ κώνου καὶ τῆς ἐπιφα νείας τῆς σφαίρας ἐντὸς τοῦ κώνου.

ῥόμβον δ ὲ καλῶ στερε όν , ἐπειδ ὰν δύο κῶνοι τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντες τὰς κορυφὰς ἔχωσιν ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ ἐπιπέ δου τῆς βάσεως, ὅπως οἱ ἄξο νες αὐτῶν ἐπ’ εὐθείας ὦσι κείμε νοι, τὸ ἐξ ἀμφοῖν τοῖν κώνοιν συγκείμενον τὸ στερεὸν σχῆμα.

τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν γραμμῶν ἐ λαχίστην εἶναι τὴν εὐθεῖαν.

τῶν δὲ ἄλλων γραμμῶν, εἶναι τὰς τοιαύ τας, ἐπειδ’ ἂν ὦσιν ἀμφότεραι ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαι, καὶ ἤτοι ὅλη περιλαμβάνηται ἡ ἑτέρα αυτ αὐτῶν ὑπὸ τῆς ἑτέρας ἐπιφανείας καὶ τῆς εὐθείας τῆς τὰ αὐτὰ πέρα τα ἐχούσης αὐτῆ, ἢ τινὰ μὲν περιλαμβάνηται λαμβάνηται , τινὰ δὲ κοινὰ ἔχη, καὶ ἐλάσσονα εἶναι τὴν περιλαμ βανομένην.

ὁμοίως δὲ καὶ τῶν ἐπιφα νειῶν τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχου σῶν, ἐὰν ἐν ἐπιπέδωι τὰ πέρα τα ἔχωσιν, ἐλάσσονα εἶναι τὴν ἐπίπεδον.

τῶν δὲ ἄλλων ἐπιφα νειῶν καὶ τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν, ἐὰν ἐν ἐπιπέδωι τὰ πέρατα ἦι, ἀ νίσους εἶναι τὰς τοιαύτας, ἐπειδὰν ὦσιν ἀμφότεραι ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖ λαι, καὶ ἤτοι ὅλη περιλαμβάνηται ὑπὸ τῆς ἑτέρας ἐπιφανείας καὶ τῆς ἐπιπέδου τῆς τὰ αὐτὰ πέρα τα ἐχούσης αὐτῆ, ἢ τινὰ μὲν πε ριλαμβάνηται, τινὰ δ ὲ κοινὰ ἔ χη , καὶ ἐλάσσονα εἶναι τὴν περι λαμβανομένην.

ἔτι δὲ τῶν ἀνίσων γραμμῶν καὶ τῶν ἀνίσων ἐπιφα νειῶν καὶ τῶν ἀνίσων στερεῶν τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάσσονος υπερεχει ὑπερέχειν τοιούτω, ὃ συντιθέμενον αὐτὸ ἑ αυτῶι δυνατόν ἐστιν ὑπερέχειν παν τὸς τοῦ προτεθέντος τῶν πρὸς ἄλλη λα λεγομένων.

τούτων δὲ ὑποκει μένων, ἐὰν εἰς κύκλον πολύγωνον ἐγγραφῆ, φανερὸν ὅτι ἡ περίμετρος τοῦ ἐγγραφέντος πολυγώνου ἐλάσ σων ἐστὶν τῆς τοῦ κύκλου περφερει περιφερείας · ἑκάστη γὰρ τῶν τοῦ πολυγώνου πλευ ρῶν ἐλάσσων ἐστὶ τῆς τοῦ κύκλου περι φερειας περιφερείας τῆς ὑπὸ τῆς αὐτῆς ἀπο τεμνομένης.

ἐάνπερ κύκλ κύκλον πολύγωνον περιγραφῆι, ἡ τοῦ περιγραφέντος πολυγώνου περί μετρος μείζων ἐστὶν τῆς περιμέ τρου τοῦ κύκλου.

περὶ γὰρ κύκλο κύκλον πολύγωνον περιγεγράφθω τὸ ὑ ποκείμενον. λέγω ὅτι ἡ περίμε τρος τοῦ πολυγώνου μείζων ἐστὶν τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου.

ἐπεὶ γὰρ συναμφότερος ἡ ΒΑΛ μείζων ἐστὶ τῆς ΒΛ περιφερείας διὰ τὸ τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαν πε ριλαμβάνειν τὴν περιφέρεια περιφέρειαν , ὁμοίως καὶ συναμφότερος μὲν ἡ ΔΓ, ΓΒ τῆς ΔΒ, συναμφότερος δὲ ἡ ΛΚ, ΚΘ τῆς ΛΘ, συναμφό τερος δὲ ἡ ΖΗΘ τῆς ΘΖ, ἔτι δὲ συναμ φότερος ἡ ΔΕ, ΕΖ τῆς ΔΖ, ὅ λη ἄρα ἡ περίμετρος τοῦ πολυγώνου μεί ζων ἐστὶν τῆς περιφερείας τ τοῦ κύκλ κύκλου .

δύο μεγεθῶν ἀνίσων δοθέντων δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν δύο εὐθείας ἀνίσους, ὥστε τὴν μείζονα εὐθεῖα εὐθεῖαν πρὸς τὴν ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἐλάσ σονα ἤτοι μείζων μέγεθος πρὸς τὸ ἔλασσον.

ἔστω δύο μεγέθη ἄνισα τὰ ΑΒ, Δ, καὶ ἔστω μεῖζων τὸ ΑΒ. λέγω ὅτι δυνατόν ἐστι δύο εὐθείας ἀνί σους εὑρεῖν τὸ εἰρημένον ἐπίταγ μα ποιούσας.

κείσθω διὰ τοῦ Β τοῦ Α Εὐκλείδου τῶι Δ ἴσον τὸ ΒΓ, καὶ κείσθω τις εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΖΗ· τὸ δὴ ΓΑ ἑαυτῶι ἐπισυντιθέμεν ἐπισυντιθέμενον ὑπερέξει τοῦ Δ. πεπολλαπλασι άσθω οὖν, καὶ ἔστω τὸ ΑΘ, καὶ ὁσαπλά σιόν ἐστι τὸ ΑΘ τοῦ ΑΓ, τοσαυταπλά σιος ἔστω ἡ ΖΗ τῆς ΖΕ· ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ΘΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ ΖΗ πρὸς ΗΕ· καὶ ἀνά παλίν ἐστιν, ὡς ἡ ΗΕ πρὸς ΗΖ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς ΑΘ. καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστιν τὸ ΑΘ τοῦ Δ, τουτέστι τοῦ ΓΒ, τὸ ἄρα ΓΑ πρὸς τὸ ΑΘ λόγον ἐλάσσονα ἔχει ἤ ἤπερ τὸ ΓΑ πρὸς ΓΒ. Ἀλλ᾽ ὡς τὸ ΓΑ πρὸς ΑΘ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς ΗΖ· ἡ ΕΗ ἄρα πρὸς ΗΖ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΓΑ πρὸςτὸ ΓΒ· καὶ συνθέντι ἡ ΕΖ ἄρα πρὸς ΖΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤ ἤπερ τὸ ΑΒ πρὸς ΒΓ διάλλη μα . ἴσον δὲ τὸ ΒΓ τῶι Δ· ἡ ΕΖ ἄρα πρὸς ΖΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Δ.

εὑρημέναι εἰσὶν ἄρα δύο εὐ θεῖαι ἄνισοι ποιοῦσαι τὸ εἰρημέ νον ἐπίταγμα τουτέστιν τὴν μείζο να πρὸς τὴν ἐλάσσονα λόγον ἔχoν ἐλάσσονα ἢ τὸ μεῖζον μέγεθος πρὸς τὸ ἔλασσον.

πυραμὶς βάσιν μὲν ἔχουσα ἰ σόπλευρον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἐ πεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ ΔΓ ΔΒ· λέ γω ὅτι τὰ ΑΔΒ ΑΔΓ τρίγωνα ἴσα ἐστὶ τριγώνωι, οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶ τῆ περιμέτπρωι τοῦ ΑΒΓ τρι γώνου, ἡ δὲ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἴση τῆι καθέτωι τῆι ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὴν ΒΓ ἀγομένην.

ἤχθωσαν γὰρ κά θετοι αἱ ΔΚ ΔΛ ΔΜ· αὗται ἄρα ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ κείσθω τρί γωνον τὸ ΕΖΗ ἔχον τὴν μὲν ΕΖ βάσιν τῆι περιμέτρωι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἴσην, τὴν δὲ ΗΘ κάθε τον τῆι ΔΛ ἴσην. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΔΛ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΔΒΓ τριγώνου, ἔστιν δὲ καὶ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒ ΔΚ διπλάσιον τοῦ ΑΒΔ τριγώνου, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΓΔΜ διπλάσιον τοῦ ΑΔΓ τριγώνου, τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, τουτ τουτέστι τῆς ΕΖ, καὶ τῆς ΔΛ, τουτ τουτέστι τῆς ΗΘ, διπλάσιόν ἐστι τῶν ΑΔΒ ΒΔΓ ΑΔΓ τριγώνων. ἔστι δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΕΖΗΘ διπλασι διπλάσιον τοῦ ΕΖΗ τριγώνου· ἴσον ἄρα τὸ ΕΖΗ τρίγωνον τοῖς ΑΛΒ ΒΔΓ ΑΔΓ τρι γώνοις.

ἐὰν περὶ κῶνον ἰσοσκελῆ πυρα μὶς περιγραφῆι ἡ ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος χωρὶς τῆς βάσεως ἴση ἐστὶν τριγώνωι βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν ἴσην τῆι περιμέτρωι τῆς βάσεως ὕψος δὲ τὴν πλευρα πλευρὰν τοῦ κώνου.

ἔστω κῶνος οὗ βάσις ὁ ΑΒΓ κύκλος καὶ πυραμὶς περι γεγράφθω ὥστε τὴν βάσιν αὐτῆς τουτ τουτέστι τὸ ΔΕΖ πολύγωνον περιγε γραμμένον περὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον εἶναι· λέγω ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τῆς πυ ραμίδος χωρὶς τῆς βάσεως ἴση ἐστὶ τῶι εἰρημένωι τριγͅώνωι.

ἐ̓πεὶ γὰρ ὁ ἄξων τοῦ κώνου ὀρθός ἐστι πρὸς τὴν βάσιν τουτ τουτέστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον καὶ αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐπὶ τὰς ἁφὰς ἐπεζεύγμεναι εὐθεῖαι κάθετοί εἰσιν ἐπὶ τὰς ἐφαπτομέ νας ἔσονται ἄρα καὶ αἱ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου ἐπὶ τὰς ἁφὰς ἐπεζεύγμεναι κάθετοι ἐπὶ τὰς ΔΕ ΖΕ ΖΔ αἱ ΗΑ ΗΒ ΗΓ ἄρα αἱ εἰρημέναι κάθετοι ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις· πλευραὶ γάρ εἰσιν τοῦ κώνου. Κείσθω δὴ τὸ τρί γωνον τοῦ ΘΚΛ ἴσην ἔχον τὴν μὲν ΘΚ τῆι περιμέτρωι τοῦ ΔΕΖ τριγών τριγώνου τὴν δὲ ΛΜ κάθετον ἴσην τῆι ΗΑ. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ὑπὸ ΔΕ ΑΗ διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΔΕΗ τριγώνου τὸ δὲ ὑπὸ ΔΖ ΗΒ διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΔΖΗ τριγώνου τὸ δὲ ὑπὸ ΕΖ ΓΗ διπλάσιόν ἐστιν τοῦ Ε ΗΖ τριγώνου ἔστιν ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς ΘΚ καιτῆς ΑΗ τουτ τουτέστι τῆς ΜΛ διπλάσιον τῶν ΕΔΗ ΔΗΖ ΕΗΖ τρίγωνον. ἔστι δὲ καὶ τὸ ὑπ ὸ τῶν ΘΚ ΛΜ διπλάσιον τοῦ ΛΚΘ τριγώνου· διὰ τοῦτο δὴ ἴση ἐστὶν ἡ ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος χωρὶς τῆς βάσεως τριγώνωι βάσιν μ μὲν ἔχοντι ἴσην τῆι περιμέτρωι τοῦ ΔΕΖ ὕψος δὲ τὴν πλευρὰν τοῦ κών κώνου . ἐξ ἐξῆς τὸ σχᾶμα

ἐ ὰν κώνου τινὸς ἰσοσκέλους εἰς τὸν κ ύκλον , ὅς ἐστ ι βάσις τοῦ κώνου, εὐ θεῖα γραμμὴ ἐμπέσηι, ἀπὸ δὲ τῶν περάτων αὐτῆς εὐθεῖαι γραμμαὶ ἀχθῶσιν ἐπὶ τὴν κορυφὴν τοῦ κώ νου, τὸ περιληφθὲν τρίγωνον ὑπό τε τῆς ἐμπεσούσης καὶ τῶν ἐπι ζευχθεισῶν ἐπὶ τὴν κορυφὴν ἔλασ σον ἔσται τῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου τῆν μεταξὺ τῶν ἐπὶ τὴν κορυφὴν ἐπιζευχθεισῶν.

ἔστω κώ νου ἰσοσκελοῦς βάσις ὁ ΑΒΓ κύ κλος,κορυφὴ δὲ τὸ Δ, καὶ διήχθω τις εἰς αὐτὸν εὐθεῖα ἡ ΑΓ, καὶ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὰ Α, Γ ἐπεζεύ χθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ· λέγω ὅτι τὸ ΑΔΓ τρίγωνον ἔλασσόν ἐστιν τῆς ἐπι φανείας τῆς κωνικῆς τῆς με ταξὺ τῶν ΑΔΓ.

τετμήσθω ἡ ΑΒΓ περιφέρεια δίχα κατὰ τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΓΒ, ΔΒ· εστ ἔσται δὴ τὰ ΑΒΔ, ΒΓΔ τρίγωνα μείζο να τοῦ ΑΔΓ τριγώνου. ὧι δὴ ὑ περέχει τὰ εἰρημένα τρίγωνα τοῦ ΑΔΓ τριγώνου, ἔστω τὸ Θ. Τὸ δὴ Θ ἤτοι τῶν ΑΒ, ΒΓ τμημάτων ἔλασσόν ἐστιν ἢ οὔ.

ἔστω μὴ ἔλασσον πρότερον. ἐπεὶ οὖν δύο εἰσὶν ἐπιφά νειαι ἥ τε κωνικὴ ἡ μεταξὺ τῶν ΑΔΒ μετὰ τοῦ ΑΕΒ τμήματος καὶ ἡ τοῦ ΑΔΒ τριγώνου τὸ αὐτὸ περ πέρας ἔχουσαι τὴν περίμετρον τοῦ τρι γώνου τοῦ ΑΒΔ, μείζων ἔσται ἡ περιλαμβάνουσα τῆς περιλαμ βανομένης· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ κωνικὴ ἐπιφάνεια ἡ μεταξὺ τῶν ΑΔΒ μετὰ τοῦ ΑΕΒ τμήματος τοῦ ΑΒΔ τριγώνου. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ μεταξὺ τοῦ ΔΒΓ τριγώνου μετὰ τοῦ ΓΒ τμήματος μείζων ἐστὶν τοῦ ΒΔΓ· ὅλη ἄρα ἡ κωνικὴ ἐπιφάνεια μετὰ τοῦ Θ χωρίου μείζων ἐστὶ τῶν εἰρημένων τριγώνων. τὰ δὲ εἰρη μένα τρίγωνα ἴσα ἐστὶν τῶ τε ΑΔΓ τριγώνωι καὶ τῶι Θ χωρίωι. κοινὸν ἀφηιρήσθω τὸ Θ χωρίον· λοιπὴ ἄρα ἡ κωνικὴ ἐπιφάνεια ἡ μεταξὺ τῶν ΑΒΓ μείζων ἐστὶν τοῦ ΑΔΓ τριγώνου.

ἔστω δὴ τὸ Θ ἔλασσον τῶν ΑΒ, ΒΓ τμημάτων τέμνον τες δὴ τὰς ΑΒ, ΒΓ περιφεριφε ρείας δίχα καὶ τὰς ἡμισείας αὐτῶν δίχα λείψομεν τμήματα ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Θ χωρίου.

λε λείφθω τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ εὐθειῶν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΕ, ΔΖ. πάλιν τοίνυν κατὰ τὰ αὐτὰ ἡ μὲν ἐπιφάνεια τοῦ κώνου ἡ με ταξὺ τῶν ΑΔΕ μετὰ τοῦ ἐπὶ τῆς ΑΕ τμήματος μείζων ἐστὶν τοῦ ΑΔΕ τριγώνου, ἡ δὲ μεταξὺ τοῦ Ε ΔΒ μετὰ τοῦ ἐπὶ τῆς ΕΒ τμήμα τος μείζων ἐστὶν τοῦ ΕΔΒ τριγώ νου· ἡ ἄρα ἐπιφάνεια ἡ μεταξὺ τῶν ΑΔΒ μετὰ τῶν ἐπὶ τῶν ΑΕ, ΕΒ τμη μάτων μείζων ἐστὶν τῶν ΑΔΕ, ΕΒΔ τριγώνων. ἐπεὶ δὲ τὰ ΑΕΔ, ΔΕΒ τρίγωνα μείζονά ἐστιν τοῦ ΑΒΔ τριγώνου, καθὼς δεδεικτ δέδεικται , πολλῶ ἄρα ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κώ νου ἡ μεταξὺ τῶν ΑΔΒ μετὰ τῶν ἐπὶ τῶν ΑΕ, ΕΒ τμημάτων μειζ μείζων ἐστὶ τοῦ ΑΔΒ τριγώνου.

διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ἐπιφάνεια ἡ μεταξὺ τῶν ΑΒΓ μετὰ τῶν ἐπὶ τῶν ΒΖ, ΖΓ τμημάτων μείζων ἐστὶν τοῦ ΔΒΓ τριγώνου· ὅλη ἄρα ἡ επιφανει ἐπιφάνεια ἡ μεταξὺ τῶν ΑΔΓ μετὰ τῶν εἰρη μένων τμημάτων μείζων ἐστὶ τῶν ΑΒΔ, ΔΒΓ τριγώνων. ταῦτα δέ ἐστιν ἴσα τῶι ΑΔΓ τριγώνωι καὶ τῶι Θ χωρίῶι· ὧν τὰ εἰρημένα τμήματα ἐλάσσονα τοῦ Θ χω ρίου· λοιπὴ ἄρα ἡ ἐπιφάνεια ἡ μεταξὺ τῶν ΑΔΓ μείζων ἐστὶν τοῦ ΑΔΕ τριγώνου. ἑξῆς τὸ ΣΧΗΜΑ

ἐὰν ἐπιψαύουσαι ἀ χθῶσι τοῦ κύκλου, ὅς ἐστι βάσις τ τοῦ κώνου, ἐν τῶ αὐτῶ ἐπιπέδω οὖ σαι τῶι κύκλωι καὶ συμπίπτουσαι ἀλλήλαις, ἀπὸ δὲ τῶν ἁφῶν καὶ τ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὴν κορυφὴν τοῦ κώνου εὐθεῖαι ἀχθῶσιν, τὰ περιε χόμενα τρίγωνα ὑπὸ τῶν ἐπιψαυ ουσῶν καὶ τῶν ἐπὶ τὴν κορυφὴν τοῦ κώνου ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν μείζονά ἐστιν τῆς τοῦ κώνου ἐπι φανείας τῆς ἀπολαμβανομέ νης ὑπ᾽ αὐτῶν.

ἔστω κῶνος οὗ βά σις μὲν ὁ ΑΒΓ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Ε σημεῖον, καὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτόμεναι ἤχθωσαν ἐν τῶι αὐτῶι ἐπιπέδωι οὖσαι αἱ ΑΔ, ΓΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου, ὅ ἐστι κορυ φὴ τοῦ κώνου, ἐπὶ τὰ Α, Δ, Γ ἐπεζεύ χθωσαν αἱ ΕΑ, ΕΔ, ΕΓ· λέγω ὅτι τὰ ΑΔΕ, ΔΕΓ τρίγωνα μείζονά ἐστι τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας τῆς μεταξὺ τῶν ΑΕ, ΓΕ εὐθειῶν καὶ τῆς ΑΓ περιφερείας.

ἤχθω γὰρ ἡ ΗΒΖ ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου καὶ πα ράλληλος οὖσα τῆι ΑΓ δίχα τμηθεί σης τῆς ΑΒΓ περιφανείας κα τὰ τὸ Β, καὶ ἀπὸ τῶν Η, Ζ ἐπὶ τὸ Ε ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΕ, ΖΕ. καὶ ἐπεὶ μείζους εἰσὶν αἱ ΗΔ, ΔΖ τῆς ΗΖ, κοιναὶ προσκείσθωσαν αἱ ΗΑ, ΖΓ· ὅλαι ἄρα αἱ ΑΔ, ΔΓ μείζους εἰσὶν τῶν ΑΗ, ΗΖ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ πλευραί εἰσιν τοῦ κώνου, ἴσαι εἰσὶν διὰ τὸ ἰσο σκελῆ εἶναι τὸν κῶνον· ὁμοίως δὲ καὶ κάθετοί εἰσιν ὡς ἐδείχθη ἐν τῶ λήματι λήμματι , τὰ δὲ ὑπὸ τῶν καθέτων καὶ τῶν βάσεων διπλάσια ἐστιν τῶν τριγώνων· μείζονα ἐστὶν τὰ ΑΕΔ, ΔΕΓ τρίγωνα τῶν ΑΗΕ, ΗΕΖ, ΖΕΓ τριγώνων εἰσὶν γὰρ αἱ μὲν ΑΗ, ΗΖ, ΖΓ ἐλάσσους τῶν ΓΑ, ΔΑ, τὰ δὲ ὕψη αὐτῶν ἴσα φανερὸν γὰρ ὅτι ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ ὀρθοῦ κώνου ἐ πὶ τὴν ἐπαφὴν τῆς βάσεως ἐ ζευγνυμένη κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ἐ φαπτομένην ὧι δὴ μείζονά ἐστι ἐστιν τὰ ΑΕΔ, ΔΕΓ τρίγωνα τῶν ΑΗΕ, ΗΕΖ, ΖΕΓ τριγώνων τῶν. ἤτοι ἔλατόν ἔλαττόν ἐστιν τμημά των ἢ οὐ.

εἰσιν ἐπιφά νειαι σύνθετοι, ἥ τε τῆς πυραμίδος τῆς ἐπὶ βάσεως τοῦ ΗΑΓΖ τρα πεζείου κορυφὴν ἔχουσα τὸ Ε καὶ ἡ κωνικὴ ἐπιφάνεια ἡ μεταξὺ τ τῶν ΑΕΓ μετὰ τοῦ ΑΒΓ τμήματος, καὶ πέρας ἔχουσι τὴν αὐτὴν περίμε τρον τοῦ ΑΕΓ τριγώνου, δῆλον ὡς ἡ ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος χω ρὶς τοῦ ΑΕΓ τριγώνου μείζων ἐστὶν τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας μετὰ τοῦ τμήματος τοῦ ΑΒΓ. κοινὸν ἀφηι ρήσθω τὸ ΑΒΓ τμῆμα· λοιπὰ ἄρα τὰ τρίγωνα τὰ ΑΗΕ, ΗΕΖ, ΖΕΓ μετὰ τῶν ΑΗΒΚ, ΒΖΓΑ περιλειμμάτω περιλειμμάτων μείζονά ἐστιν τῆς κωνικῆς ἐπι φανείας τῆς μεταξὺ τῶν ΑΕ, ΕΓ. τῶν δὲ ΑΗΒΚ, ΒΖΓΛ περιλειμμά των οὐκ ἔλασσόν ἐστιν τὸ Θ χωρί χωρίον · πολλῶ ἄρα τὰ ΑΗΕ, ΗΕΖ, ΖΕΓ τρί γωνα μετὰ τοῦ Θ μείζονα ἔσται τ τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας τῆς μετα ξὺ τῶν ΑΕ ΕΓ. ἀλλὰ τὰ ΑΗΕ, ΗΕΖ τρί γωνα μετὰ τοῦ Θ ἐστὶν τὰ ΑΕΔ, ΔΕΓ τρίγωνα· τὰ ἄρα ΑΕΔ, ΔΕΓ τρίγω να μείζονα ἔσται τῆς εἰρημέν εἰρημένης κωνικῆς ἐπιφανείας.

ἔστω δὴ τὸ Θ ἔλασσον τῶν περιλειμμάτω περιλειμμάτων . ἀεὶ δὴ περιγράφοντες πολύγωνα περὶ τὰ τμήματα ὁμοίως δίχα τεμνομένων τῶν περιλειπομέ νων περιφερειῶν καὶ ἀγομένω ἀγομένων ἐφαπτομένων λείψομέν τινα ἀ πολείμματα, ἃ ἔστ ἔσται ἐλάσσονα τοῦ Θ χωρίου. λελείφθω καὶ ἔστω τὰ ΑΜΚ, ΚΝΒ, ΒΞΛ, ΛΟΓ ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Θ χωρίου, καὶ ἐπεζεύχθω ἐπὶ τὸ Ε. Πάλιν δὴ φανερὸν ὅτι τὰ ΑΗΕ, ΗΕΖ, ΖΕΓ τρίγωνα τῶν ΑΕΜ, ΜΕΝ, ΝΕΞ, ΞΕΟ, ΟΕΓ τριγώ νων ἔσται μείζονα αἵ τε γὰρ βάσεις τῶν βάσεών εἰσι μείζους καὶ τὸ ὕψος ἴσον. ἔτι δὲ πάλιν ὁμοί ως μείζονα ἔχει ἐπιφάνειαν ἡ πυ ραμὶς ἡ βάσιν μὲν ἔχουσα τὸ ΛΜΝ ΞΟΓ πολύγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Ε, χ χωρὶς τοῦ ΑΕΓ τριγώνου, τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας τῆς μεταξὺ τῶν ΑΕΓ μετὰ τοῦ ΑΒΓ τμήματος.

ἐὰν ἐν ἐπιφανείαι κυλίνδρου τινὸς ὀρθοῦ δύο εὐθεῖαι ὦσιν, ἀπὸ δὲ τῶν περάτων τῶν εὐθειῶν ἀχθῶσίν τινες ἐπιψαύουσαι τῶν κύκλων, αἵ εἰσιν βάσεις τοῦ κυλίνδρου, ἐν τῶι ἐπιπέδωι αὐτῶν οὖσαι καὶ συμπέ σωσιν, τὰ παραλληλόγραμμα τὰ εχόμενα περιεχόμενα ὑπό τε τῶν ἐπιψαυουσῶν κ καὶ τῶν πλευρῶν τοῦ κυλίνδρου μείζο να ἔσται τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίν δρου τῆς μεταξὺ τῶν εὐθειῶν τῶν ἐν τῆι ἐπιφανείαι τοῦ κυλίνδρου.

ἔστω κυλίνδρου τινὸς ὀρθοῦ βάσις ὁ ΑΒΓ κύκλος, καὶ ἔστωσαν ἐν τῆι ἐπιφανείαι αὐτοῦ δύο εὐθεῖαι, ὧν πέρατα τὰ Α, Γ, ἀπὸ δὲ τῶν Α, Γ ἤχθω σαν ἐπιψαύουσαι τοῦ κύκλου ἐν τῶι αὐτῶι ἐπιπέδωι οὖσαι καὶ συμπιπτέ τωσαν κατὰ τὸ Η, νοείσθωσαν δὲ καὶ ἐν τῆι ἑτέραι βάσει τοῦ κυλίνδρου ἀ πὸ τῶν περάτων ἐν τῆι ἐπιφανεί αι εὐθεῖαι ἠγμέναι ἐπιψαύουσαι τοῦ κύκλου· δεικτέον ὅτι τὰ παραλλη λόγραμμα τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν ἐπιψαυουσῶν καὶ τῶν πλευρῶν τοῦ κυλίνδρου μείζονά ἐστι τῆς κατὰ τ τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου.

ἤχθω γὰρ ἡ ΕΖ ἐπιψαύου σα, καὶ ἀπὸ τῶν Ε, Ζ σημείων ἤχθω σάν τινες εὐθεῖαι παρὰ τὸν ἄξονα τοῦ κυλίνδρου ἕως τῆς ἐπιφανεί ἐπιφανείας τῆς ἑτέρας βάσεως· τὰ δὴ παραλ ληλόγραμμα τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΓ καὶ τῶν πλευρῶν τοῦ κυ λίνδρου μείζονά ἐστιν τῶν παραλ ληλογράμμων τῶν περιεχομένω περιεχομένων ὑπό τε τῶν ΑΕ, ΕΖ, ΖΓ καὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου ἐπεὶ γὰρ αἱ ΕΗ, ΗΖ τῆς ΕΖ μείζους εἰσίν , κοιναὶ κείσθωσαν προσκείσθωσαν αἱ ΑΕ, ΖΓ. ὅλαι ἄρα αἱ ΗΑ, ΗΓ μείζους εἰσίν τῶν ΑΕ ΕΖ ΖΓ ὧι δὴ μείζονά ἐστιν , ἔστω τὸ Κ χωρίον. τοῦ δὴ Κ χωρίου τὸ ἥμι συ ἤτοι μεῖζόν ἐστι τῶν σχημάτων τῶν περιεχομένων ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΖΓ εὐθειῶν καὶ τῶν ΑΔ, ΔΛ, ΒΘ, ΘΓ περιφερειῶν ἢ οὔ. ἔστω πρότε ρον μεῖζον. τῆς δὴ ἐπιφανείας τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῶν γράμ μων τῶν κατὰ τὰς ΑΕ, ΕΖ, ΖΓ καὶ τ τοῦ ΑΕΖΓ τραπεζίου καὶ τοῦ κατεναν τίον αὐτοῦ ἐν τῆι ἑτέρα βάσει τοῦ κυλίνδρου πέρας ἐστὶν ἡ περίμε τρος τοῦ παραλληλογράμμου τοῦ κατὰ τὴν ΑΓ. ἔστιν δὲ καὶ τῆς ἐπιφα νείας τῆς συγκειμένης ἐκ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου τῆς κατὰ τὴν ΑΒΓ περιφέρειας καὶ τῶν τμημάτων τοῦ τε ΑΒΓ καὶ τ τοῦ ἀπεναντίον αὐτοῦ πέρας ἡ αὐ τὴ περίμετρος· αἱ οὖν εἰρημέναι ἐπιφάνειαι τὸ αὐτὸ πέρας ἔχου σαι τυγχάνουσιν, ὅπερ ἐστὶν ἐν ἐ πιπέδωι, καί εἰσιν ἀμφότεραι ἐ πὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαι, καί τινα μὲν περιλαμβάνει ἡ ἑτέρα αὐτῶν, τι νὰ δὲ κοινὰ ἔχουσιν· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ περιλαμβανομένη. ἀφαι ρεθέντων οὖν κοινῶν τοῦ τε ΑΒΓ τμήματος καὶ τοῦ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ἐπιφάνει α τοῦ κυλίνδρου ἡ κατὰ τῆς ΑΒΓ περιφέρειας τῆς συγκειμένης ἐπιφανείας ἔκ τε τῶν παραλλη λογράμμων κατὰ τὰς ΑΕ, ΕΖ, ΖΓ καὶ τῶν σχημάτων τῶν ΑΕ ΕΒ, ΒΖ ΖΓ καὶ τῶν ἀπεναντίων αὐτῶν. αἱ δὲ τῶν εἰρημένων παραλληλο γράμμων ἐπιφάνειαι μετὰ τῶν εἰρημένων σχημάτων ἐλάτ ἐλάττους εἰσὶν τῆς ἐπιφανείας τῆς συγκει μένης ἔκ τῶν παραλληλογράμ μων τῶν κατὰ τὰς ΑΗ, ΗΓ μετὰ γὰρ τοῦ Κ μείζονος ὄντος τῶν σχη μάτων ἴσαι ἦσαν αὐτοῖς· δῆλον οὖν ὅτι τὰ παραλληλόγραμμα τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΓΗ καὶ τῶν πλευρῶν τοῦ κυλίνδρου μείζονά ἐστι τῆς ἐπιφανείας τ τοῦ κυλίνδρου τῆς κατὰ τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν.

εἰ δὲ μή ἐστιν μεῖζο μεῖζον τὸ ἥμισυ τοῦ Κ χωρίου τῶν εἰρη μένων σχημάτων, ἀχθήσονται εὐθεῖαι ἐπιψαύουσαι τοῦ σχήμα τος, ὥστε γενέσθαι τὰ περιλειπό μενα σχήματα ἐλάσσονα τοῦ ἡ μίσους τοῦ Κ, καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ τοῖς ἔμπροσθεν δειχθήσεται.

τουτω τούτων δὴ δεδειγμένων φανερὸν ἐπὶ μὲν τῶν προειρημένων ὅτι, ἐὰν εἰς κῶ νον ἰσοσκελῆ πυραμὶς ἐγγραφῆι, ἡ ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος χω ρὶς τῆς βάσεως ἐλάσσων ἐστὶ τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας ἕκαστον γὰρ τῶν περιεχόντων τὴν πυρα μίδα τριγώνων ἔλασσόν ἐστιν τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας τῆς μεταξὺ τοῦ τριγώνου πλευρῶν· ὥστε καὶ ἡ ὅλη ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος χωρὶς τῆς βάσεως ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου χωρὶς τῆς βάσεως, καὶ ὅτι, ἐὰν περὶ κῶνον ἰσοσκελῆ πυ ραμὶς περιγραφῆι, ἡ επιφανει ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος χωρὶς τῆς βά σεως μείζων ἐστὶν τῆς ἐπιφα νεία τοῦ κώνου χωρὶς τῆς βά σεως κατὰ τὸ συνεχὲς ἐκείνωι.

φανερὸν δὲ ἐκ τῶν ἀποδεδειγ μένων ὅτι τε, ἐὰν εἰς κύλινδρον ὀρθὸν πρίσμα ἐγγραφῆι, ἡ ἐπι φάνεια τοῦ πρίσματος ἡ ἐκ τω τῶν παραλληλογράμμων συγκειμέ νη ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου χωρὶς τῆς βάσε ως ἔλασσον γὰρ ἕκαστον παραλ ληλόγραμμον τοῦ πρίσματός ἐστι τῆς καθ᾽ αὑτὸ τοῦ κυλίνδρου ἐ πιφανείας, καὶ ὅτι, ἐὰν περὶ κύλιν δρο ν ὀρθὸν πρίσμα γραφη περιγραφῆ , ἡ ἐπιφάνεια τοῦ πρίσματος ἡ ἐκ τῶν παραλληλογραμμω παραλληλογράμμων συγκειμένη μείζων ἐστὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου χωρὶς τῆς βάσεως.

παντὸς κυλίνδρου ὀρθοῦ ἡ ἐπι φάνεια χωρὶς τῆς βάσεως ἴ ση ἐστὶ κύκλωι, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου καὶ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως τοῦ κυλίνδρου. ἔστω κυλίνδρου τινὸς ὀρθοῦ βάσις ὁ Α κύκλος, καὶ ἔστω τῆι μὲν διαμέ τρωι τοῦ Α κύκλου ἴση ἡ ΓΔ, τῆι δὲ πλευρᾶι τοῦ κυλίνδρου ἡ ΕΖ, ἐχέτω δὲ μέσον λόγον τῶν ΔΓ, ΕΖ ἡ Η, καὶ κείσθω κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῆι Η, ὁ Β· δεικτέον ὅτι ὁ Β κύκλος ἴσος ἐστὶ τῆι ἐπιφανείαι τοῦ κυλίν δρου χωρὶς τῆς βάσεως. εἰ γὰρ μή ἐστιν ἴσος, ἤτοι μείζων ἐστὶ ἢ ἐλάσσω ἐλάσσων . ἔστω πρότερον, εἰ δυνατόν, ἐλάσσω ἐλάσσων . δύο δὴ μεγεθῶν ὄντων ἀνίσων τῆς τε ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρ κυλίνδρου καὶ τοῦ Β κύκλου δυνατόν ἐστιν εἰς τὸν Β κύκλον ἰσόπλευρον πολύγω νον ἐγγράψαι καὶ ἄλλο περιγρά ψαι, ὥστε τὸ περιγραφὲν πρὸς τὸ ἐγ γραφὲν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου πρὸς τὸν Β κύκλον.

νοείσθω δὴ περιγεγραμ μένον καὶ ἐγγεγραμμένον, καὶ περὶ τὸν Α κύκλον περιγεγράφθω εὐθύ γραμμον ὅμοιον τῶι περὶ τὸν Β περιγεγραμμένω, καὶ ἀναγεγρά φθω ἀπὸ τοῦ εὐθυγράμμου πρίσ μα· ἔσται δὴ περὶ τὸν κύλινδρον περιγεγραμμένον. ἔστω δὲ καὶ τῆι περιμέτρω τοῦ εὐθυγράμμου τοῦ περὶ τὸν Α κύκλον ἴση ἡ ΚΔ καὶ τῆι ΚΔ ἴση ἡ ΛΞ, τῆς δὲ ΓΔ ἡμίσεια ἔστω ἡ ΓΔΤ· ἔσται δὴ τὸ ΚΔΤ τρίγωνον ἴσο ἴσον τῶι περιγεγραμμένωι εὐθυγρά εὐθυγράμωι περὶ τὸν Α κύκλον ἐπειδὴ βά σιν μὲν ἔχει τῆι περιμέτρωι ἴσην, ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Α κύκλου, τὸ δὲ ΕΛ παραλληλόγραμ μον τῆι ἐπιφανείαι τοῦ πρίσμα τος τοῦ περὶ τὸν κύλινδρον πε ριγεγραμμένου ἐπειδὴ περιέχετ περιέχεται ὑπὸ τῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου καὶ τῆς ἴσης τῆι περιμέτρωι τῆς βάσεως τοῦ πρίσματος. κείσθω δὴ τῆι ΕΖ ἴση ἡ ΕΡ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ΖΡΛ τρίγωνον τῶι ΕΛ παραλληλογράμ μωι, ὥστε καὶ τῆι ἐπιφανείαι τοῦ πρίσ ματος. καὶ ἐπεὶ ὅμοιά ἐστιν τὰ εὐθύ γραμμα τὰ περὶ τοὺς Α, Β κύκλους περιγεγραμμένα, τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον τὰ εὐθύγραμμα, ὅνπερ αἱ ἐκ τῶν κέντρων δυνάμε ι · ἕ ξ ε ι ἄρα τὸ ΚΤΔ τρίγωνον πρὸς τὸν περὶ τὸν Β κύκλον εὐθύγραμμον, ὃν ἡ ΤΔ πρὸς Η δυνάμει αἱ γὰρ ΤΔ, Η ἴσαι εἰσὶν ταῖς ἐκ τῶν κέντρων. ἀλλ᾽ ὃν ἔ χει λόγον ἡ ΤΔ πρὸς Η δυνάμει, τοῦ τον ἔχει τὸν λόγον ἡ ΤΔ πρὸς ΡΖ μήκει ἡ γὰρ Η τῶν ΤΔ, ΡΖ μέση ἐστὶν ἀνάλογον διὰ τὸ καὶ τῶν ΓΔ, ΕΖ· πῶς δὲ τοῦτο; ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΤ τῆι ΓΗ, ἡ δὲ ΡΕ τῆι ΕΖ, διπλασία ἄρα ἐστὶν ἡ ΤΔ τῆς ΓΔ, καὶ ἡ ΡΖ τῆς ΡΕ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΓ πρὸς ΔΤ, οὕτως ἡ ΡΖ πρὸς ΖΕ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΕΖ ἴσον ἐστὶν τῶι ὑπὸ τῶν ΤΔ, ΡΖ. τῶ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΕΖ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ Η· καὶ τῶι ὑπὸ τῶν ΤΔ, ΡΖ ἄρα ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Η· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΤΔ πρὸς Η, οὕτως ἡ Η πρὸς ΡΖ. ἔστιν ἄρα ἡ ΤΔ πρὸς ΡΖ, τὸ ἀπὸ τῶν ΤΔ πρὸς τὸ ἀ πὸ τῆς Η· ἐὰν γὰρ τρεῖς εὐθεῖαι ἀ νά λογον ὦσιν, ἔστιν ὡ ς ἡ πρώ τ η πρὸς τὴν τρίτην, τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος καὶ τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας εἶ δος τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγεγρα μμένον· ὃν δὲ λόγον ἔχει ἡ ΤΔ πρὸς ΡΖ μήκει, τοῦτον ἔχει τὸ ΚΤΔ τρίγω νον πρὸς τὸ ΡΛΖ ἐπειδήπερ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΚΔ, ΛΖ· τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει τὸ ΚΤΔ τρίγωνον πρὸς τὸ εὐθύγραμ μον τὸ περὶ τὸν Β κύκλον περιγε γραμμένον, ὅνπερ τὸ ΤΚΔ τρίγω νον πρὸς τὸ ΡΖΛ τρίγωνον. ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ΖΛΡ τρίγωνον τὸ περὶ τὸν Β κύκλον περιγεγραμμένωι εὐθυ γράμμωι· ὥστε καὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ πρίσματος τοῦ περὶ τὸν Α κύ λινδρον περιγεγραμμένου τῶι εὐθυγράμμωι τὸ περὶ τὸν Β κύκλ κύκλον ἴση ἐστίν. καὶ ἐπειδὴ ἐλάσσονα λόγον ἔχει τὸ εὐθύγραμμ εὐθύγραμμον τὸ περὶ τὸν Β κύκλ κύκλον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐν τῶι κύκλωι τοῦ ὃν ἔχει ἡ ἐπιφάνεια τοῦ Α κυλίνδρου πρὸς τὸν Β κύκλον, ἐλάσσονα λόγον ἕξει καὶ ἡ ἐπιφά νεια τοῦ πρίσματος τοῦ περὶ τὸ κύλινδρον περιγεγραμμένου πρὸς τὸ εὐθύγραμμον τὸ ἐν τῶι κύ κλωι τῶ Β γεγραμμένον ἤπερ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου πρὸς τὸν Β κύκλον· καὶ ἐναλλάξ· ὅπερ ἀδύνατον ἡ μὲν γὰρ ἐπιφάνεια τοῦ πρίσματος τοῦ περιγεγραμ μένου περὶ τὸν κύλινδρον μείζω μείζων οὖσα δέδεικται τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου, τὸ δὲ ἐγγεγραμμέ νον εὐθύγραμμον ἐν τῶι Β κύκλωι ἔλασσόν ἐστιν τοῦ Β κύκλου. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὁ Β κύκλος ἐλάσσων τῆς ἐπιφα νείας τοῦ κυλίνδρου.

ἔστω δή, εἰ δυ νατόν, μείζων. πάλιν δὴ νοείσθω εἰς τὸν Β κύκλον εὐθύγραμμον ἐγ γεγραμμένον, ὥστε τὸ περιγεγραμ μένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσ σονα λόγον ἔχειν ἤπερ τὸν Β κύκλον πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ κυλίνδρ κυλίνδρου , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν Α κύκλον πολύγωνον ὅμοιον τῶι εἰς τὸν Β κύ κλον ἐγγεγραμμένον, καὶ πρί σ μα ἀναγεγράφθω ἀπὸ τοῦ ἐν τῶι κύκλωι ἐγγεγραμμένου πο λυγώνου· καὶ πάλιν ἡ ΚΔ ἴση τῆι περιμέτρωι τοῦ εὐθυγράμμ εὐθυγράμμου τοῦ ἐν τῶι Α κύκλωι ἐγγεγραμμέ νου, καὶ ἡ ΖΑ ἴση αὐτῆι ἔστω. ἔσται δὴ τὸ μὲν ΚΤΔ τρίγωνον μεῖζο μεῖζον τοῦ εὐθυγράμμου τοῦ ἐν τῶι Α κύ κλωι ἐγγεγραμμένου δι διότι βάσιν μὲν ἔχει τὴν περίμετρον αὐτοῦ, ὕψος δὲ μεῖζον τῆς ἀπὸ τοῦ κέν τρου πλευρᾶς ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου ἀγομένης καθέτ καθέτου , τὸ δὲ ΕΛ παραλληλόγραμμον ἴσ ἴσον ἐν τῆι ἐπιφανείαι τοῦ πρίσματος τῆ ἐκ τ ῶν παραλληλογράμμων συγκειμένηι δι διότι περιέχεται ὑπὸ τ τῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου καὶ τῆς ἴσ ἴσης τῆι περιμέτρωι τοῦ εὐθυγράμμου, ὅς ἐστιν βάσις τοῦ πρίσματος· ὥστε καὶ τὸ ΡΛΖ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῆι ἐπιφα νείαι τοῦ πρίσματος. καὶ ἐ πεὶ α ἴσα ἐστι τὰ εὐθύγραμμα τὰ ἐν τοῖς ΑΒΓ κύκλοις ἐγγεγραμμένα, τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον πρὸς ἄλληλα ὃν αἱ ἐκ τῶν κέντρων αὐτῶν δυνάμει. επεὶ καὶ τὰ ΚΤΔ, ΖΡΛ τρίγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον, ὃν αἱ ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλω κύκλων δυνάμει· τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει τὸ εὐθύγραμμον τὸ ἐν τῶι Β κύκλωι ἐγγε γραμμένον καὶ τὸ ΚΤΔ τρίγωνο τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΖΡ τρίγωνον. ἔλασσον δ έ ἐστι ἐστιν τὸ εὐθύγραμμον τὸ ἐν τῶι Α κύκλ ω ἐγγεγραμμένον τ τοῦ ΚΤΔ τριγώνου· ἔλασσον ἄρα τὸ εὐθύγραμμον τὸ ἐν τῶι Β κύκλωι ἐγγεγραμμένον τ τοῦ ΖΡΛ τριγώνου· ὥστε καὶ τῆς ἐπιφα νείας τοῦ πρίσματος τοῦ ἐν τῶ κυλίνωι ἐγγεγραμμένου· ὅπερ ἀ δύνατον ἐπεὶ γὰρ ἐλάσσονα λόγο λόγον ἔχει τὸ περιγεγραμμένον εὐθύγρα εὐθύγραμμον περὶ τὸν Β κύκλον πρὸς τὸ ἐγγε γραμμένον ἢ ὁ Β κύκλος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ κυλίνδρου, καὶ ἐ ναλλάξ, μεῖζον δέ ἐστι τὸ περιγεγραμ μένον περὶ τὸν Β κύκλον τοῦ Β κύ κ λ κύ κ λ ου , μεῖζον ἄρα ἐστὶν τὸ ἐγγεγραμμένον ἐν τ τῶ Β κύκλωι τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλί κυλίνδρου δρου · ὥστε καὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ πρίσματος. οὐκ ἄ ρα μείζων ἐστὶν ὁ Β κύκλος τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου. ἐ δείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων· ἴσον ἄρα ἐστίν.

παντὸς κώνου ἰσοσκελοῦς χωρ χωρὶς τῆς βάσεως ἡ ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ κύκλωι οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέ σον λόγον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κώνου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέν τρου τοῦ κύκλου ὅς ἐστιν βάσις τ τοῦ κώνου. ἔστω κῶνος ἰσοσκελής οὗ βάσις ὁ Α κύκλος ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέν τρου ἔστω ἡ Γ τῆι δὲ πλευρά τοῦ κώνου ἔστω ἴση ἡ Δ τῶν δὲ Γ Δ μέση ἀνάλογον ἡ Ε ὁ δὲ Β κύκλ κύκλος ἐχέτω τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆ Ε ἴσην· λέγω ὅτι ὁ κύκλος ἐστὶν ἴσος τῆι ἐ πιφανείαι τοῦ κώνου χωρὶς τῆς βάσεως.

εἰ γὰρ μή ἐστιν ἴσος ἤτοι μείζων ἐστὶν ἢ ἐλάσσων. ἔστω πρό τερον ἐλάσσων. ἔστι δὴ δύο με γέθη ἄνισα ἥ τε ἐπιφάνεια τοῦ κώνου καὶ ὁ Β κύκλος καὶ μείζων ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κώνου· δυνατὸν ἄρα εἰς τὸν Β κύκλον πολύ γωνον ἰσόπλευρον ἐγγράψαι καὶ ἄλλο περιγράψαι ὅμοιον τῶι ἐγγε γραμμένωι ὥστε τὸ περιγεγραμ μένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένο ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχειν τοῦ ὃν ἔ χει ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κώνου πρὸς τὸ τὸν Β κύκλον. νοείσθω δὴ καὶ περὶ τὸ τὸν Α κύκλον πολύγωνον περιγεγρα περιγεγραμμένον μένον ὅμοιον τῶι περὶ τὸν Β κύ κλον περιγεγραμμένωι καὶ ἀ πὸ τοῦ περὶ τὸν Α κύκλον περὶ περιγεγραμμένου πολύγωνο πολύγωνον πυραμὶς ἀνεστάτω ἀναγε γραμμένη τὴν αὐτὴν κορυφ κορυφὴν ἔχουσα τῶι κώνω. ἐπεὶ οὖν ὅ μοιά ἐστιν τὰ πολύγωνα τὰ περὶ τοὺς Α Β κύκλους περιγεγραμ μένα τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον πρὸς ἄλληλα ὃν αἱ ἐκ τοῦ κέντρου δυνάμει πρὸς ἀλλήλας τουτ τουτέστιν ὃν ἔχει ἡ Γ πρὸς Ε δυνάμει τουτ τουτέστιν ἔχει ἡ Γ πρὸς Δ μήκει τοῦτο τοῦτον ἔχει τὸ περιγεγραμμένον πολύγων πολύγωνον περὶ τὸν Α κύκλον πρὸς τὴν ἐπιφά νειαν τῆς πυραμίδος τῆς περιγεγραμμένης γεγραμμένης περὶ τὸν κῶν κῶνον ἡ μὲν γὰρ Γ ἴση ἐστὶ τῆι ἀπὸ τοῦ κ κέντρου τρου καθέτωι ἐπὶ μίαν πλευρὰ πλευρὰν τοῦ πολυγώνου ἡ δὲ Δ τῆι πλευ ρᾶι τοῦ κώνου· κοινὸν δὲ ὕψος ἡ μερίμετρος τοῦ πολυγώνου καὶ τὰ ἡμίση τῶν ἐπιφανειῶν· τ τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει τὸ εὐθύγραμ μον τὸ περὶ τὸν Α κύκλον καὶ α ὐ τὸ τὸ εὐθύγραμμον πρὸς τὴν ἐπιφά νειαν τῆς πυραμίδος τῆς περὶ

παραλλήλων ἐπιπέδων καὶ τῆς ἴσης ἀμφοτέραις ταῖς ἐκ τῶν κέντρων τῶν παραλλήλων ἐπι πέδων. καὶ τῆς ἴσης ἀμφοτέραις ταῖς ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλω κύκλων τῶν ἐν τοῖς παραλλήλοις ἐπιπέ δοις

ἔστω κῶνος, οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον ἴσον τῶι ΑΒΓ, καὶ τετμήσθω παραλλήλωι ἐπιπέ δωι τῆι βάσει, καὶ ποιείτω τομὴν τὴν ΔΕ, ἄξων δὲ τοῦ κώνου ἔστω ὁ ΒΗ, κύκλος δέ τις ἐκκείσθω, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέση ἀνάλογόν ἐστι τῆς τε ΑΔ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΔΖ, ΗΑ, ἔστω δὲ ὁ κύκλος ὁ Θ· λέγω ὅτι ὁ Θ κύκλος ἴσος ἐστὶ τῆι ἐπιφα νείαι τοῦ κώνου τῆι μεταξὺ τῶν ΔΕ, ΑΓ.

ἐκκείσθωσαν γὰρ κύκλοι οἱ ΛΚ καὶ τοῦ μὲν Κ κύκλου ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυνάσθω τὸ ὑπὸ τὸ ΒΔΖ, τοῦ δὲ Λ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυ νάσθω τὸ ὑπὸ ΒΑΗ· ὁ μὲν ἄρα Λ κύκλος ἴσος ἐστὶν τῆι ἐπιφανείαι τ τοῦ ΔΕΒ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΗ ἴσ ἴσον ἐστὶ τῶ τε ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΖ καὶ τῶι ὑπὸ τῆς ΑΔ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΔΖ, ΑΗ διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν ΔΖ τῆι ΑΗ, ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΒ, ΑΗ δύναται ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τ τοῦ Λ κύκλου, τὸ δὲ ὑπὸ ΒΔ, ΔΖ δύναται ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Κ κύκλου, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς ΔΑ καὶ συναμφοτέ ρου τῆς ΔΖ, ΑΗ δύναται ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Θ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Λ κύκλου ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ἐκ τῶν κέντρων τῶν ΚΘ κύκλων· ὥστε καὶ ὁ Λ κύκλος ἴσος ἐστὶ τοῖς ΚΘ κύκλοις. ἀλλ᾽ ὁ μὲν Λ ἴσος ἐστὶ τῆι ἐπιφανείαι τοῦ ΒΑΓ κώνου, ὁ δὲ Κ τῆι ἐπιφανείαι τοῦ Δ Β Ε κώνου· λοιπὴ ἄρα ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κώνου ἡ μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν ΔΕ, ΑΓ ἴση ἐστὶ τῶι Θ κύκλ ω ι .

ἔστω τὸ παραλληλόγραμμον τὸ ΒΑΗ, καὶ διάμετρος αὐτοῦ ἔστω ἡ ΒΗ καὶ. τετμήσθω ἡ ΒΑ πλευρά, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Δ, καὶ διὰ τοῦ Δ ἤχθω πα ράλληλος τῆι ΑΗ ἡ ΔΘ, διὰ δὲ τοῦ Ζ τῆι ΒΑ ἡ ΚΛ· λέγω ὅτι τὸ ὑπὸ ΒΑΗ ἴσ ἴσον ἐστὶ τῶ τε ὑπὸ ΒΔΖ καὶ τῶι ὑπὸ ΔΑ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΔΖ, ΑΛ.

ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν ὑπὸ ΒΑΗ ὅλον ἐστὶ τὸ ΒΗ, τὸ δὲ ὑπὸ ΒΔΖ τὸ ΒΖ, τ ὸ δὲ ὑπὸ ΔΑ καὶ συ ναμφοτέρου τῆς Δ Ζ , ΑΛ ὁ ΜΝΞ γνώμων· τῶ μὲν γὰρ ὑπὸ ΔΑΗ ἴ σον ἐστὶν τὸ ΚΗ διὰ τὸ ἴσον εἶναι τὸ ΚΘ παραπλήρωμα τῶ ΔΛ πα ραπληρώματι, τὸ δὲ ὑπὸ ΔΑ, ΔΖ τὸ ΔΛ· ὅλον ἄρα τὸ ΒΗ, ὅπερ ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΑΗ, ἴσον ἐστὶ τῶι τε ὑπὸ ΒΔΖ καὶ τῶι ΜΝΞ γνώμονι, ὅς ἐστιν ἴσος τῶι ὑπὸ ΔΑ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΑΗ, ΔΖ.

οἱ κῶνοι οἱ ἴσον ὕψος ἔχτες ἔχοντες τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον ταῖς βάσε σιν· καὶ οἱ ἴσας ἔχοντες βάσεις τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον τοῖς ὕψεσι ὕψεσιν .

ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδωι τμηθῆι π παρὰ τὴν βάσιν, ἔστιν, ὧι ὁ κύλινδρος πρὸς τὸ τὸν κύλινδρον, ὁ ἄξων πρὸς τὸν ἄξονα.

τοῖς δὲ κυλίνδροις ἐν τῶι αὐτῶι λόγωι εἰσὶν οἱ κῶνοι οἱ ἔχοντες τὰς αὐτὰς βάσεις τοῖς κυλίνδροις.

καὶ τῶν ἴσων κώνων ἀντιπεπόν θασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν· καὶ ὧν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσοι εἰσίν .

καὶ οἱ κῶνοι, ὧ ὧν αἱ διάμετροι τῶν βάσεων τὸν αὐτὸν λόγον ἔχουσιν τοῖς ἄξοσι τουτέστι τουτέστιν τοῖς ὕψεσι, πρὸς ἀ λλ ήλους ἐν τριπ λα σίονι λόγωι εἰσὶν τῶν ἐν ταῖς βάσε σιν διαμέτρων.

ταῦτα δὲ πρότερο πρότερον πάντα ὑπὸ εὐκλείδς εὐκλείδους ἀπεδεί χθη.

ἐὰν ὦσι δύο κῶνοι ἰσοσκελεῖς, ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου κώνου ἐπιφάνεια ἴση ἦ τῆι τοῦ ἑτέρου βάσει, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν πλευ ρὰν τοῦ κώνου κάθετος ἀγομένη τῶι ὕψει ἴση ἦ, ἴσοι ἔσονται οἱ κῶ νοι.

ἔστωσαν δύο κῶνοι ἰσοσκε λεῖς οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ τοῦ ΑΒΓ ἡ μὲν βάσις ἴση ἔστω τῆι ἐπιφανείαι τ τοῦ ΔΕΖ, τὸ δὲ ὕψος τὸ ΔΗ ἴσον ἔστω τῆι ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως τ τοῦ Θ ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ κώνου, οἷον ἐπὶ τὴν ΔΕ, καθέτωι ἠγμένη τῆι ΚΘ· λέγω ὅτι ἴσοι εἰσὶν οἱ κῶνοι.

ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ βάσις τοῦ ΑΒΓ τῆι ἐπιφανείαι τοῦ ΔΕΖ τὰ δὲ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐ τὸν ἔχει λόγον, ὡς ἄρα ἡ τοῦ ΒΑΓ βά σις πρὸς τὴν τοῦ ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ΔΕΖ πρὸς τὴν βάσιν τοῦ ΔΕΖ. ἀλλ᾽ ὡς ἡ ἐπιφάνεια πρὸς τ τὴν ἰδίαν βάσιν, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τ τὴν ΘΚ ἐδεί χθη γὰρ τοῦτο, ὅτι παντὸς κώνου ἰ σοσκελοῦς ἡ ἐπιφάνεια πρὸς τὴν βά σιν τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει, ὃν ἡ πλευ ρὰ τοῦ κώνου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κεντρ κέντρου τῆς βάσεως, ἡ ΔΕ τουτ τουτέστι πρὸς ΔΘ. ὡς δὲ ἡ ΕΔ πρὸς ΘΔ οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς ΘΚ· ἰσο γὡνια γάρ ἐστι τὰ τρίγωνα. ἴση δέ ἐστιν ἡ ΘΚ τῆι ΑΗ· ὡς ἄρα ἡ βάσις τ τοῦ ΒΑΓ πρὸς τὴν βάσιν τοῦ ΔΕΖ, οὕτως τὸ ὕψος τ τοῦ ΔΕΖ πρὸς τὸ ὕψος τοῦ ΑΒΓ. τῶν ΑΒΓ, ΔΕΖ ἄρα ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΒΑΓ τῶι ΔΕΖ κώ νωι εξ ἑξῆς τὸ ΣΧ ΗΜΑ .

παντὶ ῥόμβωι ἐξ ἰσοσκελῶν κων κώνων συγκειμένωι ἴσος ἐστὶ κῶνος ὁ βά σιν μὲν ἔχων ἴσην τῆι ἐπιφα νείαι τοῦ ἑτέρου κώνου τῶν περιε χόντων τὸν ῥόμβον, ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ ετερ ἑτέρου κώνου καθέτωι ἀγομένηι ἐπὶ μια μίαν

τῆι ΑΔ ἴση ἐστίν ἄρα ὡς ἡ ΝΟ πρὸς ΔΕ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΕ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΑΔ πρὸς ΔΕ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ ῥόμβος πρὸς τὸν ΒΓΔ κῶ νον, ὡς δὲ ἡ ΝΟ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ὁ ΜΝΞ κῶνος πρὸς τὸν ΒΓΔ κῶνον διὰ τὸ τὰς βάσεις αὐτῶν εἶναι ἴσας· ὡς ἄρα ὁ ΜΝΞ κῶνος πρὸς τὸν ΒΓΔ κῶνον, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ ῥόμβος πρὸς τὸν ΒΓΔ κῶνον· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΜΝΞ τῶι ΑΒΓΔ ῥόμβωι. καὶ ἐπεὶ ἡ ἐπιφά νεια τοῦ ΑΒΓ ἴση ἐστὶν τῆι βάσει τοῦ ΗΘΚ, ὡς ἄρα ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ΑΒΓ πρὸς τ τὴν ἰδίαν βάσιν, οὕτως ἡ βάσις τ τῆς ΗΘΚ πρὸς τὴν βάσιν τοῦ ΜΝΞ· ἡ γὰρ βάσις τοῦ ΑΒΓ ἴση ἐστὶ τῆι βάσει τοῦ ΜΝΞ. ὡς δὲ ἡ ἐπι φάνεια τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὴν ἰδίαν βασι βάσιν

ἐὰν κῶνος ἰσοσκελὴς ἐπιπέδωι τμηθῆι παραλλήλωι τῆι βάσει, ἀπὸ δὲ τοῦ γενομένου κύκλου κῶ νος ἀναγραφῆι κορυφὴν ἔχων τὸ κέντρον τῆς βάσεως, ὁ δὲ γενόμε νος ῥόμβος ἀφαιρεθῆ ἀπὸ τοῦ ὅλου κώνου, τῶι περιλείμματι ἴσος ἔσται κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῆι ἐπιφανείαι τοῦ κώνου τῆι μεταξὺ τῶν παραλλή λων ἐπιπέδων, ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ κώνου καθέτωι ἠγμένηι.

ἔστω κῶνος ἰσοσκελὴς ὁ ΑΒΓ καὶ τετμήσθω ἐπιπέδωι παραλλήλωι

τοῦτο ἴσος ἐστὶν ὁ ΜΝΞ κῶνος τῶι Α ΒΓ κώνωι· ἐὰν γὰρ ὦσι δύο κῶνοι ἰσοσκελεῖς, ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου κώνου ἐπιφάνεια ἴση ἦ τῆι τοῦ ἑτέρου βάσει, ἔτι δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν πλευρὰν τοῦ κώνου λεγομένη κάθετος τῶι ὕψει ἴση, ἴσοι ἔσονται οἱ κῶνοι, τὴν δὲ τοῦ ΟΠΡ κώνου βάσιν ἴσην εἶναι τῆι ἐπιφανείαι τοῦ ΔΒΕ κώ νου, ὕψος δὲ τῆι ΖΗ διὰ δὴ τούτοις ἴσος ἐστὶν ὁ ΟΠΡ κῶνος τῶι ΒΔ ΖΕ ῥόμ βωι· τοῦτο γὰρ προαπεδείχθη. ἐπεὶ δὲ ἡ τοῦ ΑΒΓ κώνου ἐπιφάνεια σύγκειται ἔκ τε τῆς τοῦ ΔΒΕ ἐπι φανείας καὶ τῆς μεταξὺ τῶν ΔΕ ΑΓ, ἀλλ’ ἡ μὲν τοῦ ΑΒΓ κώνου ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ τῆι βάσει τοῦ

ἐὰν ῥόμβου ἐξ ἰσοσκελῶν κωνω κώνων συγκειμένου ὁ ἕτερος κῶνος ἐπιπέδῶι τμηθῆι παραλλήλῶι τῆι βάσει, ἀπὸ δὲ τοῦ γενομένου κύκλου κῶνος ἀναγραφῆι κο ρυφὴν ἔχων τὴν αὐτὴν τῶι ἑ τέρωι κώνωι, ἀπὸ δὲ τοῦ ὅλου ῥόμ βου ὁ γενόμενος ῥόμβος ἀφαι ρεθῆ, τῶι περιλείμματι ἴσος ἔσται ὁ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῆι ἐπιφανείαι τοῦ κώνου τῆι μετα ξ ὺ τῶν παραλλήλων ἐπι πέδων , ὕψος δὲ ἴσον τὸ ἀπὸ τ τῆς κορυφῆς τοῦ ἑτέρου κώνου ἐπὶ τὴν πλευρὰν τοῦ ἑτέρου κώνου κα θέτωι ἠγμένηι.

ἔστω ῥόμβος ἐξ ἰσο σκελῶν κώνων συγκείμενος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ τμηθήτω ὁ ἕτερος κῶνος ἐπιπέδωι παραλλήλωι τῆι βάσει, καὶ ποιείτω τομὴν τη τὴν ΕΖ, ἀπὸ δὲ τοῦ περὶ διάμετρον τη τὴν ΕΖ κύκλον κῶνος ἀναγεγράφθω τὴν κορυφὴν ἔχων τὸ Δ σημεῖον· ἔσται δὴ γεγονὼς ῥόμβος ὁ ΕΒΔΖ. καὶ νοείσθω ἀφηρημένος ἀπὸ τοῦ ὅλου ῥόμβου, ἐκκείσθω δέ τις κῶνος ὁ ΘΚΛ τὴν μὲν βάσιν ἴ σην ἔχων τῆι ἐπιφανείαι τῆι με ταξὺ τῶν ΑΓ, ΕΖ, τὸ δὲ ὕψος ἴσον τῆι ἀπὸ τοῦ Δ σημείου καθέτω ἀγομένη ἐπὶ τὴν ΒΔ ἢ τὴν ἐπ᾽ εὐ θ είας αὐτῆι· λέγω ὅτι ὁ ΘΚΛ κων κῶνος ἴσος ἐστὶ τῶι εἰρημένῶι περιλείμ ματι.

ἐκκείσθωσαν γὰρ δύο κῶ νοι οἱ ΜΝΞ, ΟΠΡ, καὶ ἡ μὲν βάσις τοῦ ΜΝΞ κώνου ἴση ἔστω τῆι ἐπι φανείαι τοῦ ΑΒΓ, τὸ δὲ ὕψος ισ ἴσον τῆι ΔΗ διὰ δὴ τὰ προδειχθέντα ἴ σος ἐστὶν ὁ ΜΝΞ κῶνος τῶι ΑΒΓΔ ῥόμβωι, τοῦ δὲ ΟΠΡ κώνου ἡ μ μὲν βάσις ἴση ἔστω τῆι ἐπιφανείαι τοῦ ΕΒΖ κώνου, τὸ δὲ ὕψος ἴσον τῆι ΔΗ ὁμοίως δὴ ἴσος ἐστὶν ὁ ΟΠΡ κῶνος τῶ ΕΒΔΖ ῥόμβῶι. ἐπεὶ δὲ ὁμοίως ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ΑΒΓ κώνου σύγκειται ἔκ τε τῆς τοῦ ΕΒΖ καὶ τῆς μεταξὺ τῶν ΕΖ, ΑΓ, ἀλλὰ ἡ μὲν τοῦ ΑΒΓ κώνου ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ τῆι βάσει τοῦ ΜΝΞ, ἡ δὲ τοῦ ΕΒΖ κώνου ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ τῆι βά σει τοῦ ΟΠΡ κώνου, ἡ δὲ μεταξὺ τῶν ΕΖ, ΑΓ ἴση ἐστὶ τῆι βάσει τ τοῦ ΘΚΛ, ἡ ἄρα βάσις τοῦ ΜΝΞ ἴση ἐστὶ τς ταῖς βάσεσι τῶν ΟΠΡ, ΘΚΛ. καί εἰσιν οἱ κῶνοι ὑ πὸ τὸ αὐτὸ ὕψος· καὶ ὁ ΜΝΞ ἄρα κῶ νος ἴσος ἐστὶ τοῖς ΘΚΛ, ΟΠΡ κώνοις. ἀλλ᾽ ὁ μὲν ΜΝΞ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῶι Α ΒΓΔ ῥόμβωι, ὁ δὲ ΟΠΡ κῶνος τῶ Ε ΒΔΖ ῥόμβωι· λοιπὸς ἄρα ὁ κῶνος ὁ ΘΚΛ ἴσος ἐστὶ τῶι περιλείμματι τῶι λοιπῶι.

ἐὰν εἰς κύκλον πολύγωνον ἐγγραφῆι ἀρτιόπλευρόν τε καὶ ἰσόπλευρο ἰσόπλευρον καὶ διαχθῶσιν εὐθεῖαι ἐπιζευγ ἐπιζευγνύουσαι ουσαι τὰς πλευρὰς τοῦ κώνου ὥστε αὐτὰς παραλλήλους εἶναι μιᾶι ὁποιαοῦν τῶν ὑπὸ δύο πλευ ρὰς τοῦ πολυγώνου ὑποτεινου σῶν αἱ ἐπιζευγνύουσαι πᾶσαι πρὸς τ τὴν τ τοῦ κύκλου διάμετρον τοῦτον ἔ χουσι τὸν λόγον ὃν ἔχει ἡ ὑποτεί νουσα τὰς μιᾶ ἐλάσσονα τῶν ἡμίσεων πρὸς τὴν πλευρὰν τοῦ πο λυγώνου.

ἔστω κύκλος ὁ ΑΒ ΓΔ καὶ ἐν αὐτῶι πολύγωνον ἐγγεγρά φθω τὸ ΑΕΖ ΒΗΘ ΓΜ ΝΔ ΛΚΑ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΚ ΖΛ ΒΔ ΗΝ ΘΜ· δῆλον δὴ ὅτι παράλληλ παράλληλοί εἰσιν τῆι ὑπὸ δύο πλευρὰς τοῦ πολυ γώνου ὑποτεινούσηι· λέγω οὖν ὅτι α ἱ εἰρημέν εἰρημέναι πᾶσ πᾶσαι πρὸς τ τὴν τ τοῦ κύκλου διάμετρον μετρον τὴν ΑΓ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχουσι τῶι τῆς ΓΕ πρὸς ΕΑ

ἐπεζεύ χθωσαν γὰρ αἱ ΖΚ ΑΒ ΗΔ ΘΝ· παράλληλος ἄρα ἡ μὲν ΖΚ τῆι ΕΑ ἡ δὲ ΒΛ τῆι ΖΚ καὶ ἔτι ἡ μὲν ΔΗ τῆι ΒΛ ἡ δὲ ΘΝ τῆι ΔΗ καὶ ἡ ΓΜ τῆι ΘΝ καὶ ἐπεὶ δύο παράλληλοί εἰσιν αἱ ΕΑ ΚΖ καὶ δύο διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΚ ΑΟ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΞ πρὸς ΞΑ ἡ ΚΞ πρὸς ΞΟ. ὡς δὲ ἡ ΚΞ πρὸς ΞΟ ἡ ΖΠ πρὸς ΠΟ ὡς δὲ ἡ ΖΠ πρὸς ΠΟ ἡ ΛΠ πρὸς ΠΡ ὡς δὲ ἡ ΛΠ πρὸς ΠΡ οὕτως ἡ ΒΣ πρὸς ΡΣ καὶ ἔτι ὡς ἡ μὲν ΒΣ πρὸς ΣΡ ἡ ΔΣ πρὸς ΣΤ ὡς δὲ ἡ ΔΣ πρὸς ΣΤ ἡ ΗΥ πρὸς ΥΤ καὶ ἔτι ὡς ἡ μὲν ΗΥ πρὸς ΥΤ ἡ ΝΥ πρὸς ΥΦ ὡς δὲ ἡ ΝΥ πρὸς ΥΦ ἡ ΘΧ πρὸς ΧΦ καὶ ἔτι ὡς μὲν ἡ ΘΧ πρὸς ΧΦ ἡ ΜΧ πρὸς ΗΓ καὶ πάν τα ἄρα πρὸς πάντα ἐστὶν ὡς εἷς τῶν λόγων πρὸς ἕνα· ὡς ἄρα ἡ ΕΞ πρὸς ΞΑ οὕτως αἱ ΕΚ ΖΛ ΒΔ ΗΝ ΘΜ πρὸς τὴν ΑΓ διάμετρον. ὡς δὲ ἡ ΕΞ πρὸς ΞΑ οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς ΕΑ· ἔστ ἔσται ἄρα καὶ ὡ ὡς ἡ ΓΕ πρὸς ΕΑ οὕτως πᾶσαι αἱ ΕΚ ΖΛ ΒΔ ΗΝ ΘΜ πρὸς τὴν ΑΓ διάμετρον ἑξ ἑξῆς Η ΚΑΤΑΓΡΑΦΗ

ἐὰν εἰς τμῆμα κύκλου πολύγωνον ἐγ γραφῆι τὰς πλευρὰς ἔχον χωρὶς τῆς βάσεως ἴσας καὶ ἀρτίους ἀ χθῶσι δὲ εὐθεῖαι π παρὰ τὴν βάσιν τ τοῦ τμήματος αἱ τὰς πλευρὰς ἐ πιζευγνύουσαι τοῦ πολυγώνου αἱ ἀχθεῖσαι πᾶσαι καὶ ἡμίσεια τῆς βάσεως πρὸς τὸ ὕψος τοῦ τμή ματος τὸν αὐτὸν λόγον ἔχουσιν ὃν ἡ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλ κύκλου ἐπὶ τὴν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου ἐπιζευγνυμένη πρὸς τὴν τοῦ πολυγώ νου πλευράν.

εἰς γὰρ κύκλον τὸν ΑΒΓΔ καὶ ἐπὶ τῆς ΑΓ πολύγων πολύγωνον ἐγγεγράφθω εἰς τὸ ΑΒΓ τμῆμα ἀρ τιόπλευρόν τε καὶ ἴσας ἔχον τὰς πλευρὰς χωρὶς τῆς βάσεως τῆς ΑΓ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΗ ΕΘ αἵ εἰσιν παράλληλοι τῆι βάσει τοῦ τμή ματος· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΖΗ ΕΘ ΑΞ πρὸς ΒΞ οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ΖΒ.

πάλιν γὰρ ὁμοί ως ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΕ ΑΘ· παράλ ληλοι ἄρα εἰσὶν τῆι ΒΖ· διὰ δὴ ταὐτά ἐστιν ὡς ἡ ΚΖ πρὸς ΚΒ ἥ τε ΗΚ πρὸς ΚΛ καὶ ἡ ΕΜ πρὸς ΜΛ καὶ ἡ ΗΘ πρὸς ΜΝ καὶ ἡ ΞΑ πρὸς ΞΝ καὶ ὡς ἄρα πάντα πρὸς πάντα εἷς τὸν λογὸν πρὸς ἕνα· ὡς ἄρα αἱ ΖΗ ΕΘ ΑΞ πρὸς ΒΞ οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς ΚΒ. ὡς δὲ ἡ ΖΚ πρὸς ΚΒ οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ΖΒ· ὡς ἄρα ἡ ΔΖ πρὸς ΖΒ οὕτως αἱ ΖΗ ΕΘ ΑΞ πρὸς ΞΒ. ἑξ ἑξῆς τὸ ΣΧΗΜΑ.

ἔστω ἐν σφαίραι μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸν πολύγωνον ἰσόπλευρον, τὸ δὲ πλῆ θος τῶν πλευρῶν αὐτοῦ μετρείσ θω ὑπὸ τετράδος, αἱ δὲ ΑΓ, ΔΒ διάμετροι ἔστωσαν ἐὰν δὴ μενού σης τῆς ΑΓ διαμέτρου περιενε χθῆ ὁ ΑΒ ΓΔ κύκλος ἔχων τὸ πο λύγωνον, δῆλον ὅτι ἡ μὲν περιφέ ρεια αὐτοῦ κατὰ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας ἐνεχθήσεται, αἱ δὲ τοῦ πολυγώνου γωνίαι χωρὶς τῶ τῶν πρὸς τοῖς ΑΓ σημείοις κατὰ κύκλω κύκλων περιφέρειαν ἐνεχθήσονται ἐν τῆι ἐπιφανείαι τῆς σφαίρας γεγραμμένων ὀρθῶν πρὸς τὸ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον· διάμετροι δὲ αὐτῶν εσν ἔσονται αἱ ἐπιζευγνοῦσαι τὰς γωνίας τοῦ πο λυγώνου π παρὰ τὴν ΒΔ οὖσαι. αἱ δὲ τοῦ πολυγώνου πλευραὶ κατά τινων κώνων ἐνεχθήσονται, αἱ μὲν ΑΖ, ΑΝ κατ᾽ ἐπιφανείας κώνου, οὗ βά σις μὲν ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρο διάμετρον τὴν ΖΝ, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, αἱ δὲ ΖΗ, ΜΝ κατά τινος κωνικῆς ἐπιφανείας οἰσθήσονται, ἧς βά σις μὲν ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΗΝ, κορυφὴ δὲ τὸ σημεῖον, κα θ᾽ ὃ συμβάλλουσι συμβάλλουσιν ἐκβαλλόμεναι αἱ ΖΗ, ΜΝ ἀλλήλαις τε καὶ τῆι ΑΓ, αἱ δὲ ΒΗ, ΜΔ πλευραὶ κατὰ κωνι κῆς ἐπιφανείας οἰσθήσονται, ἧς βάσις μέν ἐστιν ὁ κύκλ κύκλος ὁ περὶ τὴν διάμετρον τὴν ΒΔ ὀρθὸς πρὸς τὸν ΑΒ ΓΔ κύκλον, κορυφὴ δὲ τὸ σημεῖον, καθ᾽ ὃ συμβάλλουσι συμβάλλουσιν ἐκβαλλόμε ναι αἱ ΒΗ, ΔΜ ἀλλήλαις τε καὶ τῆι ΓΑ· ὁμοίως δὲ καὶ ἐν τῶι ἑτέρωι ἡμικυ κλίωι πλευραὶ κατὰ κωνικῶν ἐπιφανειῶν οἰσθήσονται πάλι πάλιν ὁμοίων ταύταις. ἔσται δή τι σχῆ μα ἐγγεγραμμένη ἐν τῆι σφαιρ σφαίρα ὑπὸ κωνικῶν ἐπιφανειῶν περι εχόμεν περιεχόμενον τῶν προειρημένων, οὗ ἡ ἐπιφάνεια ἐλάσσων ἔστ ἔσται τῆς ἐπι φανείας τῆς σφαίρας.

διαιρε θείσης γὰρ τῆς σφαίρας ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ κα κατὰ τὴν ΒΔ ὀρθοῦ πρὸς τὸν ΑΒ ΓΔ κύκλ κύκλον ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ἑτέρου ἡμισφαιρίου καὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ σχήματος τοῦ ἐν αὐτῶι ἐγγε γραμμένου τὰ αὐτὰ πέρατα εχ ἔχουσιν σιν ἐν ἑνὶ ἐπιπέδωι· ἀμφοτέρων γὰρ τῶν ἐπιφανειῶν πέρας ἐστὶ τ τοῦ κύκλου ἡ περιφέρεια τοῦ περὶ διά μετρον τὴν ΒΔ ὀρθοῦ πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον· καί ἐστὶν ἀμφότεραι ἐπὶ τὰ αὐ τὰ κοῖλαι, καὶ περιλαμβάνεται αὐτ αὐτῶν ἡ ἑτέρα ὑπὸ τῆς ἑτέρας ἐπιφα νείας καὶ τῆς ἐπιπέδου τῆς τὰ αὐ τὰ πέρατα ἐχούσης αὐτῆι. ὁμοί ως δὲ καὶ τοῦ ἐν τῶι ἑτέρωι ἡμισφαι ρίωι σχήματος ἐπιφάνεια ἐλάσ σων ἐστὶν τῆς τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπι φανείας· καὶ ὅλη οὖν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ σχήματος τοῦ ἐν τῆι σφαίραι ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας.

ἡ τοῦ ἐγγραφομένου σχήματος εἰς τ τὴν σφαῖραν ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλω, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ πε ριεχόμενον ὑπό τε τῆς πλευρᾶς τ τοῦ σχήματος καὶ τῆς ἴσης πάσαις τς ταῖς ἐπιζευγνυούσαις τὰς πλευρὰς τοῦ πολυγώνου παραλλήλας οὔσας τῆι ὑ πὸ δύο πλευρὰς τοῦ πολυγών πολυγώνου ὑποτεινούσα εὐθεία.

ἔστω ἐν σφαίραι μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῶι πολύγωνον ἐγγεγρά φθω ἰσόπλευρον, οὗ αἱ πλευραὶ ὑπὸ τετράδος μετροῦνται, καὶ ἀπὸ τοῦ πολυγώνου τοῦ ἐγγεγραμμένου νοείσθω τι εἰς τὴν σφαῖραν ἐγγρα φὲν σχῆμα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ, ΗΘ, ΓΔ, ΚΛ, ΜΝ παράλληλοι οὖ σαι τῆι ὑπὸ δύο πλευρὰς ὑποτειν ὑποτεινούσηι σηι εὐθείαι, κύκλος δέ τις ἐκκείσ θω ὁ Ξ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυνά σθω τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ΑΕ καὶ τ ῆ ς ἴσης ταῖς ΕΖ, ΗΘ, ΓΔ, ΚΛ, ΜΝ· λέγω ὅτι ὁ κύκλ κύκλος οὗτος ἴσος ἐστὶ τῆι ἐ πιφανείαι τοῦ εἰς τὴν σφαῖραν ἐγ γραφομένου σχήματος.

ἐκκείσθω σαν γὰρ κύκλοι οἱ Ο, Π, Ρ, Σ, Τ, Υ, καὶ τοῦ μὲν Ο ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυνάσθω τὸ πε ριεχόμενον ὑπό τε τῆς ΕΑ καὶ τῆς ἡμισείας τῆς ΕΖ, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρ κέντρου τοῦ Π δυνάσθω τὸ περιεχόμ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ΕΑ καὶ τῆς ἡμισείας τῶν ΕΖ, ΗΘ, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ρ δυνάσθω τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς ΕΑ καὶ τῆς ἡμισείας τῶν ΗΘ, ΓΔ, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Σ δυνάσθω τὸ περιεχόμ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ΕΑ καὶ τῆς ἡμισείας τ τῶν ΓΔ, ΚΛ, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Τ δυνθω δυνάσθω τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ΑΕ καὶ τῆς ἡμισείας τῶν ΚΛ, ΜΝ, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Υ δυνάσθω τὸ εχόμενον περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ΑΕ καὶ τῆς ἡμι σείας τῆς ΜΝ. διὰ δὴ ταῦτα ὁ μὲν κύκλος κύκλος ἴ σος ἐστὶν τῆι ἐπιφανείαι τοῦ κώνου, τῆι μεταξὺ τοῦ κώνου τῶ τῶν ΕΖ, ΗΘ, ὁ δὲ Ρ τῆι μεταξὺ τῶν ΗΘ, ΓΔ, ὁ δὲ Θ τῆι μεταξὺ τῶ ν ΔΓ, ΚΛ, καὶ ἔτι ὁ μὲν Τ ἴσος ἐστὶ τῆι ἐπιφανείαι τοῦ κώ νου τῆι μεταξὺ τῶν ΚΛ, ΜΝ, ὁ δὲ Υ τῆι τοῦ ΜΒΝ κώνου ἐπιφανεία ἴσ ἴσος ἐστίν· οἱ πάντες ἄρα κύκλοι ἴσοι εἰσὶν τῆι τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος ἐπι φανείαι. καὶ φανερὸν ὅτι αἱ ἐκ τῶ τῶν κέντρων τῶν Ο, Π, Ρ, Σ, Τ, Υ κύκλων δύ ναται τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆ τῆς ΑΕ καὶ δὶς τῶν ἡμίσεων τῆς ΕΖ, ΗΘ, ΓΔ, ΚΛ, ΜΝ, αἳ ὅλοι εἰσὶν αἱ ΕΖ, ΗΘ, ΚΛ, ΜΝ αἱ ἄρα ἐκ τῶν κέντρων τῶν Ο, Π, Ρ, Σ, Τ, Υ κύκλων δύνανται τὸ περιεχόμε νον ὑπό τε τῆς ΑΕ καὶ πασῶν τῶν ΕΖ, ΗΘ, ΓΔ, ΚΛ, ΜΝ. Ἀλλὰ καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ξ κύκλου δύναται τὸ ὑπὸ τῆς ΑΕ καὶ τῆς συγκειμέν συγκειμένης ἐκ πασῶν τῶν ΕΖ, ΗΘ, ΓΔ, ΚΛ, ΜΝ· ἡ ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ξ κύκλου δύ ναται τὰς ἐκ τῶν κέντρων τ τῶν Ο, Π, Ρ, Σ, Τ, Υ κύκλων· καὶ ὁ κύκλ κύκλος ἄρα ὁ Ξ ἴσ ἴσος ἐστὶ τοῖς Ο, Π, Ρ, Σ, Τ, Υ κύκλοις. οἱ δὲ Ο, Π, Ρ, Σ, Τ, Υ κύκλοι ἀπεδείχθησαν ἴσοι τῆι εἰρημένηι τοῦ σχήματος ἐπιφα νείαι· καὶ ὁ Ξ ἄρα κύκλος ἴσος ἔσται τῆ ἐπιφανείαι τοῦ σχήματος.

τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος εἰς τη τήν σφαῖραν ἡ ἐπιφάνεια ἡ περιεχο μένη ὑπὸ τῶν κωνικῶν ἐπιφα νειῶν ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τετραπλα σία τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῆι σφαίραι.

ἔστω ἐν σφαίρα μεγιστ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῶι ἐγγε γράφθω π ολύγ ωνο ν αρτιογωνο ἀρτιόγωνον ἰσόπλευρον, οὗ αἱ πλευραὶ ὑπ ὸ τετράδος μετροῦνται, καὶ ἐπ᾽ αυτ αὐτοῦ νοείσθω ἐπιφάνεια ἡ ὑπὸ τῶν κω νικῶν ἐπιφανειῶν περιεχομένη· λέγω ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ἐγγραφέν τος ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τετραπλα σία τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῆι σφαίραι.

ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ὑ πὸ δύο πλευρὰς ὑποτείνουσαι τ τοῦ πολυγώνου αἱ ΕΙ, ΘΜ καὶ ταύταις παράλληλοι αἱ ΖΚ, ΔΒ, ΗΛ, ἐκκείσ θω δέ τις κυκλ κύκλος ὁ Ρ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κεντρ κέντρου δύναται ὑπὸ τῆς ΕΑ καὶ τῆς ἴ σης πάσαις τς ταῖς ΕΙ, ΖΚ, ΒΔ, ΗΛ, ΘΜ· διὰ δὴ τὸ προδειχθὲν ἴσος ἐστὶν ὁ κύκλος τῆι τοῦ εἰρημένου σχήματος ἐπιφανείαι. καὶ ἐπεὶ εδει ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ἴση πάσαις ταῖς ΕΙ, ΖΚ, ΒΔ, ΗΛ, ΘΜ πρὸς τὴν διά μετρον τοῦ κύκλου τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς ΕΑ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς ἴσης πασς πάσαις τς ταῖς εἰρημέναις καὶ τῆς ΕΑ, τουτ τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ρ κύ κλου, ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΕ. ἀλλὰ καὶ τὸ ὑπὸ ΑΓ, ΓΕ ἔλασσόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ· ἔλασσον ἄρα εστι ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ρ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ρ τῆς ΑΓ· ὥσ τε ἡ διάμετρος τοῦ Ο κύκλου ἐλάσ σων ἐστὶν ἢ διπλασία τῆς δια μέτρου τοῦ ΑΒ ΓΔ κύκλου, καὶ δύο ἄρα τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου διάμετροι μειζ μείζους εἰσὶ τῆς διαμέτρου τοῦ Ρ κύκλου, καὶ τὸ τετράκις ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, τουτ τουτέστι τῆς ΑΓ, μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς τοῦ Ρ κύκλου διαμέ τρου. ὡς δὲ τὸ τετράκις ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τοῦ Ρ κύκλου μετρ διαμέτρου , οὕτως τέσσαρες κύκλοι οἱ ΑΒ ΓΔ πρὸς τὸ ν Ρ κύκλον· τέσσαρες ἄρα κύκλοι οἱ ΑΒ ΓΔ μείζους εἰσὶν τοῦ Ρ κύκλου· ὁ ἄρα κύκλος ὁ Ρ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τετραπλά σιος τοῦ μεγίστου κύκλου. ὁ δὲ Ρ κύ κλος ἴσος ἐδείχθη τῆι εἰρημέναι ἐπιφανεία τοῦ σχήματος· ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τετραπλασία τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῆι σφαί ραι εξ ἑξῆς τὸ ΣΧΗΜΑ.

τῶι ἐγγραφομένωι ἐν τῆι σφαιρ σφαίραι σχήματι τῶι περιεχομένωι ὑπὸ τῶν ἐπιφανειῶν τῶν κωνικῶν ἴσος ἐστὶν κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον τὸν ἴσον τῆι ἐπιφα νείαι τοῦ σχήματος τοῦ ἐγγρα φέντος ἐν τῆι σφαίραι, ὕψος δὲ ισ ἴσον τῆι ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαιρ σφαίρας ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγων πολυγώνου καθέτωι ἠγμένη.

ἔστω ἡ σφαῖρα καὶ ὁ ἐν αὐτῆι μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒ ΓΔ καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ τῶ πρότε ρον , ἔστω δὲ κῶνος ὀρθὸς ὁ Ρ βά σιν μὲν ἔχων τῆι ἐπιφανείαι τοῦ σχήματος τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐν τῆι σφαίραι, ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγων πολυγώνου καθέτωι ἠγμένη· δεικτέον ὅτι ὁ κῶ νος ὁ Ρ ἴσος ἐστὶν τῶι ἐγγεγραμμένωι ἐν τῆι σφαίραι σχήματι.

ἀπὸ γὰρ τῶν κύκλων, ὧν εἰσι διάμετροι αἱ ΖΝ ΗΜ ΘΛ ΙΚ, κῶνοι ἀναγεγράφθω σαν κορυφὴν ἔχοντες τὸ τῆς σφαί ρας κέντρον· ἔσται δὴ ῥόμβος στερεὸς ἔκ τε τοῦ κώνου, οὗ βάσις μ μέν ἔστω ὁ κύκλος ὁ περὶ τὴν ΖΝ, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, καὶ τοῦ κώνου, οὗ βάσις ὁ αὐτὸς κυκλ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Χ σημεῖον· ἴσος εστι ἐστὶν τῶι κώνωι τῶι βάσιν μὲν ἔχον τι τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ΝΑΖ, υψ ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἀπὸ τοῦ Χ καθέτωι

ἐὰν ἐν σφαίραι σχ σχῆμα ἐγγεγραμμέ νον καὶ ἄλλο περιγεγραμμέ νον ὑπὸ ὁμοίων πολυγώνων τὸν αὐτὸν τρόπον τοῖς πρότερ πρότερον κατεσκευασμένοις, ἡ ἐπιφά νεια τοῦ περιγεγραμμένου σχή ματος πρὸς τὴν τοῦ ἐγγεγραμμέ νου ἐπιφάνειαν διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ τοῦ περιγεγραμμένου πολυγών πολυγώνου περὶ τὸν μέγιστον κύκλον πρὸς τὴ τὴν πλευρὰν τοῦ ἐγγεγραμμένου πολυγώνου ἐν τῶι αὐτῶι κύκλ κύκλω , αὐτὸ δὲ τὸ σχῆμα τὸ περιγεγραμ μένον πρὸς τὸ σχῆμα τριπλασί ονα λόγον ἔχει τοῦ αὐτοῦ λόγ λόγου .

ἔστω ἐν σφαίραι κύκλος ὁ ΑΒ ΓΔ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸν πο λύγωνον ἰσόπλευρον, τὸ δὲ πλῆ θος τῶν πλευρῶν αὐτοῦ μετρείσθω ὑπὸ τετράδος, καὶ ἄλ λο περιγε γράφθω περὶ τὸν κύκλον ὅμοιο ὅμοιον τῶι ἐγγεγραμμένωι, ἐπὶ δὲ τοῦ περι γεγραμμένου πολυγώνου πλευ ραὶ ἐπιψαυέτωσαν τοῦ κύκλου κ κατὰ τὰ μέσα τῶν περιφερειῶν τῶν ἀποτεμνομένων ὑπὸ τῶν τοῦ ἐγγεγραμμένου πολυγώνου πλευ ρῶν, αἱ δὲ ΕΗ ΖΘ μετροι διάμετροι πρὸς ὀρθ ὀρθὰς ἔστωσαν ἀλλήλαις τοῦ κύκλου τ τοῦ περιλαμβάνοντος τὸ περιγε γραμμένον πολύγωνον καὶ ὁμοί ως κείμεναι ταῖς ΑΓ ΒΔ διαμέ τροις, καὶ νοείσθωσαν ἐπεζευγ μεναι ἐπὶ τὰς ἀπεναντίον γω νίας τοῦ πολυγώνου, αἳ γίγνοντ γίγνονται ἀλλήλαις τε καὶ τῆι ΒΖ ΘΔ παράλ ληλοι. μενούσης δὴ τῆς ΕΗ δια μέτρου καὶ περιενεχθεισῶν τῶν περιμέτρων τῶν πολυγώνων περὶ τὴν τοῦ κύκλου περιφέρει περιφέρειαν τὸ μὲν περιγεγραμμένον σχῆ μα ἔσται ἐν τῆι σφαίραι, τὸ δὲ ἐγ γεγραμμένον· δεικτέον οὖν ὅτι ἡ μ μὲν ἐπιφάνεια τοῦ περιγεγραμμέ νου σχήματος πρὸς τὴν ἐπιφάνει ἐπιφάνειαν τοῦ ἐγγεγραμμένου διπλασίονα λόγον ἔχει εἴ εἴπερ ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ τὸ δὲ σχῆμα τὸ περιγεγραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον τριπλασίον τριπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ αὐτοῦ λόγου.

ἔστω γὰρ ὁ μὲν Μ κύκλος ἴσος τῆι ἐπιφα νείαι τοῦ περιγεγραμμένου πε ρὶ τὴν σφαῖραν, ὁ δὲ Ν ἴσος τῆι ἐπι φανειαι τοῦ ἐγγεγραμμέν ἐγγεγραμμένου · περὶ τὴν σφαῖραν ὁ δὲ Ν ἴσος τῆι ἐπιφανείαι τοῦ γεγραμμένου δύ δυνατ δυναται ἄρα τοῦ μὲν Μ ἡ ἐκ τοῦ κέντρ κέντρου τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς ΕΑ καὶ τῆς ἴσης πάσαις ταῖς ἐπι γνυούσαις τὰς γωνίας τοῦ πολυγώ νου τοῦ περιγεγραμμένου, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν τὸ ὑπὸ τῆς ΑΚ καὶ τῆς ἴσης πάσαις τσ ταῖς ἐπιζευγνυ ούσαις τὰς γωνίας. καὶ ἐπεὶ ὅμοιά ἐστι ἐστιν τὰ πολύγωνα, ὅμοια ἂν εἴη καὶ τὰ περιεχόμενα χωρία ὑπὸ τῶν εἰρη μένων γραμμῶν τουτέστι τῶν ἐ πὶ τὰς γωνίας ἢ τὰς πλευρὰς τῶν πολυγώνων, ὥστε τὸν αὐτὸν λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλας, ὃν ἔχουσιν αἱ τῶ τῶν πολυγώνων πλευραὶ δυνάμει. ἀλλ ἀλλὰ καὶ ὃν ἔχει λόγον τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν εἰρημένων γραμμῶν, τοῦ τον ἔχουσιν αἱ ἐκ τῶν κέντρων τῶν ΜΝ κύκλων πρὸς ἀλλήλαις δυνάμει· ὥστε καὶ αἱ τῶν ΜΝ διάμετροι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον ταῖς τῶν πολυγώ νων πλευραῖς. οἱ δὲ κύκλοι πρὸς ἀλ λήλους διπλασίονα λόγον ἔχουσιν τῶν διαμέτρων, οἵτινες ἴσοι εἰσὶν τς ταῖς ἐπιφανείαις τοῦ περιγεγραμμέν περιγεγραμμένου · δῆλον οὖν ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τοῦ περι γεγραμμένου σχήματος περὶ τ τὴν σφαῖραν πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ἐγ γεγραμμένου σχήματος εἰς τὴν σφαῖ ραν διπλασίονα λόγον ἔχει ἤ ἤπερ ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ.

εἰλήφθωσαν δὴ δύο κῶνοι οἱ ΟΞ καὶ ἔστω ὁ μὲν Ξ κῶν κῶνος βάσιν ἔχων τοῦ Ξ κύκλον ἴσον τῶι Μ, ὁ δὲ Ο βάσιν ἔχων τὸν Ο κύκλον ἴσο ἴσον τῶι Ν, ὕψος δὲ ὁ μὲν Ξ κῶνος τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ὁ δὲ Ο τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ΑΚ κάθετον ἠγμένην· ἴσος ἄρα ὁ μὲν Ξ κῶνος τῶι σχήματι τῶι περιγε γραμμένωι περὶ τὴν σφαῖραν, ὁ δὲ Ο τῶι ἐγγεγραμμένωι δέδεικτ δέδεικται οὖν ταῦτα. καὶ ἐπεὶ ὅμοιά ἐστι τὰ πο λύγωνα, τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ, ὃν ἡ ἐ κ τοῦ κέντρου τῆς σφ α ί ρας πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὴν ΑΚ κάθετον ἀ γομένην· τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει τὸ ὕψος τοῦ Ξ κώνου πρὸς τὸ ὕψος τοῦ Ο κώνου, ὃν ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ. ἔχει δὲ καὶ ἡ διάμετρος τοῦ Μ κύκλου πρὸς τὴν διά μετρον τοῦ Ν κύκλου λόγον, ὃν ἔχει ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ· τῶν ἄρα ΞΟ κώνων αἱ μετροι διάμετροι τῶν βάσεων τοῖς ὕψεσι τὸ τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον ὅμοιοι ἄρα εἰσίν, καὶ διὰ τὸ αὐτὸ τριπλασίονα λόγον ἕ ξει ὁ Ξ κῶνος πρὸς τὸν Ο κῶνον ἤ ἤπερ ἡ μετρος διάμετρος τοῦ Μ κύκλου πρὸς τὴ τὴν μετρον διάμετρον τοῦ Ν κύκλου. δῆλον οὖν ὅτι καὶ τὸ σχῆμα τὸ π εριγεγραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον τριπλα σίονα λόγον ἕξει ἤ ἤπερ ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ. ἑξ ἑξῆς Ἡ Κ Κατὰ ΓΡΑΦΉ

πάσης σφαίρας ἡ ἐπιφάνεια τετραπαλσία ἐστὶ τοῦ μεγίστου κύ κλου τῶν ἐν αὐτῆι.

ἔστω γὰρ σφαῖ ρά τις καὶ ἔστω τετραπλάσιος

εἰ γὰρ μή, ἤτοι μείζων ἐστὶν ἢ ἐλάσσων. ἔστω πρότερον μειζ μείζων ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας καὶ ὁ Α κύκλος· δυνατὸν ἄρα ἐστὶ λαβεῖν δύο εὐθείας ἀνίσους, ὥστε τὴν μείζο να πρὸς τ τὴν ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἐλάσσονα τοῦ ὃν ἔχει ἡ ἐπιφάνει α τῆς σφαίρας πρὸς τὸν κύκλον. εἰλή φθωσαν αἱ Β, Γ, καὶ τῶν Β, Γ μέση ἀ νάλογον ἔστω ἡ Δ, νοείσθω δὲ καὶ ἡ σφαῖρα ἐπιπέδωι τετμημένη διὰ τοῦ κέντρου κατὰ τὸν ΕΖΗΘ κυκλ κύκλον , νοείσθω δὲ καὶ εἰς τὸν κύκλον ἐγγε γραμμένον πολύγωνον, ὥστε ὅμοι ον εἶναι τὸ περιγεγραμμένον τῶ ἐγ γεγραμμένωι πολυγώνωι καὶ τὴν τοῦ περιγεγραμμένου πλευρὰν ἐλάσσονα λόγον ἔχειν τοῦ ὃν ἔ χει ἡ Β πρὸς Δ καὶ ὁ διπλάσιος ἄρα λογ λόγος τοῦ διπλασίου λόγου ἐστὶν ελασσ ἐλάσσων . καὶ τοῦ μὲν τῆς Β πρὸς Δ διπλάσιός ἐστιν

λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω· καὶ ὁμοίως εὑρήσθωσαν αἱ Β, Γ εὐθεῖαι ὥστε τὴν Β πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχειν τοῦ ὃν ἔχει ὁ Α κύκλος πρὸς τὴν ἐπιφά νειαν τῆς σφαίρας, καὶ τῶν Β, Γ μέ ση ἀνάλογον ἡ Δ, καὶ ἐγγεγράφθω καὶ περιγεγράφθω πάλιν, πότε τ τὴν τοῦ περιγεγραμμένου ἐλάσσονα λόγον ἔχειν τοῦ τῆς Β πρὸς Δ καὶ τὰ διπλάσια ἄρα· ἡ ἐπιφάνεια ἄρα τοῦ περιγεγραμμένου πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ἐγγεγραμμέ νου ἐλάσσονα λόγον ἔχει η ἤπερ ἡ Β πρὸς Γ. ἠ δὲ Β πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔ χει η ἤπερ ὁ Α κύκλος πρὸς τὴν ἐπι φάνειαν τῆς σφαίρας· ο ὅπερ ἄτο πον· ἡ μὲν γὰρ τοῦ περιγεγραμ μένου ἐπιφάνεια μείζων ἐστὶ τοῦ Α κύκλου, ἡ δὲ τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐ λάσσων τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σφ ρας .

οὐκ ἄρα οὐδὲ ἐλάσσων ἡ ἐπιφά νεια τῆς σφαίρας τοῦ Α κύκλου. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ μείζων· ἡ ἄρα ἐπιφά νεια τῆς σφαίρας ἴση ἐστὶ τῶι Α κύ κλωι, τουτ τουτέστι τῶι τετραπλασίωι τ τοῦ μεγίστου κύκλου.

πᾶσα σφαῖρα τεπλασια τετραπλασία ἐστὶ κων κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος ἴσην τῶι μεγίστω κύκλωι τῶν ἐν τῆι σφαί ραι, ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τ τῆς σφαίρας.

ἔστω γὰρ σφαῖρά τις καὶ ἐν αὐτῆι μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒ ΓΔ. εἰ οὖν μή ἐστιν ἡ σφαῖρα τετραπλασία τοῦ εἰρημένου κώνου, ἔστω, εἰ δυ νατόν, μείζων ἢ τετραπλασία· ἔστω δὲ ὁ Ξ κῶνος βάσιν μὲν ἔ χων τετραπλασίαν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἐκ τοῦ κε κέντρου τρου τῆς σφαίρας· μείζων οὖν ἐστιν ἡ σφαῖρα τοῦ Ξ κώνου. Ἔσται δὴ δύο μεγέθη ἄνισα ἥ τε σφαῖρα καὶ ὁ κῶνος· δυνατὸν οὖν δύο ευθει εὐθείας λαβεῖν ἀνίσους, ὥστε ἔχειν τὴν μείζονα πρὸς τ τὴν ἐλάσσονα ἐλάσσο να λόγον τοῦ ὃν ἔχει ἡ σφαῖρα πρὸς τὸν Ξ κῶνον ἔστωσαν οὖν αἱ ΚΗ, αἱ δὲ ΙΘ εἰλημμέναι, ὥσ τε τῶι ἴσωι ἀλλήλων ὑπερέχειν τὴν Κ τῆς Ι καὶ τὴν Ι τῆς Θ καὶ τὴν Θ τῆς Η, νοείσθω δὲ καὶ εἰς τὸν Α ΒΓΔ κύκλον ἐγγεγραμμένον πο λύγωνον, οὗ τὸ πλῆθος τῶν πλευ ρῶν μετρείσθω ὑπὸ τετράδος, καὶ ἄλλο περιγεγραμμένον ὅμοιον τῶι ἐγγεγραμμένωι, καθάπερ ἐπὶ τῶν πρότερον, ἡ δὲ τοῦ περιγε γραμμένου πολυγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐλάσ σονα λόγον ἐχέτω τοῦ ὃν ἔχει ἡ Κ πρὸς Ι, καὶ ἔστωσαν αἱ ΑΒΓΔ διὰ

μέγιστος κύκλος καὶ τμῆμα ἔ λασσον ἡμικυκλίου τὸ ΑΒΓ καὶ κέ κέντρον τρον τὸ Ε, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸ ΑΒΓ τμῆμα πολύγωνον ἀρτιό πλευρον χωρὶς τῆς ΑΓ ὁμοίως τοῖς πρότερον, καὶ μενούσης τῆς ΒΑ περιενεχθεῖσα ἡ σφαῖρα ποιεί τῶι σχῆμάτι ὑπὸ κωνικῶ κωνικῶν ἐπιφανειῶν περιεχόμενον, καὶ ἀπὸ τοῦ κύκλου τοῦ περὶ μετρ διάμετρον τὴν ΑΓ κῶνος ἀναγεγράφθω κορυφὴν ἔχων τὸ κέντρον, καὶ εἰ λήφθω κῶνος ὁ Κ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῆι ἐπιφανείαι τοῦ σχή ματος, ὕψος δὲ τὴν ἀπὸ τοῦ Ε κέν τρου ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυ γώνου καθέτωι ἠγμένηι· δεικτέ δεικτέον ὅτι ὁ Κ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῶι περι εχομένωι τμήματι σὺν τῶι κώ νωι τῶι ΑΕΓ.

ἀναγεγράφθωσαν δὲ καὶ κῶνοι ἀπὸ τῶν κύκλων τῶν περὶ διαμέτρους τῆς ΘΖ ΚΙ κορυφὴν ἔχοντες τὸ Ε σημεῖον· οὐκοῦν ὁ μὲν ΗΒ ΘΕ ῥόμβος στερεὸς ἴσος ἐστὶ κώνωι, οὗ ἡ μ μὲν βάσις ἴση ἐστὶ τῆι ἐπιφανείαι τοῦ ΗΒΘ κώνου, τὸ ὕψος δὲ τῆι ἀπὸ τ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΖΒ ἀγομένη καθέτωι, τὸ δὲ περίλειμα τὸ περιεχόμεν περιεχόμενον ὑπὸ τῆς ἐπιφανείας τῆς με ταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέ δων τῶν κατὰ τὰς ΗΘ ΖΛ κ καὶ τῶν κωνικῶν τῶν ΖΕΔ ΗΕΘ ἴση ἐστὶ κώνωι, οὗ βάσις μέν ἐστι ἐστιν ἴση τῆι ἐπιφανείαι τῆι μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων τῶ τῶν κατὰ τὰς ΗΘ ΖΔ, ὕψος δὲ τῆ ἀπὸ τοῦ Ε ἐν τῆι ΖΗ καθέτωι ἠγμένηι. πάλιν τὸ περίλειμμα τὸ περιεχό μενον ὑπό τε τῆς ἐπιφανείας τῆς μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐ πιπέδων τῶν κατὰ τὰς ΖΛ ΑΓ καὶ τῶν κωνικῶν τῶν ΑΕ ΓΖ ΕΔ ἴσον ἐστὶ κώνωι, οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶ τῆι ἐπιφανείαι τῆι μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν κατὰ τὰς ΖΛ ΑΓ, ὕψος δὲ τὸ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τ τὴν ΖΑ καθέτωι ἠγμένη· οἱ οὖν εἰρημένοι κῶνοι ἴσοι ἔσονται τ τῶ σχήματι καὶ μετὰ τοῦ ΑΕΓ κών κώνου . Καὶ ὕψος μὲν ἴσον ἔχουσι τῆι ἀπὸ τ τοῦ Ε ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγώ νου καθέτωι ἠγμένηι, τὰς δὲ β ά σεις ἴσας τῆι ἐπιφανείαι τοῦ ΑΖ ΗΒ ΛΓ σχήματος· ἔχει δὲ καὶ ὁ Κ κῶ νος τὸ αὐτὸ ὕψος καὶ βάσιν ἴσ ἴσην τὴ ἐπιφανείαι τοῦ σχήματος· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ κῶνος τ τοῖς εἰρημένοις κώ νοις. Οἱ δὲ εἰρημένοι κῶνοι ἐ δείχθησαν ἴσοι τῶ σχήματι καὶ τῶι ΑΕΓ κώνωι· καὶ ὁ Κ ἄρα κῶνος ἴσος ἐστὶ τῶ τε σχήματι καὶ τῶι ΑΕΓ κώνωι.

ἐκ δὴ τοῦτο φανερὸν ὅτι ὁ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσ ἴσος ἐστὶ τῆι ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ τμήμα τος ἐπὶ τὴν περιφέρειαν ἠγμέ νη τοῦ κύκλου, ὅς ἐστὶν βάσις τοῦ τμήμα τμήματος , ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἐκ τοῦ κέντρου τ τῆς σφαίρας, μείζων ἐστὶ τοῦ ἐγγεγραμμέ νου σχήματος σὺν τῶι κώνωι· ὁ γὰρ προειρημένος κῶνος μείζων ἐστὶ τοῦ κώνου τοῦ ἴσου τῶι σχήματι σὺν τῶι κώνωι το τοῦ βάσιν μὲν ἔχον τὸς τὴν βάσιν τοῦ τμήματος, τὴν δὲ κορυφὴν πρὸς τῶι κέντρωι, ττ τουτέστι τὴν βάσιν μὲν ἔχοντος ἴσην τῆι ἐ πιφανείαι τοῦ σχήματος, τὸ δὲ ὔ ψος τῆι ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ μία μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου καθέτωι ἠγμένηι· ἥ τε γὰρ βάσις τῆς βάσε ως μείζων ἐστὶ δέδεικται γὰρ τοῦτο καὶ τὸ ὕψος τοῦ ὕψους.

ἔστω σφαῖρα καὶ ἐν αὐτῆι μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ τετμήσθω ελασσ ἔλασσον ἡμικυκλίου, ὃ ἀποτέμνει ἡ ΑΒ, καὶ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ Δ ἐπὶ τὰ ΑΒ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ ΔΒ, καὶ περὶ τὸν γεννηθέντα τομέα περιγεγράφθω πολυγων πολύγωνον καὶ περὶ αὐτὸ κύκλος· ἕξει δὴ τὸ αὐτὸ κέντρον το ΑΒΓ κύκλωι. ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΕΚ περιενεχθε περιενεχθὲν τὸ πολύγωνον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀ ποκατασταθῆ, ὁ περιγεγραμ μένος κύκλος κατὰ ἐπιφανείας οἰσθήσεται σφαίρα, καὶ αἱ γωνίαι το ῦ πολυγώνου κύκλου γράψουσιν, ὧν αἱ μετροι διάμετροι ἐπιζευγνύουσι τὰς γωνίας τοῦ πολυγώνου οὖσαι πα ράλληλοι τῆι ΑΒ, τὰ δὲ σημεῖα, κα θ’ ἃ απτοντ ἅπτονται τοῦ ἐλάσσονος κύκλου αἱ τοῦ πολυγώνου πλευραί, κύκλους γράφουσιν ἐν τῆι ἐλάσσονι σφαιρ σφαίραι , ὧν διάμετροι εσον ἔσονται αἱ ἐπιζευγνύ ουσαι τὰς ἁφὰς παράλληλοι ουσ οὖσαι τῆι ΑΒ, αἱ δὲ πλευραὶ κατὰ κωνικ κωνικῶν ἐπιφανειῶν οἰσθήσονται, καὶ ἔσται τὸ περιγραφὲν σχῆμα ὑπὸ κωνι κῶν ἐπιφανειῶν περιεχόμενον, βάσις ὁ περὶ τὴν ΖΗ κύκλος· ἡ δὲ τοῦ εἰρημένου σχήματος ἐπιφά νεια μείζων ἐστὶ τῆς τοῦ ἐλάσσονος τμήματος ἐπιφανείας, οὗ βάσις οἱ περὶ τὴν ΑΒ κύκλοι.

ἤχθωσαν γὰρ ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΜ ΒΝ· κατὰ κω νικῆς ἄρα ἐπιφανείας οἰσθήσονται, καὶ τὸ σχῆμα τὸ γενηθὲν ὑπὸ τ τοῦ πολυγώνου τοῦ ΑΜ ΘΕ ΝΒ μείζονα ἕξει τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ τμηματ τμήματος τῆς σφαίρας, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ κύκλος· πέρας γὰρ ἐν ἑνὶ ἐπιπέδωι τὸ αὐτὸ εχ ἔχουσι σι τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ κύ κλον, καὶ περιλαμβάνεται τὸ τμῆ μα ὑπὸ τοῦ σχήματος. ἀλλ’ ἡ γεγενη

ἡμισείας τῆς βάσεως τοῦ εἰρη μενου πολυγωνίου γεγραμμένον σχῆμα ἐγγεγραμμένον ἐστὶν εἰς τὸ τμῆ μα τῆς μείζονος σφαίρας, τοῦ το δὲ δῆλον διὰ τὸ προγεγραμμένον.

τοῦ περιγεγραμμένου σχήμα τος τῶι τομεῖ ἡ ἐπιφάνεια μεί ζων ἐστὶν κύκλου, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέν τρου ἴση ἐστὶ τῆι ἀπὸ τῆς κορυφ κορυφῆς

ΜΘ ΗΖ περιεχομένου αλλ’ ἡ μὲν ΗΖ μείζων ἐστὶ τῆς ΔΞ ὅ ἐστιν ὕψος τοῦ ἐλάσ σονος τμήματος· ἐὰν γὰρ ἐπι ζεύξωμεν τὴν ΚΖ, εστ ἔσται παράλλη λος τῆι ΔΑ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῆι ΚΛ πα ράλληλος, καὶ κοινὴ ἡ ΖΕ· ὅμοιον ἄρα τὸ ΖΚΗ τρίγωνον τῶι ΔΑΞ τριγώ νωι. καί ἐστιν μείζων ἡ ΖΚ τῆς ΑΔ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΖΗ τῆς ΔΞ, ἴση δὲ ἡ ΜΘ τῆι μετρωι διαμέτρωι τῆι ΓΔ· ἐὰν γὰρ ἐπιζευχθῆι ἡ ΕΟ, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΜΟ τῆι ΟΖ, ἡ δὲ ΘΕ τῆι ΕΖ, παράλλη λος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΟ τῆι ΜΘ· διπλασία ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΘ τῆι ΕΟ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΓΔ διπλα σία ἐστὶν τῆς ΕΟ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΘ τῆι ΓΜ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΔ ΔΞ ἴσον τῶι ἀπὸ τῆς ΑΔ· ἡ ἄρα τοῦ σχήματος

γίνεται δὴ καὶ τὸ περιγεγραμμεν περιγεγραμμένον σχῆμα περὶ τὸν τομέα σὺν τῶι κώνωι, οὗ βάσις ὁ περὶ μετρο διάμετρον τὴν ΚΛ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ κέν τρον, ἴσοσ κώνωι, οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶ τῆι ἐπιφανείαι τοῦ σχηματ σχήματος , ὕψος δὲ τῆι ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τ τὴν πλευρὰν καθέτωι ἠγμένη ἣ δὴ ἴση ἐστὶ τῆι ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαιρ σφαίρας · τὸ γὰρ περιγεγραμμένον σχῆμα τῶι τομεῖ ἐγγεγραμμένον ἐστὶν εἰς τὸ τμῆ μα τῆς μείζονος σφαίρας, ἧς κέντρον ἐστὶ τὸ αὐτό· δῆλον οὖν τὸ λε γόμενόν ἐστιν ἐκ τοῦ προγεγραμμεν προγεγραμμένου .

ἐκ τούτου δὲ φανερὸν ὅτι τὸ περι

γωνον , καὶ τούτου ὅμοιον περι γεγράφθω, καὶ παράλληλοι ἔστω σαν αἱ πλευραὶ τς ταῖς πλευραῖς, καὶ κύκλος περιγεγράφθω περὶ τὸ περιγεγραμμένον πολύγω νον, καὶ ὁμοίως τοῖς πρότερον μενούσης τῆς ΗΒ περιενε χθέντες οἱ κύκλοι ποιείτωσαν σχήματα ὑπὸ κωνικῶν ἐπιφα νειῶν περιεχόμενα· δεικτέον ὅτι ἡ τοῦ περιγεγραμμένου σχή ματος ἐπιφάνεια πρὸς τ τὴν τοῦ ἐγγεγραμ μένου σχήματος ἐπιφάνειαν διπλασίονα λόγον ἔχει ἡ πλευρὰ ἡ τοῦ περιγεγραμμένου πολυ γώνου πρὸς τ τὴν πλευρὰν τοῦ ἐγγεγραμ μένου πολυγώνου, τὸ δὲ σχῆμα σὺν τῶι κώνωι τριπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ αὐτοῦ.

ἔστω γὰρ ὁ Μ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ισ ἴσον δύναται τῶι ὑπό τε μιᾶς πλευ ρᾶς τοῦ περιγεγραμμένον πο λυγώνον καὶ πασῶν τῶν ἐπι ζευγνυουσῶν τὰς γωνίας καὶ ἔτι τῆς ἡμισείας τῆς ΕΖ· ἔσται δὴ ὁ Μ κύκλος ἴσος τῆι ἐπιφανείαι τοῦ περιγεγραμμένου σχηματ σχήματος . εἰλήφθω δ ὴ καὶ ὁ Ν κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσον δυνατ δύναται τῶι περιεχομένωι ὑπό τε μιᾶς πλευ ρᾶς τοῦ ἐγγεγραμμένου πολυγώ νου καὶ πασῶν τῶν ἐπιζευγνυ ουσῶν τὰς γωνίας σὺν τῆι ἡμι σείαι τῆς ΑΓ· εστ ἔσται δὴ καὶ οὗτος ισ ἴσος τῆι ἐπιφανείαι τοῦ ἐγγεγραμμέ νου σχήματος. ἀλλὰ τὰ εἰρημέ να χωρία ἐστὶ πρὸς ἄλληλα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πλευρᾶς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ πλευρᾶς καὶ ὡς π παρὰ τὸ πολυγων πολύγωνον πρὸς τὸ πολύγωνον, ὁ Μ κύκλος πρὸς τὸν Ν κύκλον· φανερὸν οὖν ὅτι καὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ περιγεγραμμένου σχημα σχήματος διπλασίονα λόγον ἔχει η ἤπερ ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ τὸν δὲ αὐτόν, ὃν καὶ τὸ πολύγωνον.

ἔστω πάλιν κῶνος ὁ Ξ βάσιν μὲν ἔχων τῶι Μ ἴσην, ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐ λάσσονος σφαίρας· ἴσος δὴ οὗ τός ἐστιν ὁ κῶνος τῶι περιγεγραμ μένωι σχήματι σὺν τῶι κώνωι, οὗ βάσις ὁ περὶ τὴν ΕΖ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Δ. καὶ ἔστω αλλ ἄλλος κῶνος ὁ Ο βάσιν μὲν ἴσην ἔχων