Planes in Equilibrium

τᾶς μεγίστας. ἔστωσαν τέσσαρες γραμμαὶ ἀνάλογον αἱ ΑΒ ΒΓ ΔΒ καὶ ὃν μὲν ἔχει λόγον ἁ ΒΕ ποτὶ ΕΑ, τοῦτον ἐχέτω ἁ ΖΑ ποτὶ τὰ τρί α Ε τᾶς ΑΔ, ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ἴ σα τᾶ Β τᾶς ΑΒ καὶ Δ τᾶς ΒΓ καὶ Ϛ τᾶς ΒΔ κ καὶ Γ τᾶς ΒΕ ποτὶ τὰν ἴσαν τᾶ Ε τᾶς ΑΒ καὶ Ι τᾶς ΓΒ καὶ Ι τᾶς ΒΔ καὶ Ε τᾶς ΒΕ, τοῦτον ἐχέτω τὸ τὸν λόγον ἁ ΗΕ ποτὶ τὰν ΑΔ. δεικτ δεικτέον , ὅτι τὰ ΑΖΕ δύο πεμπταμόριά ἐν τι τᾶς ΑΒ. ἐπεὶ γὰρ ἀνάλογόν ἐντι αἱ ΑΒ ΒΓ ΒΔ ΔΕ καὶ αἱ ΑΓ ΓΔ ΔΕ ἐν τῶι αὐτῶι λόγωι ἐντί, καὶ συναμ φότερος ἁ ΑΒ ΒΓ πρὸς τὰν Β τ τᾶς ΒΔ, ἔχει τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν ἁ ΑΔ ποτὶ τὰν ΔΕ, καὶ συναμφότερος ἁ ΔΒ ΒΓ ποτὶ τὰν Ε, καὶ πάντα πρὸς πάντα· τὸν αὐτὸν ἄρα λόγο λόγον ἔχει ἁ ΑΔ ποτὶ τὰν ΔΕ, ὃν ἁ ἴσα τᾶ τε Β τᾶς ΑΒ καὶ τᾶ Γ τᾶς ΓΒ καὶ ἁ ΔΒ καὶ ἁ ΔΒ ποτὶ τὰν ἴσαν τᾶ τε Β τᾶς ΒΔ καὶ τὰν ΒΕ, ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ἴσα τᾶ τε Β τᾶς Β καὶ τᾶ Δ καὶ τᾶ Δ τᾶς ΒΓ καὶ τᾶ Δ τᾶς ΒΔ καὶ τᾶ Β τᾶς ΒΕ πο τὶ τὰν ἴσαν τᾶ τε Β τᾶς ΔΒ καὶ τὰν ΕΒ, τοῦτον ἕξει ἁ ΔΑ πρὸς ἐλάσσονα τᾶς ΔΕ. ἐχέτω οὖν πρὸς ΔΘ. καὶ ἀμφότεραι ποτὶ τὰς πρώ τας τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον· ἕξει οὖν ἁ ΕΑ ποτὶ ΑΔ τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν ἁ ἴσα τᾶ τε Β τᾶς ΑΒ καὶ Ϛ τᾶς ΒΔ καὶ Γ τᾶς ΒΕ πρὸς τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς Β συναμ φοτέρας τᾶς ΑΒ ΕΒ καὶ Δ συναμ φοτέρου τᾶς ΓΒ ΒΔ. ἔχει δὲ καὶ ἁ ΑΔ πρ πρὸς ΗΘ τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν Α Ε συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ ΒΕ μετὰ τ τᾶς Ι συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ ΒΔ πρὸς τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς Β τὰς ΑΒ καὶ τᾶς Δ τᾶς ΓΒ καὶ τᾶς Γ τᾶς ΕΒ καὶ Ϛ τᾶς ΒΔ· ἀνομοίως δὲ τῶν λόγ λόγων τεταγμένων, τουτέστιν ἐν τεταραγμέ να ἀναλογία, δι’ ἴσου τὸν αὐτὸν ἔ χει λόγον ὁ Α πρὸς ΗΘ, ὃν ΑΕ σιναμ φοτέρου τᾶς ΑΒ ΒΕ μετὰ τᾶς Ι τᾶς ΓΒ ΒΔ πρὸς τὰν κειμέναν ἔκ τε τᾶς Β συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ ΒΕ καὶ τᾶς Δ συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ ΒΔ. ἀλλὰ ἁ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς Ε συναμφο τέρου τᾶς ΑΒ ΒΕ μετὰ τᾶς Ι συναμφο τέρου τᾶς ΓΒ ΒΔ πρ πρὸς τὰν συγκειμένα συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς Β συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ ΒΕ καὶ Δ συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ ΒΔ λόγον ἔχει, ὃν πέντε πρὸς δύο· καὶ ἁ ΑΟ ἄρα πρὸς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν πέν τε πρὸς δύο. πάλιν, ἐπεὶ ἁ ΟΔ πρὸς ΔΑ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἁ ΕΒ με τὰ τᾶς Β τᾶς ΒΔ πρὸς τὰν ἴσαν τὰ τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς Β συναμφο τέρου τᾶς ΑΒ ΒΕ μετὰ τᾶς Δ συναμ φοτέρου τᾶς ΓΒ ΒΔ, ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἁ ΔΒ πρὸς ΔΕ, οὕτως ἁ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς Β τᾶς ΑΒ καὶ Γ τᾶς ΓΒ καὶ τᾶς ΒΔ ποτὶ τὰν ἴσαν τᾶ τε ΕΒ καὶ τᾶ Β τᾶς ΗΒΔ, ἀνομοίως οὖν τῶν λόγων τετμημένων, τουτέστιν τεταραγμένας οὔσας τᾶς ἀνα λογίας, δι’ ἴσου ὡς ἁ ΟΔ πρὸς ΔΕ, οὕτως ἁ ΑΒ τᾶς ΑΒ μετὰ τᾶς Γ τ τᾶς ΒΓ καὶ ἁ ΒΔ πρὸς τὰν συγκειμέναν ἐκ τᾶς Β συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ ΒΕ καὶ τᾶς Δ τᾶς ΓΒ ΒΔ· ὥστε καὶ ὡς ἁ ΟΕ πρὸς ΕΔ ἐστίν, ὡς ἁ ΓΒ με τὰ τᾶς Γ τᾶς ΒΔ καὶ Β τᾶς ΕΒ πρὸς τὰν Β συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ ΒΕ καὶ Δ συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ ΒΔ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἁ ΔΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἅ τε ΑΓ πρὸς ΓΒ, ἐπεὶ καὶ κατὰ σύν θεσιν, καὶ ἁ Γ τᾶς ΓΔ πρὸς τὰν Γ τᾶς ΔΒ καὶ ἁ Β τᾶς ΔΕ πρὸς τὰν Β τᾶς ΕΒ· ὥστε καὶ ἁ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς ΑΓ καὶ Γ τᾶς ΓΔ καὶ Β τᾶς ΔΕ πρὸς τὰν συγκειμέναν εἴς τε τᾶς ΓΒ καὶ Γ τᾶς ΒΔ καὶ Β τᾶς ΕΒ. ἀ νομοίως οὖν πάλιν τῶν λόγων τε ταγμένων, τουτέστιν ἐν τεταραγ μέναι ἀναλογίαι, δι’ ἴσου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ἁ ΕΟ πρ πρὸς ΕΒ, ὃν ἁ ΑΓ μετὰ τᾶς Γ τᾶς ΓΔ καὶ Β τᾶς δὲ πρὸς διπλασίαν συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ ΒΕ μετὰ τᾶς Δ συναμφο τέρου τᾶς ΓΒ ΒΔ· ὅλα οὖν ἁ ΟΒ πρὸς ΒΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἁ ἴσα τᾶ τε Γ τᾶς ΑΒ μετὰ τᾶς Ϛ τᾶς ΓΒ καὶ τᾶ Γ τᾶς ΒΔ πρὸς τὰν Β συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ ΒΕ μετὰ τᾶς Δ συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ ΒΔ. καὶ ἐπεὶ αἵ τε ΕΔ ΔΓ ΓΑ ἐν τῶι αὐτῶι λόγωι ἐντὶ καὶ συναμφό τερος ἑκάστα τῶν ΕΒ ΒΔ ΔΒ ΒΓ ΓΒ ΒΑ ἔστ ἔσται καὶ ὡς ἁ ΕΔ πρὸς ΔΑ, οὕ τως συναμφότερος ἁ ΕΒ ΒΔ πρ πρὸς συναμφότερον τὰν ΔΒ ΒΓ με τὰ τᾶς συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ ΒΑ. καὶ συνθέντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἁ Ε πρὸς ΑΔ, οὕτως συναμφότε ρος ἁ ΕΒ ΒΔ μετὰ συναμφοτέ ρου τᾶς ΔΒ ΒΓ καὶ συναμφοτέρου τᾶς ΓΒΔ, ὅ ἐστι συναμφότερος ἁ ΕΒΑ μετὰ τᾶς Β συναμφοτέ ρου τᾶς ΑΒΓ πρὸς συναμφότερο συναμφότερον τὰν ΒΔ ΒΑ μετὰ τᾶς Β τᾶς ΒΓ· ὥστε καὶ ἁ Β πρὸς τὰν Β τὸν αὐ τὸν ἕξει λόγον, τουτέστιν ὡς ἁ ΕΑ πρὸς ΑΔ, οὕτως ἁ Β συναμφοτέ ρου τᾶς ΕΒΑ μετὰ τᾶς Δ συναμ φοτέρου τᾶς ΓΒΔ πρὸς τὰν Β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΔ μετὰ τᾶς Δ τᾶς ΓΒ· ὥστε καὶ ὡς ἁ ΕΑ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τᾶς ΑΔ, οὕτως ἁ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς Β συναμφοτέρου τᾶς ΑΒΕ καὶ Δ συναμφοτέρου τᾶς ΓΒΔ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τᾶς συγ κειμένας ἔκ τε τᾶς Β συναμφο τέρου τᾶς ΑΒΔ καὶ Δ τᾶς ΓΒ. ἀλλ’ ὡς ἁ ΕΑ πρὸς τὰ τρία πέμ πτα τᾶς ΑΔ, οὕτως ἐστὶν ἁ ΕΒ πρὸς ΖΗ· καὶ ὡς ἄρα ἁ ΕΒ πρὸς ΖΗ, καὶ ὡς ἄρα ἁ ΕΒ συναμ φοτέρου τᾶς ΔΒΓ πρὸς τὰ τρί α πέμπτα τᾶς συγκειμένας ἔκ τε τᾶς Β συναμφοτέρου τᾶς ΑΒΔ μετὰ τᾶς Δ τᾶς ΓΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ ΑΒ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἁ Γ συναμφοτέρου τᾶς ΑΒΔ με τὰ τᾶς Ϛ τᾶς ΓΒ πρὸς τὰν Β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ καὶ Δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒΔ. καὶ δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΣ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἁ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς Γ συναμφοτέρου τᾶς Α ΒΔ καὶ Ϛ τᾶς ΓΒ πρὸς τὰ Γ πέμ πτα τᾶς συγκειμένας ἔκ τε τᾶς Β συναμφοτέρου τᾶς ΑΒΔ καὶ Δ τᾶς ΓΒ. ἀλλ’ ἁ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς Γ συναμφοτέρου τᾶς ΑΒΔ καὶ Ϛ τᾶς ΓΒ πρὸς μὲν τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς Β συναμ φοτέρου τᾶς ΑΒΔ καὶ Δ τᾶς ΓΒ λόγον ἔχει, ὃν τρία πρὸς δύο, πρ πρὸς δὲ τὰ τρία πέμπτα τᾶς αὐτᾶς λόγον ἔχει, ὃν πέντε πρὸς δύο· ἐ δείχθη δὲ καὶ ὁ Α πρὸς ΗΘ λόγον ἔχοντα, ὃν πέντε πρὸς δύο· καὶ ὅλα ἄρα ἁ ΒΘ πρὸς ὅλαν τὰν ΖΘ λόγον ἔχει, ὃν πέντε πρὸς τὰ δύο. εἰ δὲ τοῦτο, πεμπταμόρια ἐ ναντία ΖΘ τᾶς ΔΒ· ΟΙ.

Figure 1 ΙΑ Παντὸς τόμου ἀπὸ ὀρθογωνί ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς ἀφαιρουμέν ἀφαιρουμένου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς εὐθείας ἐστίν, διάμετρός ἐστιν τοῦ τόμου, τὸν δὲ τρόπον κείμεν κείμενον · διαιρεθείσας τᾶς εὐθείας εἰς ἴσα πέντε ἐπὶ μέσου πεμπτα μορίου, ὥστε τὸ τμᾶμα αὐτοῦ τὸ ἐγγύτερον τᾶς ἐλάσσονος βάσι βάσιος τοῦ τόμου ποτὶ τὸ λοιπὸν τμᾶ μα τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἔ χει τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχ ἔχον τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μεί ζονος τᾶν βάσεων τοῦ τόμ τόμου , ὕψος δὲ τὰν ἴσαν συναμφοτέρα τᾶ τε διπλασία τᾶς ἐλάσσον ἐλάσσονος τῶν βασίων καὶ τᾶ μείζονι, πο τὶ τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχο ἔχον τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ἐλάσ σονος τᾶν βάσεων τοῦ τόμ τόμου , ὕψος δὲ τὰν ἴσαν ἀμφοτέρας τᾶ τε διπλασία τᾶς μείζονος καὶ τᾶ ἐλάσσονι αὐτᾶν. ἔστωσα ἔστωσαν ὀρθογωνίου τομᾶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ ΔΕ διάμετρος δὲ ἔστω τοῦ Α ΒΓ τμάματος ἁ ΒΖ· φανερὸν δὲ ὅτι καὶ τοῦ ΑΓΔΕ παράλληλοί ἐντι τᾶ κατὰ τὸ Β ἐφαπτομένα τᾶς τομᾶς· καὶ τᾶς ΗΖ εὐθείας διαιρεθείσας εἰς πέντε ἴσα μέσο μέσον ἔστω πεμπταμόριον ἁ ΘΚ, ἁ δὲ ΘΙ πρὸς τὰν ΙΚ τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον, ὃν ἔχει τὸ στερεὸν τὸ βάσι βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ τῆς ΛΖ τετρά γωνον, ὕψος δὲ τὰν ἴσαν ἀμφο τέραις τᾶ τε Β τᾶς ΖΗ καὶ τᾶ ΑΖ, ποτὶ τὸ στερεὸν τὸ βάσιν ἔχο ἔχον τὸ ἀπὸ τᾶς ΔΗ τετράγωνον, ὕ ψος δὲ τὰ ἴσαν ἀμφοτέραις τε Β τᾶς ΑΖ καὶ τᾶ ΔΗ. δεικτέον ὅτι τοῦ ΑΔΕΓ τόμου κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τὸ Ι σαμεῖον. ἔστω δὴ τᾶ μὲν ΖΒ ἴσα ἁ ΜΝ, τᾶ δὲ ΗΒ ἴσα ἁ ΝΘ, καὶ εἰλήφθω τᾶν μὲν ΜΝΘ μέσα ἀνάλογον ἁ ΝΞ, τετάρτη δὲ ἀνάλογον ἁ ΤΝ, καὶ ὡς ἡ ΤΜ πρὸς ΤΝ, οὕτως ἁ ΖΘ πρός τινα ἀπὸ τοῦ Ι, ὅπου ἐὰν ἔρχηται τὸ ἕτερον σαμεῖον· οὐ δὲν γὰρ φέρει διαφέρει εἴτε καὶ μεταξὺ τῶν ΗΒ τὴν ΙΡ. καὶ ἐπεὶ ἐν ὀρθογωνί ου κωνίου τομᾶ διάμετρός ἐστι τοῦ τμάματος ΑΖ ΒΗ ΒΖ ἤτοι ἀρχική ἐστιν τῆς τομῆς ἢ παρὰ τὴν διάμετρον ἦκται, αἱ δὲ ΑΖ ΔΗ εἰς αὐτὴν τεταγμένως εἰσὶν κα τηγμένη, ἐπειδὴ παράλληλοί εἰ σι τῆι ἀπὸ τοῦ Β τῆς τομῆς ἐφα πτομένη. εἰ δὲ τοῦτο, ἔστιν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΔΗ δυνάμει, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς ΒΗ μήκει, τουτέστιν ἡ ΜΝ πρὸς ΝΘ. ὡς δὲ ἡ ΜΝ πρὸς ΝΘ μήκει, οὕτως ἡ ΜΝ πρὸς ΝΞ δυνάμει· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΖ πρὸς ΔΗ δυνάμει, οὕτως ἡ ΜΝ πρὸς ΝΞ δυνάμει· ὥστε καὶ μήκει ἐν τῶι αὐτῶ λόγωι. καὶ ὡς ἄρα ὁ ἀπὸ ΑΖ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ ΔΗ κύβον, οὕ τως ἀπὸ ΜΝ κύβος πρὸς τὸν ἀ πὸ ΝΞ κύβον. ἀλλ’ ὡς μὲν ὁ ἀπὸ ΝΞ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ ΔΗ, οὕτως ΑΒΓ τμᾶμα πρὸς τὸ ΔΒΕ τμᾶμα, ὡς δὲ ἀπὸ ΜΝ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ ΝΞ κύβον. ἀλλ’ ὡς μὲν ὁ ἀπὸ ΑΖ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ ΔΗ κύβον, οὕ τως ΑΒ ΓΑ τμᾶμα πρὸς τὸ ΔΒΕ τμᾶμα, ὡς δὲ ὁ ἀπὸ ΜΝ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ ΝΗΞ κύβον, οὕτως ἡ ΜΝ πρὸς ΝΤ· ὥστε καὶ διελόν τι ἐστὶν ὡς ὁ ΑΔ ΕΓ τόμος πρὸς τὸ ΔΒ τμᾶμα, οὕτως ἡ ΜΤ πρὸς ΝΤ, τουτέστι τὰ ΓΕ τῆς ΗΖ πρὸς ΤΝ. καὶ ἐπὶ τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΑΖ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς Β τ τᾶς ΔΗ καὶ τῆς ΑΖ, πρὸς τὸν ἀπὸ ΑΖ κύβον λόγον ἔχει, ὃν ἡ Β τῆς ΔΗ μετὰ τᾶς ΑΖ πρὸς ΖΑ, ὥστε καὶ ἡ Σ τῆς ΝΞ μετὰ τῆς ΝΜ πρὸς ΝΜ, ἔστι δὲ καὶ ὡς ὁ ἀπὸ ΑΖ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ ΔΗ κύβον, οὕτως ἡ ΜΝ πρὸς ΝΤ, ὥστε ἀπὸ ΔΗ κύβος πρὸς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔ χον τὸ ἀπὸ ΔΗ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς Β τῆς ΑΖ μετὰ τῆς ΔΗ, οὕ τως ἡ ΔΗ πρὸς τὴν συγκειμένη συγκειμένην ἔκ τε τῆς Β τῆς ΑΖ καὶ τῆς ΔΗ, ὥστε καὶ ἡ ΤΝ πρὸς τὴν συγκειμένη συγκειμένην ἔκ τε τῆς Β τῆς ΟΝ καὶ τῆς ΤΝ, γέγονεν οὖν τάσσαρα μεγέθεα, τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΑΖ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς Β τῆς ΔΗ καὶ τῆς ΑΖ, κύβος καὶ ὁ ἀπὸ ΔΗ κύβος καὶ τὸ στερεὸν τὸ βά σιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΔΗ τετράγω νον, ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς Β τῆς ΑΖ καὶ τῆς ΔΗ, τέταρσι μεγέθεσιν ἀνάλογον σύν δυο λαμβανομένοις, τῆι τε συγ κειμένηι ἔκ τε τῆς Β τῆς ΝΞ καὶ τῆς ΝΜ καὶ ἑτέρου μεγέθεος τ τῆς ΜΝ καὶ ἄλλο ἑξῆς ἡ ΝΓ καὶ τελευ ταῖον ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς ΒΗ τῆς ΝΟ καὶ τῆς ΝΤ· δι’ ἴσου ἄρα γενήσεται ὡς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΑΖ τετράγωνος, ὕψος δὲ τὴν συγκειμένη συγκειμένην ἔκ τε τῆς Β τῆς ΔΗ καὶ τῆς ΑΖ, πρὸς τὸ στε ρεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΔΗ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν συγκειμέ νην ἔκ τε τῆς Β τῆς ΑΖ καὶ τῆς ΔΗ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς Β τῆς ΝΞ καὶ τῆς ΜΝ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς Β τῆς ΝΟ καὶ τῆς ΝΤ. ἀλλ’ ὡς τὸ εἰρημένον στερεὸν πρὸς τὸ εἰρημένον στερε όν, οὕτως ἡ ΘΙ πρὸς ΙΚ· οὕτως ἡ συγκειμένη πρὸς τὴν συγκειμέν συγκειμένην · ὥστε καὶ συνθέντι καὶ τῶν ἡγου μένων τὰ Ε· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΙΚ, οὕτως ἡ Ε συναμφοτέ ρου τῆς ΜΝΤ καὶ Ι συναμφοτέρ συναμφοτέρου τῆς ΝΞ ΝΟ πρὸς τὴν Β τῆς ΟΝ καὶ ΝΤ. καὶ ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΖΚ οὖσα οὖσαν αὐτᾶς δύο πέμπτα, οὕτως ἡ Ε συναμφοτέρου τῆς ΜΝΤ καὶ Ι συναμφοτέρου τῆς ΝΞΟ πρὸς τὴν Β συναμφοτέρου τῆς ΜΝΤ καὶ Δ συναμφοτέρου τῆς ΞΝΟ· ἔσται οὖν ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΖΙ, οὕτως ἡ Ε συναμ φοτέρου τῆς ΜΝΤ καὶ Ι συναμ φοτέρου τῆς ΞΝΟ πρὸς τὴν συγ κειμένην ἔκ τε τῆς Β καὶ Δ τῆς ΝΞ καὶ Ϛ τῆς ΟΝ καὶ Γ τῆς ΝΤ. ἐπεὶ οὖν τέσσαρες εὐθεῖαι ἑξῆς ἀνάλογον αἱ ΜΝΞ ΟΝΤ καί ἐστιν , ὡς μὲν ἡ ΝΤ πρὸς ΤΜ, οὕ τως εἰλημμένη τις ἡ ΡΙ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς ΖΗ, τουτέσ τι τῆς ΜΟ, ὡς δὲ ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς Β τῆς ΝΜ καὶ Δ τῆς ΝΞ καὶ Ϛ τῆς ΝΟ καὶ Γ τῆς ΝΤ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς Ε συναμ φοτέρου τῆς ΜΝΤ καὶ Ι συναμ φοτέρου τῆς ΞΝΟ, οὕτως ἑτέρα τις εἰλημμένη ἡ ΙΖ πρὸς τὴν ΖΗ, του τέστι πρὸς τὴν ΜΟ, ἔσται διὰ τὰ πρότερον ἡ ΡΖ δύο πέμπτα τ τῆς ΜΝ, τουτέστι τῆς ΖΒ· ὥστε κέν τρον βάρους ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ τμά ματος τὸ Ρ σαμεῖον. ἔστω δὴ καὶ τοῦ ΔΒΕ τμάματος κέντρον βά ρους τὸ Χ σαμεῖον. τοῦ ΑΔΕΓ τό μου ἔσται τὸ κέντρον τοῦ βάρε ος ἐπὶ τῆς ἐπ’ εὐθείας τῆς ΧΡ τὸ τὸν αὐτὸν πρὸς αὐτὴν λόγον ἐχού σης, ὃν ἔχει ὁ τομεὺς πρὸς τὸ λοι πὸν τμᾶμα. ἔστι δὲ τὸ Ι σημεῖο σημεῖον . ἐπεὶ γὰρ τῆς μὲν ΖΒ τρία πέμ πτα ἐστὶν ἡ ΒΡ, τῆς δὲ ΗΒ τρία πέμπτα ἐστὶν ἡ ΒΧ, καὶ λοιπῆς ἄρα τῆς ΗΖ τρία πέμπτα ἐστὶν ἡ ΧΡ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς μὲν ὁ ΑΔΕΓ τομεὺς πρὸς τὸ ΔΒΕ τμᾶμα, οὕτως ἡ ΜΤ πρὸς ΤΝ, ὡς δὲ ἡ ΜΤ πρὸς τὴν ΤΝ, οὕτως τὰ τρία πέμπτα τῆς ΗΖ, ἥτις ἐστὶν ἡ ΧΡ, πρὸς ΡΙ, ἔσται ἄρα καὶ ὡς ὁ ΑΔΕΓ τομεὺς πρὸς τὸ ΔΒΕ τμᾶμα, οὕτως ἡ ΧΡ πρὸς τοῦ βάρους τὸ Ρ σημεῖον, τοῦ δὲ ΔΒΕ κέντρον βάρους τὸ Χ· φανερὸν οὖν ὅτι καὶ τοῦ ΑΒΕΓ τομέως τὸ κέντρο κέντρον τοῦ βάρους τὸ Ι σημεῖον.

Figure 2