ἐὰν ἀπὸ μεγέθους μέγεθος ἀ φαιρεθῆι, τὸ δὲ αὐτὸ σημεῖον κέν τρον τοῦ βάρους ἦ τοῦ τε ὅλου καὶ τοῦ ἀφαιρουμένου, τοῦ λοιποῦ τὸ αὐτὸ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρους.

ἐὰν ἀπὸ μεγέ θους μέγεθος ἀφαιρεθῆι, ἦι δὲ μὴ τὸ αὐτὸ σημεῖον κέντρον τοῦ βάρους τοῦ τε ὅλου μεγέθους καὶ τοῦ ἀφαιρουμένου μεγέθους, τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρους τοῦ λοιποῦ μεγέθους ἐπὶ τῆς εὐθείας τῆς ἐπιζευγνούσης τὰ κέντρα τοῦ βάρους τοῦ τε ὅλου μεγέθους καὶ τοῦ ἀφαιρουμένου ἐκβεβλη μένης καὶ ἀφαιρεθείσης ἀπ᾽ αὐ τῆς πρὸς τὴν μεταξὺ τῶν εἰρημέ νων κέντρων τοῦ βάρους τοῦτον ἔχσα ἔχουσα τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὸ βάρος τοῦ ἀφηρημένου μεγέθους πρὸς τὸ λοιπὸν βάρος τοῦ λοιποῦ μεγέ μεγέθους .

ἐὰν ὁπωσωνοῦν μεγεθέων τὸ κέ κέν τρον τοῦ βάρους ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ἦ, καὶ τοῦ ἐκ πάντων συγ κειμένου μεγέθους τὸ κέντρον ἔστ ἔσται ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας.

πάσης εὐθείας τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρους ἡ διχοτομία τῆς εὐθείας.

παντὸς τριγώνου τὸ κέντρον ἐστὶν τοῦ βά ρους τὸ σημεῖον, καθ᾽ ὃ αἱ ἐκ τῶν γωνιῶν τοῦ τριγώνου ἐπὶ μέσ μέσας τὴς πλευρὰς ἀγόμεναι εὐθεῖαι τέμνουσιν ἀλλήλας.

παντὸς πα ραλληλογράμμου τὸ κέντρον ἐστὶν τοῦ βάρους τὸ σημεῖον, καθ᾽ ὃ αἱ διάμετροι συμπίπτουσιν.

κύκλου τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐστὶν ὃ καὶ τοῦ κύκλου ἐστὶ κέντρον.

παντὸς

μεγέθη ἐν τόποις ὁποιοισοῦν, ἢ τὰ πάντα ἤ τινα αὐτῶν, καὶ τὰ ὕστε ρα μεγέθη πρὸς τὰ ὁμόλογα ἐν τοῖς αὐτοῖς λόγοις ἦ, πάντα τὰ πρῶτα μεγέθη πρὸς πάντα τὰ λεγόμενα τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, ὃν ἔχει πάντα τὰ ὕστερον πρὸς πάντα τὰ λεγόμενα.

ἔστω τμῆμα τὸ ΑΒΓ περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας τῆς ΑΓ καὶ ὀρθο γωνίου κώνου τομῆς τῆς ΑΒΓ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΑΓ κατὰ τὸ Δ, καὶ παρὰ τὴν διάμετρον ἤχθω ἡ ΔΒΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ.

λέγω ὅτι ἐπίτριτόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ τμῆμα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου.

ἤχθω σαν ἀπὸ τῶν ΑΓ σημείων ἡ μὲν ΑΖ παρὰ τὴν ΔΒΕ, ἡ δὲ ΓΖ ἐπιψαύ ουσα τῆς τομῆς, καὶ ἐκβεβλήσ θω ἡ ΓΒ καί τετμήσθω τὴν ΑΖ κατὰ τὸ Κ, καὶ κ εί σθω τῆι ΓΚ ἴση ἡ ΚΘ, καὶ νοείσθω ζυγὸς ὁ ΓΘ καὶ κ μέσον αὐτοῦ τὸ Κ καὶ τὸ ΕΔ πα ράλληλος τυχοῦσα ἡ ΜΞ.

ἐπεὶ οὖν παραβολή ἐστιν ἡ ΓΒΑ, καὶ ἐφά πτεσθαι ἡ ΓΕ, καὶ τεταγμένως ἡ ΓΔ, ἴση ἐστὶν ἡ ΕΒ τῆι ΒΔ· τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς στοιχείοις δείκνυται· διὰ δὴ τοῦτο, καὶ δι διότι παράλληλοί εἰσι εἰσιν αἱ ΖΑ ΜΞ τῆι ΕΔ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ μὲν ΜΝ τῆι ΝΞ, ἡ δὲ ΖΚ τῆι ΚΑ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΔ πρ πρὸς ΑΞ, οὕ τως ἡ ΜΞ πρὸς ΞΘ, τοῦτο γὰρ τὸ λῆμμα δείκνυται, ὡς δὲ ἡ ΓΑ πρ πρὸς ΑΞ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς ΚΝ, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΚ τῆι ΚΘ, ὡς ἄρα ἡ ΘΚ πρὸς ΚΝ, οὕτως ἡ ΜΞ πρὸς ΞΟ. καὶ ἔστι τὸ Ν σημεῖον κέντρον τοῦ βάρους τῆς ΜΞ εὐθείας, ἐ πείπερ ἴση ἐστὶν ἡ ΜΝ τῆι ΝΞ, ἐὰν ἄρα τῆι ΞΟ ἴσην θῶμεν τὸ ΝΤ κέντρον τοῦ βάρους αὐτῆς τὸ Θ, ὅπως ἴση ἡ ΤΘ τῆι ΘΗ, ἰσορ ροπήσει ἡ ΤΗ τῆι ΜΞ αὐτοῦ με νούσηι διὰ τὸ ἀντιπεπονθότως τετμῆσθαι τὴν ΘΝ τοῖς ΤΗ ΜΞ βάρεσιν, καὶ ὡς τὴν ΘΚ πρὸς ΚΝ, οὕτως τὴν ΜΞ πρὸς τὴν ΗΤ· ὥσ τε τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων βάρους κέ κέν τρον ἐστὶν τοῦ βάρους τὸ Κ. ὁμοί ως δὲ καὶ ὅσαι ἐὰν ἀχθῶσιν ἐν τῶι ΖΑΓ τριγώνωι παράλλη λοι τῆι ΗΔ, ἰσορροπήσουσιν αὐ τοῦ μενούσαις ταῖς ἀπολαμβα νομέναις ἀπ᾽ αὐτῶν ὑπὸ τῆς τομῆς μετενεχθείσαις περὶ κ έ ν τρον τοῦ βάρους τὸ Θ . καὶ ἔσται τοῦ ἐκ πάντων τῶ ν β α ρῶν κέντρων τοῦ βάρους τὸ Κ. καὶ ἐπεὶ ἐκ μὲν τῶν ἐν τῶι ΖΑΓ τριγώνωι συνέστηκεν, ἐκ δὲ τῶν ἐν τῆι τομῆι ὁμοίως τῆι ΟΞ λαμ βανομένων συνέστηκε τὸ ΑΒΓ τμῆμα, ἰσορροπήσει ἄρα τὸ ΖΑΓ τρίγωνον αὐτοῦ μενόντω μενόντων τμήματι τῆς τομῆς τεθέν τι περὶ κέντρον τοῦ βάρους τὸ Θ κατὰ τὸ Κ σημεῖον, ὥστε τοὺς ἐ ξ ἀμφοτέρων κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Κ. τετμήσθω δὲ ἡ ΓΚ τῶι Χ, ὡς τετραπλασίαν εἶναι τὴν ΓΚ τῆς ΚΧ· ἔσται ἄρα τὸ Χ σημεῖον κέντρον τοῦ βάρς βάρους τὸ ΑΖΓ τρίγωνον· τοῦτο γὰρ δείκνυτ δείκνυται ἐν τοῖς ἰσορροπικοῖς. ἔσται οὖν ἰ σόρροπον τὸ ΖΑΓ τρίγωνον αὐ τοῦ μένον τῶι ΒΑΓ τμήματι κατὰ τὸ Κ τεθέντι περὶ τὸ Θ κέντρον τοῦ βάρους, καί ἐστιν τοῦ ΖΑΓ τρι γώνου κέντρον βάρους τὸ Χ, ἔστι ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΖΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΓ τμῆμα κείμενον περὶ τὸ Θ κέντρον, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς ΧΚ. τριπλασία δέ ἐστιν ἡ ΘΚ τῆς ΚΧ· τρι πλάσιον ἄρα καὶ τὸ ΑΖΓ τρίγων τρίγωνον τοῦ ΑΒΓ τμήματος· ἔστι δὲ καὶ τὸ ΖΑΓ τρίγωνον τετραπλάσιο τετραπλάσιον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου διὰ τὸ ἴσην εἶν εἶναι τὴν μὲν ΖΚ τῆι ΚΑ, τὴν δὲ ΑΔ τῆι ΔΓ· ἐπίτριτον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τμῆ μα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. τοῦτο γοῦν φανερόν.

Figure 1.1

Τ

τοῦτο δὴ δ διὰ μὲν τῶν νῦν εἰρημένω εἰρημένων οὐκ ἀποδέδεικται, ἔμφασιν δέ τινα πεποίηκε τὸ συμπέρασμα ἀληθὲς εἶναι· διόπερ ἡμεῖς ὁ ρῶντες μὲν οὐκ ἀποδεδειγμέ νον, ὑπονοοῦντες δὲ τὸ συμπέ ρασμα ἀληθὲς εἶναι, τάξο μεν τὴν γεωμετρουμένην ἀ πόδειξιν ἐξευρόντες αὐτοὶ τὴ τὴν ἐδοθεῖσαν πρότερον.

ὅτι δὲ πᾶ σα σφαῖρα διπλασία ἐστὶν τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος ἴσην τῶι μεγίστωι κύκλωι τῶν ἐν τῆι σφαίραι, ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἐκ τ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, καὶ ὁ κύλιν δρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῶι μεγίστωι κύκλωι τῶν ἐν τῆι σφαίραι, ὕψος δὲ ἴσον τῶι δμέτρωι διαμέτρωι τῆς σφ σφαί ρας, ἡμιόλιος τῆς σφαίρας ἐστίν, ὧδε θεωρεῖται διὰ τοῦ τρόπου τούτ τούτου .

ἔστω γάρ τις σφαῖρα, ἐν ἧι μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, διάμετροι δὲ αἱ ΑΓ ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις οὖ σαις, ἔστω δὲ κύκλος ἐν τῆι σφαί ραι περὶ διάμετρον τὴν ΒΔ ὀρθ ὀρθὸς πρὸς τὸν ΑΒ ΓΔ κύκλον, καὶ ἀπὸ τοῦ ὀρθοῦ τούτου κῶνος ἀναγε γράφθω κορυφὴν ἔχων τὸ Α ση μεῖον, καὶ ἐκβληθείσης τῆς ἐπιφα νείας αὐτοῦ τετμήσθω ὁ κῶνος ἐπι πέδωι δ διὰ τοῦ Γ παρὰ τὴν βάσιν· ἔστιν δὴ ἡ τομὴ κύκλ κύκλος ὀρθὸς πρ πρὸς τὴν ΑΓ, καὶ διάμετρος αὐτοῦ ἡ ΕΖ. ἀπὸ δὲ τοῦ κύκλου τούτου κύλινδρος ἀναγεγράφθω ἄξονα ἔχων τὴ τὴν ΑΓ, πλευραὶ δὲ ἔστωσαν τοῦ κυλίν δρου αἱ ΕΛ ΖΥ· καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΑ, καὶ κείσθω αὐτῆ ἴση ἡ ΑΘ, καὶ νοείσθω ὁ ζυγὸς ὁ ΓΘ, μέσον δὲ αὐ τοῦ τὸ Α, καὶ ἤχθω τις παράλληλ παράλληλος τυχσα τυχοῦσα τῆι ΒΔ ἡ ΜΝ, τεμνέτω δὴ αὕτη τὸν μὲν ΑΒΓΔ κύκλον κατὰ τὰ ΞΟ, τὴν δὲ ΑΓ δμετρο διάμετρον κ κατὰ τὸ Σ, τὴν δὲ ΑΕ εὐθεῖαν κατὰ τὸ Τ, τὴ τὴν δὲ ΑΖ κα κατὰ τὸ Ρ, καὶ ἀπὸ τῆς ΜΝ εὐθείας ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΓ· ποιήσει δὴ τοῦ το ἐν μὲν τῶι κυλίνδρωι τομὴν κύκλον, οὗ ἔσται διάμετρος ἡ ΞΟ, ἐν δὲ τὸ ΑΕΖ κώνωι κύκλον, οὗ ἔσται ἡ δι μετρος ἡ ΠΡ,

καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΑΣ, τὸ ὑπὸ ΜΣ ΣΠ, ἴση γὰρ γὰρ ἡ μὲν ΑΓ τῆι ΣΜ, ἡ δὲ ΑΣ τῆι ΠΣ, τὸ δὲ ὑπὸ ΓΑ ΑΣ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΑΞ, του τέστιν τὰ ἀπὸ ΞΣ ΣΠ, ἴσον ἄρα τὸ ἀ πὸ τῶν ΜΣ ΣΠ τοῖς ἀπὸ τῶν ΞΣ ΣΠ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως ἡ ΜΣ πρὸς ΣΠ, ἴση δὲ ἡ ΓΑ τῆι ΑΘ, ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, ἡ ΜΣ πρὸς ΣΠ, τ του τ τέστι τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΣ ΣΠ. τὸ δὲ ὑπὸ ΜΣ ΣΠ ἴσα ἐδείχθη τὰ ἀπὸ ΞΣ ΟΠ· ὡς ἄρα ἡ ΑΘ πρὸς ΑΣ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΣ ΣΠ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὰ ἀπὸ ΞΣ ΣΠ, οὕτως τὰ ἀπὸ ΜΝ πρὸς τὰ ἀπὸ ΞΟ ΠΡ, ὡς δὲ τὰ ἀπὸ ΜΝ πρὸς τὰ ἀπὸ ΞΟ ΠΡ, οὕτως ὁ κύκλος ὁ ἐν τῶι κυλίνδρωι, οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ, πρὸς ἀμφοτέρους τοὺς κύκλους τῶν τε ἐν τῶι κώνωι, οὗ ἐστὶ διάμετρος ἡ ΠΡ, καὶ τὸν ἐν τῆι σφαίραι, οὗ ἐστιν ἡ διά μετρος ἡ ΞΟ· ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως ὁ κύκλος ὁ ἐν τῶι κυλίνδρωι πρὸς τ τοὺς κύκλους τόν τε ἐν τῆι σφαίραι καὶ τὸν ἐν τῶι κώνωι. ἐπεὶ οὖν ὡς ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως ὁ αὐτὸς κύκλος ὁ ἐν τῶι κυλίνδρωι αὐτοῦ μένων ἀμφο τέροις τοῖς κύκλοις, ὧν εἰσι εἰσιν διάμε τροι αἱ ΞΟ, ΠΡ, μετενεχθεῖσιν καὶ τε θεῖσιν οὕτως ἐπὶ τὸ Θ, ὥστε ἑκατέρ ἑκατέρου αὐτῶν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ, ἰσορροπήσουσι κατὰ τὸ Α σημεῖ ον. ὁμοίως δὲ δειχήσεται, καὶ ἐὰν ἄλ λη ἀχθῆ ἐν τῶι ΑΖ παραλληλογράμ μωι παρὰ τὴν ΕΖ, καὶ ἀπὸ τῆς ἀ χθείσης ἐπίπεδον ἀνασταθῆ ὀρθὸ ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΓ, ὅτι ὁ γενόμενος κύκλος ἐν τῶι κυλίνδρωι ἰσορροπήσει πε ρὶ τὸ Α σημεῖον αὐτοῦ μένων ἀμ φοτέροις τοῖς κύκλοις τῶι τε ἐν τῆι σφαίραι γινομένωι καὶ τῶι ἐν τῶι κώνωι μετενεχθεῖσι καὶ τε θεῖσιν ἐπὶ τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥστε ἑκατέρου αὐτῶν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους περὶ τὸ Θ. συμπληρω θέντος οὖν τοῦ κυλίνδρου ὑπὸ τῶ τῶν ληφθέντων κύκλων καὶ τῆς σφαί ρας καὶ τοῦ κώνου ἰσορροπήσει ὁ κύλινδρος περὶ τὸ Α σημεῖον αὐ τοῦ μένων συναμφοτέροις τῆι τε σφαίραι καὶ τῶι κώνωι μετενε χθεῖσι καὶ τεθεῖσι ἐπὶ τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε ἑκατέρου αὐτῶν κέντρ κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν ἰσορροπεῖ τὰ εἰρημένα μεγέθη κατὰ τὸ Α ση μεῖον καὶ τοῦ κυλίνδρου τ ὸ κέντρ κέντρον τοῦ βάρους τὸ Κ, τῆς δὲ σφαίρας καὶ τοῦ κώνου μετενηνεγμένων, ὡς εἴρηται, περὶ κέντρον βάρους τὸ Θ, ἔσται, ὡς ἡ ΘΑ πρὸς ΑΚ, οὕτως ὁ κύλιν δρος πρὸς τὴν σφαῖραν καὶ τὸν κῶ νον. διπλασία δὲ ἡ ΘΑ τῆι ΑΚ· διπλά σιον ἄρα καὶ ὁ κύλινδρος συναμ φοτέρου τῆς τε σφαίρας καὶ τοῦ κώνου. αὐτοῦ τὲ τοῦ κώνου τριπλα σίων ἐστί· τρ τρεῖς ἄρα κῶνοι ἴσοι εἰσὶ δυ σὶ κώνοις τοῖς αὐτοῖς καὶ δυσὶ σφ σφαί ραις. κοινοὶ ἀφηιρήσθωσαν δύο κῶνοι· εἷς ἄρα κῶνος οὗ ἔστιν τὸ διὰ τ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΕΖ ἴσος ἐστὶ ταῖς εἰρημέναις δυσὶ σφαίραις. ἀλλ’ ὁ κῶνος, οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἐστὶ τρίγωνον τὸ ΑΕΖ, ἴσ ἴσος ἐστὶν ὀκτὼ κώνοις, ὧν ἐστι τὸ διὰ τ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΒΔ, διὰ τὸ διπλῆν εἶναι τὴν ΕΖ τῆς ΒΔ. ἄρα ὀκτὼ κῶνοι οἱ εἰρημένοι ἴσοι εἰσὶ δυσὶ σφαίραις. τετραπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ σφαῖρα, ἧς μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, τοῦ κώνου, οὗ κορυ φὴ μέν ἐστι τὸ Α σημεῖον, βάσις δὲ ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΒΔ κύ κλος ὀρθὸς ὢν πρὸς τὴν ΑΓ.

ἤχθω σαν δὴ διὰ τῶν ΒΔ σημείων ἐν τῶι ΛΖ παραλληλογράμμωι τῆι ΑΓ παράλληλοι οἱ ΦΒ ΧΨ ΔΩ, καὶ νοείσθωσαν κύλινδροι, ὧν βάσ βάσεις μὲν οἱ περὶ διαμέτρους τὰς ΦΨ ΧΩ κύκλους, ἄξων δὲ ὁ ΑΓ. ἐπεὶ δ ὴ διπλάσιός ἐστιν ὁ κύλινδρος, οὗ ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλλη λόγραμμον τὸ ΦΩ, τοῦ κυλίνδρ κυλίνδρου , οὗ ἐστι τὸ δι ὰ τ τοῦ ἄξονο ς παραλ ληλόγραμμον τὸ ΦΔ, αὐτὸς δὲ οὗ τος τριπλασίων ἐστὶν τοῦ κώνου, οὗ ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγων τρίγωνον τὸ ΑΒΔ, ὡς ἐν τοῖς στοιχείοις, ἑξα πλασίων ἄρα ὁ κύλινδρος, οὗ ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλό γραμμον τὸ ΦΩ, τοῦ κώνου, οὗ ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΒΔ. ἐδείχθη δὲ τοῦ αὐτοῦ κώνου τετρα πλασία οὖσα ἡ σφαῖρα, ἧς μέ γιστος μέν ἐστιν ὁ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ· ἡμιόλιος ἄρα ὁ κύλινδρος τῆς σφαίρας· ὅπερ ἔδει δειχθῆναι.

τούτου δὲ θεωρήματος, διότι πᾶ σα σφαῖρα τετραπλασία ἐστὶ τοῦ κώνου βάσιν μὲν ἔχοντος τὸν μέγιστον κύκλον, ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ἡ ἔννοια ἐγένετο, ὅτι πάσης σφαί ρας ἡ ἐπιφάνεια τετραπλασία ἐστὶ τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῆι σφαί ραι· ὑπόληψις γὰρ ἦν καὶ δι διότι πᾶς κύκλ κύκλος ἴσος ἐστὶ τριγώνωι τῶι βάσιν μὲν ἔχον τι τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν, ὕψ ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλ κύκλου ,

Figure 2.1

καὶ δι διότι πᾶ σα σφαῖρα ἴση ἐστὶ κώ νωι τῶι βά σιν μὲν ἔχ ἔχον τι τὴν ἐπι φάνειαν τῆς σφαίρας, ὕψο ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἐκ τοῦ κέντρ κέντρου τῆς σφαίρ σφαίρας .

θεωρεῖται δὲ διὰ τοῦ τρόπου τούτου π δ ἔσται σφαιροειδ τὸ σχῆμα ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲ μὲν ἔχων ἴσην τῶι μεγίστωι κύκλωι τῶ τῶν ἐν τωι σφαιροειδεῖ, ὕψος δὲ ἴσον τῶι ἄξονι τοῦ σφαιροειδοῦς, ἡμιόλιός ἐστι τοῦ σφαιροειδοῦς· τούτου δὲ θεωρη θέντος φανερόν, ὅτι παντὸς σφα ι ροειδοῦς ἐπιπέδω τμηθέντος δι ὰ τοῦ κέντρου ὀρθῶι πρόσθετoν ἄ ξονα τὸ ἥμισυ τοῦ σφαιροειδοῦς δι πλάσιόν ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὴν αὐτὴν τῶι τμά ματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν.

ἔστω γάρ τι σφαιροειδὲς καὶ τετμήσθω ἐπιπέ δωι διὰ τοῦ ἄξονος, καὶ γινέσθω ἐν τῆι ἐπιφανείαι αὐτοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὴ ἡ ΑΒΓΔ, διάμετροι δὲ αὐτῆς ἔστωσαν αἱ ΑΓ ΒΔ, κέντρον δὲ τὸ Κ, ἔστω δὲ κύκλος τις ἐν τῶι σφαι ροειδεῖ περὶ διάμετρον τὴν ΒΔ ὀρθ ὀρθὸς ὢν πρὸς τὴν ΑΓ, νοείσθω δὲ κῶνος βά σιν ἔχων τὸν εἰρημένον κύκλον, κο ρυφὴν δὲ τὸ Α σημεῖον, καὶ ἐκβλη θείσης τῆς ἐπιφανείας αὐτοῦ τετ μήσθω ὁ κῶνος ἐπιπέδω διὰ τοῦ Γ παρὰ τὴν βάσιν· ἔσται δὴ ἡ τομὴ αὐτοῦ κύκλος ὀρθὸς πρὸς τὴν ΑΓ, διά μετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΕΖ. ἔστω δὲ καὶ ὁ κύ λινδρος βάσιν μὲν ἔχων τὸν αὐτ αὐτὸν κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΕΖ, ἄξονα δὲ τὴν ΑΓ εὐθεῖαν, καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΓΑ κείσθω αὐτῆ ἴση ἡ ΑΘ, καὶ νο είσθω ὁ ζυγὸς ὁ ΘΓ, μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Α, ἤχθω δέ τις ἐν τῶι ΛΖ παραλλη λογράμμωι π παρὰ τὴν ΕΖ ἡ ΜΝ, καὶ ἀ πὸ τῆς ΜΝ ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρ θὸν πρὸς τὴν ΑΓ· ποιήσει δὲ τοῦτο ἐν μὲν τῶι κυλίνδρωι τομὴν κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ, ἐν δὲ τῶι σφαιρ ο ειδεῖ τομὴν, οὗ μετρος διάμετρος ἡ ΞΟ, ἐν δὲ τῶι κώνωι τομὴν κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ.

καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΣ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς ΑΠ, τουτ τουτέστιν ἡ ΜΣ πρὸς τὴν ΣΠ, ἴση δὲ ἡ ΓΑ τῆι ΑΘ, ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως ἡ ΜΣ πρὸς ΣΠ. ὡς δὲ ἡ ΜΣ πρὸς ΣΠ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΣ ΣΠ· τῶ δὲ ὑπὸ ΜΣ ΣΠ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶ τῶν ΠΣ ΣΞ. ἐπεὶ γάρ ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΣ ΣΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΞ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΚ ΚΓ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΑΚ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΒ, ἀμφότεροι γὰρ οἱ λόγοι ἐν τῶι τῆς πλαγίας πρὸς τὴν ὀρθίαν εἰσίν, ὡς δὲ ἀπὸ ΑΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΠ, ἐναλλὰξ ὡς τὸ ἀπὸ ἀπὸ ΑΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΣΓ, τὸ ἀπὸ ΠΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΞ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΑΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΣΓ, τὸ ἀπὸ ΣΠ πρὸς τὸ ὑπὸ ΣΠ ΠΜ· ἴ σον ἄρα τὸ ὑπὸ ΜΠ ΠΣ τῶι ἀπὸ ΞΕ. κοι νὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΠΣ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΜΕ ΣΠ τοῖς ἀπὸ ΠΣ ΣΞ ἴσον. ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὰ ἀπὸ ΠΣ ΣΞ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὰ ἀπὸ ΣΞ ΣΠ, οὕτως ὁ ἐν τῶι κυλίνδρω κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ, πρὸς ἀμ φοτέρους τοὺς κύκλους, ὧν διά μετροι αἱ ΞΟ ΠΡ· ὥστε ἰσορροπή σουσι περὶ τὸ Α σημεῖον ὁ κύκλος, οὗ μετρος διάμετρος ἡ ΜΝ, αὐτοῦ μένων ἀμφοτέροις τοῖς κύκλοις, ὧν διά μετροι αἱ ΞΟ ΠΡ, μετενεχθεῖσι καὶ τεθεῖσιν τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε ἑκατέρου αὐτῶν κέντρον εἶναι τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστι τοῦ μὲν κύκλου, οὗ μετρος διάμετρος ἡ ΜΝ, κέντρον τοῦ βά ρους τὸ Σ, συναμφοτέρων δὲ τῶ τῶν κύκλων, ὧν εἰσι διάμετροι αἱ ΞΟ ΠΡ, μετενηνεγμένων κέντρον τοῦ βά ρους τὸ Θ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως ὁ κύκλ κύκλος , οὗ μετρ διάμετρος ἡ ΜΝ, πρὸς ἀμ φοτέρους τοὺς κύκλους, ὥς εἰσι διά μετροι αἱ ΞΟ ΠΡ. ὁμοίως δὲ δειχθή σεται, καὶ ἐὰν ἄλλη τις ἀχθῆ ἐν τῶι ΛΖ παραλληλογράμμωι π παρὰ τὴν ΕΖ, καὶ ἀπὸ τῆς ἀχθείσης ἐ πίπεδον ἀνασταθῆι ὀρθὸν πρὸς τ τὴν ΑΓ, ὁ γενόμενος κύκλ κύκλος ἐν τῶι κυλί κυλίν δρωι ἰσορροπήσει περὶ τὸ Α ση μεῖο μεῖον αὐτοῦ μένων συναμφοτέ ροις τοῖς κύκλοις τῶι τε ἐν τῶι σφαιροειδεῖ γινομένωι καὶ ἐν τῶι κώνωι μετενεχθεῖσιν τοῦ ζυγ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥστε ἑκατέρ ἑκατέρου αὐτῶν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ. συμπληρωθέντος οὖν τοῦ κυ λίνδρου ὑπὸ τῶν ληφθέντων κύκλων καὶ τοῦ σφαιροειδοῦς καὶ τοῦ κώνου ἰσόρροπος ὁ κύλινδρος ἔσται περὶ τὸ Α σημεῖον αὐτοῦ μέ νων τῶι τε σφαιροειδεῖ καὶ τῶι κώ νωι μετενεχθεῖσι καὶ τεθεῖσης ἐπὶ τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥσ τε ἑκατέρου αὐτῶν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ. καί ἐστὶ τοῦ μὲν κυ λίνδρου κέντρον τοῦ βάρους τὸ Κ, τοῦ δὲ σφαιροειδοῦς καὶ τῶι κών κώνωι συναμφότερον, ὡς ἐρρέθη, κέν τρον τοῦ βάρους τὸ Θ· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΘΑ πρὸς ΑΚ, ὁ κύλινδρος πρὸς ἀμφότερα τό τε σφαιρο ειδὲς καὶ τὸν κῶνον. διπλασία δὲ ἡ ΘΑ τῆς ΘΚ· διπλάσιος ἄρα καὶ ὁ κύλινδρος ἀμφοτέρων τοῦ τε σφαιροειδοῦς καὶ τοῦ κών κώνου · εἷς ἄρα κύλινδρος ἴσος δυσὶν κώνοις καὶ δυσὶ σφαιροειδέσιν. εἷς δὲ κύλινδρος ἴσος ἐστὶ τρεῖς κώ νοις τοῖς αὐτοῖς· τρεῖς ἄρα κῶνοι ἴσοι εἰσὶ δυσὶ κώνοις καὶ δυσὶ σφαιρο ειδέσι κώνοις. ἀφηρήσθωσα ἀφηρήσθωσαν δύο κῶνοι· λοιπὸς ἄρα εἷς κῶν κῶνος , οὗ ἐστι τὸ διὰ τ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ Α ΕΖ, ἴσος ἐστὶ δυσὶ σφαιροειδέσιν. εἷς δὲ κῶνος ὁ αὐτὸς ἴσος ἐστὶν ὀκτὼ κών κώνοις , ὧν ἐστι τὸ διὰ τ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΒΔ· ὀκτὼ ἄρα κῶνοι οἱ εἰρημένοι ἴ σοι εἰσὶ δυσὶ σφαιροειδέσι· καὶ τέσσαρ τέσσαρες ἄρα κῶνοι ἴσοι εἰσὶν ἑνὶ σφαιροειδεῖ· τετραπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ σφαιροειδὲς τοῦ κώνου, ἔστι κορυφὴ μέν τὸ Α σημεῖ ον, βάσις δὲ ὁ περὶ διάμετρον τὴ τὴν ΒΔ κύκλος ὀρθὸς ὢν πρὸς τὴν ΑΓ, ὥστε τὸ ἥμισυ τοῦ σφαιροειδέος διπλάσι ός ἐστι τοῦ εἰρημένου κώνου.

ἤχθωσ ἤχθωσαν δὲ διὰ τῶν ΒΔ σημείων ἐν τῶι ΛΖ πα ραλληλογράμμωι τῆι ΑΓ παράλλη λοι αἱ ΦΧ ΨΩ, καὶ νοείσθω κύλινδρ κύλινδρος , οὗ βάσεις μ μέν ἐστιν οἱ περὶ διαμέτρους τὰς ΦΧ ΨΩ κύκλοι, ἄξων δὲ ἡ ΑΓ εὐθεῖα.

ἐπεὶ οὖν διπλάσιός ἐστιν ὁ κύλιν δρος, οὗ ἐστι τὸ διὰ τ τοῦ ἄξονος παραλλη λόγραμμον τὸ ΦΩ, τοῦ κυλίνδρου, οὗ ἐστι τὸ διὰ τ τοῦ ἄξονος πληλόγραμμον παραληλόγραμμον τὸ ΦΔ, διὰ τὸ ἴσας αὐτῶν εἶναι τὰς βά σεις, τὸν δὲ ἄξονα τοῦ ἄξονος διπλά σιον, αὐτὸς δὲ ὁ κύλινδρος, οὗ ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμ παραλληλόγραμμον τὸ ΦΔ, τριπλάσιόν ἐστι τοῦ κώνου, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον, βάσ βάσις δὲ ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΒΔ κύκλ κύκλον ὀρθὸς ὢν πρὸς τὴν ΑΓ, ἑξαπλά σιος ἄρα ὁ κύλινδρος, οὗ ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΦΩ, τοῦ εἰρημένου κώνου. ἐδείχθη δὲ τοῦ αὐτοῦ κώνου τετραπλάσιον τὸ σφαιροειδές· ἡμιόλιος ἄρα ὁ κύλινδρος τοῦ σφαιροειδοῦς· ΟΙ.

Figure 3.1

ὅτι δὲ πᾶν τμῆμα ὀρ θογωνίου κω νοειδὲς ἐπι πέδω ἀπο τεμνόμενο τεμνόμενον ὀρθῶι πρὸς τὸν ἄξονα ἡμιόλιό ἡμιόλιόν ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὴν αὐτὴν τῶι τμήματι καὶ τὸν ἄ ξονα τὸν αὐτόν, ὡς διὰ τοῦ τρόπ τρόπου τούτου θεωρεῖται.

ἔστω γὰρ ὀρθογώ νιον κωνοειδὲς καὶ τετμήσθω ἐ πιπέδω διὰ τοῦ ἄξονος, καὶ ποι είτω τομὴν ἐν τῆι ἐπιφανείαι ὀρ θογωνίου κώνου τομὴν τὴν ΑΒ, τετμήσθω δὲ καὶ ἑτέρωι ἐπιπέδωι ὀρθῶι πρὸς τὸν ἄξονα, καὶ ἔστω αὐτῶν κοινὴ τομὴ ἡ ΒΓ, ἄξων δὲ ἔστω τοῦ τμήματος ὁ ΔΑ, καὶ ἐκ βεβλήσθω ἡ ΔΑ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ κείσθω αὐτῆ ἴση ἡ ΑΘ, καὶ νοείσθω ζυγ ζυγὸς ὁ ΑΘ, μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Α, ἔστω δὲ ἡ τοῦ τμήματος βάσις ὁ περὶ διά μετρον τὴν ΒΓ κύκλ κύκλος ὀρθὸς ὢν πρὸς τὴν ΑΔ, ἔστω δὲ καὶ κῶνος βάσι βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἐστι μετρ διάμετρος ἡ ΒΓ, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, ἔστω δὲ καὶ κύλινδρος βάσιν μὲν ἔχω ἔχων τὸν κύκλον, οὗ δμετρος διάμετρος ἡ ΒΓ, ἄ ξονα δὲ τὸν ΑΔ, καὶ ἤχθω τις ἐν τῶι παραλληλογράμμῶι ἡ ΜΝ παράλληλος οὖσα τῆι ΒΓ, καὶ ἀπὸ τῆς ΜΝ ἐπίπεδον ἀνεστά τω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΔ· ποιήσει δὴ τοῦτο ἐν μὲν τῶι κυλίνδρωι τομὴ τομὴν κύκλον, οὗ μετρος διάμετρος ἡ ΜΝ, ἐν δὲ τῶι τμήματι τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδοῦς τομὴν κύκλον, οὗ διά μετρος ἡ ΞΟ.

καὶ ἐπὶ ὀρθογωνί ὀρθογωνίου κώνου τομῆς ἐστιν ἡ ΒΑΓ, δι ά μετρος δὲ αὐτῆς ἡ ΑΔ, καὶ τεταγμέ νως κατηγμέναι εἰσὶν αἱ ΞΣ, ΒΔ, ἔστιν ὡς ἡ ΔΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ. ἴση δὲ ἡ ΔΑ τῆι ΑΘ· ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, οὕ τως τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΞ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΞ, οὕτως ὁ κύκλος ὁ ἐν τῶι κυ λίνδρωι, οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ, πρὸς τὸν κύκλον τὸν ἐν τῶι τμήματι τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδοῦς, οὗ διάμετρος ἡ ΞΣ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως ὁ κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ, πρὸς τὸν κύκλο κύκλον , οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ. ἰσόρροπος ἄρα ὁ κύκλ κύκλος , οὗ μετρ διάμετρος ἡ ΜΝ, ὁ ἐν τῶι κυλίνδρωι πρὸς τὸ Α σημεῖον αὐτοῦ μένων τῶι κύ κλωι, οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ, μετενε χθέντι καὶ τεθέντι ἐπὶ τ τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε κέντρον αὐτοῦ εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν τοῦ μὲν κύκλ κύκλου , οὗ ἐστιν ἡ δμετρος διάμετρος ἡ ΜΝ, κέντρον τοῦ βάρους τὸ Σ, τ τοῦ δὲ κύκλου, οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ, μετε νηνεγμένου κέντρον τοῦ βάρους τὸ Θ, καὶ ἀντιπεπονθότως τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, ὃν ὁ κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ. ὁ μοίως δὲ δειχθήσεται, καὶ ἐν ἄλλη τις ἀχθῆ ἐν τῶι ΕΓ παραλληλο γράμμωι παρὰ τὴν ΒΓ, καὶ ἀπὸ τῆς ἀχθείσης ἐπίπεδον ἀνα σταθῆι ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΘ, ὅτι ἰσορ ροπήσει πρὸς τῶ Α σημείωι ὁ γενόμε νος κύκλος ἐν τῶι κυλίνδρωι αὐ τοῦ μένων τῶι γενομένωι ἐν τῶ τμήματι τοῦ ὀρθογωνίου κωνο ειδέος μετενεχθέντος τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥστε κέντρον εἶν εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ. συμπληρω θέντος οὖν τοῦ κυλίνδρου καὶ τοῦ τμήματος τοῦ ὀρθογωνίου κωνο ειδέος ἰσορροπήσει περὶ τὸ Α ση μεῖον ὁ κύλινδρος αὐτοῦ μένων τ τῶ τμήματι τοῦ ὀρθογωνίου κωνοει δέος μετενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥστε κέ κέν τρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ. ἐπεὶ δὲ ἰσορροπεῖ περὶ τὸ Α σημεῖ ον τὰ εἰρημένα μεγέθη, καί ἐστὶ τοῦ μὲν κυλίνδρου κέντρον βά ρους τὸ Κ σημεῖον δίχα τεμνομέ νης τῆς ΑΔ κατὰ τὸ Κ σημεῖον, τοῦ τμήματος μετηνεγμέν μετηνεγμένου κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τὸ Θ, ἀντι πεπονθότως τὸν αὐτὸν ἕξει λό γον ἡ ΘΑ πρὸς ΑΚ, ὃν ὁ κύλινδρ κύλινδρος πρὸς τὸ τμῆμα. διπλασία δὲ ἡ ΘΑ τῆς ΑΚ· διπλάσιος ἄρα καὶ ὁ κύλινδρος τοῦ τμήματος. ὁ δὲ αὐτὸς κύλινδρος τριπλάσιός ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὸν κύκλο κύκλον ,

Figure 4.1

οὗ διάμε τρος ἡ ΒΓ, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖ ον · δῆλον οὖν, ὅτι τὸ τμῆ μα ἡμιόλιό ἡμιόλιόν ἐστιν τοῦ αὐ τοῦ κώνου. ΟΙ.

ὅτι δὲ τοῦ τμήματος τοῦ ὀρθογω νίου κωνοειδέος τοῦ ἀποτεμνομέν ἀποτεμνομένου ἐπιπέδωι ὀρθῶι πρὸς τῶν ἄξονα τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐστὶν ἐπὶ τ τῆς εὐθείας, ἥ ἐστιν ἄξων τοῦ τμήματος, τμηθείσης οὕτως τῆς εἰρημένης εὐθείας, ὥστε διπλασίονα εἶναι τὸ μέρος αὐτοῦ τὸ πρὸς τῆι κορυφῆι τ τοῦ λοιποῦ τμήματος, ὧδε διὰ τοῦ τρό που θεωρεῖται·

ἔστω τμῆμα ὀρθογώνιον κωνοειδὲς ἀποτε μνόμενον ἐπιπέδωι ὀρθῶι πρὸς τὸν ἄξονα καὶ τετμήσθω ἐπιπέ δωι ἑτέρωι διὰ τοῦ ἄξονος, καὶ ποι είτω τομὴν ἐν τῆι ἐπιφανείαι τὴν ΑΒΓ ὀρθογωνίου κώνου τομήν, τοῦ δὲ ἀποτετμηκότος τὸ τμῆμα ἐπι πέδου καὶ τοῦ τμήματος κοινὴ τομὴ ἔστω ἡ ΒΓ, ἄξων δὲ ἔστω τοῦ τμήματος καὶ διάμετρος τῆς ΑΒΓ τομῆς ἡ ΑΔ εὐθεῖα, καὶ τῆι ΔΑ εὐθείαι ἴση κείσθω ἡ ΑΘ, καὶ νοείσθω ζυγὸς ὁ ΔΘ, μέσον δὲ αὐ τῆς τὸ Α, ἔστω δὲ καὶ κῶνος γε γραμμένος ἐν τῶι τμήματι, πλευ ραὶ δὲ αὐτοῦ αἱ ΒΑ ΑΓ, ἤχθω δέ τις ἐν τῆι τοῦ ὀρθογωνίου κώνου το μῆι ἡ ΞΟ παράλληλος οὖσα τῆι ΒΓ, τεμνέτω δὲ αὕτη τὴν μὲν τοῦ ὀρ θογωνίου κώνου τομὴν κατὰ τὸ Ξ Ο, τὰς δὲ τοῦ κώνου πλευρὰς κατὰ τὸ ΠΡ σημεῖα.

ἐπεὶ οὖν ἐν ὀρθογωνί ου κώνου τομῆι κάθετοι ἠγμέναι εἰσὶν ἐπὶ τὴν διάμετρον αἱ ΞΟ ΒΔ, ἔστιν, ὡς ἡ ΔΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΣ. ὡς δὲ ἡ ΔΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς ΠΣ, ὡς δὲ ἡ ΒΔ πρὸς ΠΣ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ ΠΣ· ἔσται ἄρα καὶ, ὡς τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΣ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΔ πρ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔ ΠΣ. ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ ΞΣ το ὑπὸ ΒΔ ΠΣ· ἀνάλογον ἄρα εἰσὶν αἱ ΒΔ ΣΞ ΣΠ, διὰ δὴ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς ΠΣ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΞΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΠ. ὡς δὲ ἡ ΒΔ πρὸς ΠΣ, οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς ΑΣ, τουτ τουτέστιν ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΞΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΠ. ἀνεστάτω δὴ ἀπὸ τῆς ΞΟ ἐπίπε δον ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΔ· ποιήσει δὲ τοῦτο ἐν μὲν τῶι τμήματι τοῦ ὀρ θογωνίου κωνοειδέος κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ, ἐν δὲ τῶ κώ νωι κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΞΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΠ, οὕτως ὁ κύ κλος, οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ, ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως ὁ κύκλος, οὗ διάμε τρος ἡ ΞΟ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ δμε διάμε τρος ἡ ΠΡ. ἰσορροπήσει οὖν πε ρὶ τὸ Α σημεῖον ὁ κύκλος, οὗ με διάμε τρος ἡ ΞΟ, αὐτοῦ μένων τῶι κύ κλωι, οὗ δμετρος διάμετρος ἡ ΠΡ, μετενε χθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥσ τε κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν τοῦ μὲν κύκλου, οὗ διά μετρος ἡ ΞΟ, αὐτοῦ μένοντος κέν τρον ἐστὶν τοῦ βάρους τὸ Σ, τοῦ δὲ κύκλου, οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ, μετε νεχθέντος ὡς ἐρρέθη κέντρο κέντρον τοῦ βάρους τὸ Θ, καὶ ἀντιπεπον θότως τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, ὃν ὁ κύκλος, οὗ διάμε τρος ἡ ΞΟ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ διά μετρος ἡ ΠΡ, ἰσορροπήσουσιν ἄρα πρὸς τῶι Α σημείω. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, καὶ ἐὰν ἄλλη τις ἀχθῆι ἐν τῆι τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆι παράλληλος τῆι ΒΓ, καὶ ἀπὸ τῆς ἀχθείσης ἐπί πεδον ἀνασταθῆι ὀρθὸν πρὸς τ τὴν ΑΔ, ὅτι ὁ γενόμενος κύκλος ἐν τῶι τμήματι τοῦ ὀρθογωνίου κωνο ειδέος αὐτοῦ μένων ἰσορροπή σει περὶ τὸ Α σημεῖον τῶι γενομέ νωι κύκλωι ἐν τῶι κώνωι μετενε χθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ. συμπληρωθέν των οὖν ὑπὸ τῶν κύκλων τοῦ τε τμήματος καὶ τοῦ κώνου ἰσορ ροπήσουσι περὶ τὸ Α σημεῖον τεθέντες οἱ κύκλοι οἱ ἐν τῶι τμή ματι αὐτοῦ μένοντες πᾶσι τ τοῖς κύκλοις τοῖς ἐν τῶι κώνωι με τενεχθεῖσι καὶ τεθεῖσι τοῦ ζυγ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥστε ἑκάστ ἑκάστου αὐτῶν κέντρον εἶναι τοῦ βά ρους τὸ Θ· ἰσόρροπον οὖν καὶ τὸ τμῆμα τοῦ ὀρθογωνίου κω νοειδέος περὶ τὸ Α σημεῖον αὐ τοῦ μένον τῶι κώνωι μετενε χθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥστε κέντρον εἶναι τοῦ βάρους αὐτοῦ τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν συναμφοτέρου τῶν μεγεθε ῶν ὡς ἑνὸς λέγομεν κέντρον ἐστὶν τοῦ βάρους τὸ Α, αὐτοῦ δὲ τοῦ κώ νου τοῦ μετενηνεγμένου κέντρ κέντρον τοῦ βάρους τὸ Θ, τοῦ λοιποῦ ἄρα μεγέθους τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βά ρους ἐπὶ τῆς ΑΘ εὐθείας ἐκβε βλημένης ἐπὶ τὸ Α καὶ ἀπολη φθεῖσα αὐτῆς τῆς ΑΚ τηλικαύτ τηλικαύτης , ὥστε τὴν ΑΘ πρὸς αὐτὴν τοῦτον ἔ χειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὸ τμῆμα πρὸς τὸν κῶνον. ἡμιόλιον δέ ἐστιν τὸ τμῆμα τοῦ κώνου· ἡμιόλιος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΘΑ τῆς ΑΚ, καί ἐστιν τὸ Κ κέντρον τοῦ βάρους τοῦ ὀρθογω νίου κωνοειδέος τῆς ΑΔ τετμη μένης οὕτως, ὥστε διπλάσιον εἶναι τὸ μέρος αὐτῆς τὸ πρὸς τῆι κορυ φῆι τοῦ τμήματος τοῦ λοιποῦ τμή ματος.

Figure 5.1

εἶναι τοῦ βάρους ἐπὶ τῆς εὐθείας, ἥ ἐστιν ἄξων τοῦ ἡμιολίου, τμηθείσ τμηθείσης οὕτως, ὥστε τὸ τμῆμα αὐτῆς τὸ πρὸς τῆι κορυφῆι τοῦ ἡμισφαι ρίου πρὸς τὸ λοιπὸν τμῆμα τοῦ τον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὰ πέντε πρὸς τὰ τρία.

ἔστω σφαῖ ρα καὶ τετμήσθω ἐπιπέδωι διὰ τοῦ κέντρου, καὶ γινέσθω ἐν τῆι ἐπιφανείαι τομὴ ὁ ΑΒ ΓΔ κύκλος, διάμετροι δὲ ἔστωσαν τ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ ΒΔ, ἀπὸ δὲ τῆς ΒΔ ἐπίπε δον ἂν ἔστω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΓ, καὶ ἔστω κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΒΔ κύκλον, κορυφὴν δὲ τὸ Α σημεῖ ον, πλευραὶ δὲ ἔστωσαν τοῦ κώ νου αἱ ΒΑ ΑΔ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΑ, καὶ κείσθω τῆι ΓΑ ἴση ἡ ΑΘ, καὶ νοείσθω ζυγὸς ἡ ΘΓ εὐθεῖα, μέσο μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Α, καὶ ἤχθω τις ἐν τῶι ΒΑΔ ἡμικυκλίω ἡ ΞΟ παράλλη λος οὖσα τῆι ΒΔ, τεμνέτω δὲ αὕ τη τὴς μὲν τοῦ ἡμικυκλίου περι φέρειαν κατὰ τὸ ΞΟ, τὰς δὲ τοῦ κώ νου πλευρὰς κατὰ τὰ ΠΡ σημεῖα, τὴν δὲ ΑΓ κατὰ τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τ τῆς ΞΟ ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΕ· ποιήσει δὲ τοῦτο ἐν μὲ μὲν τῶι ἡμισφαιρίωι τομὴν κύκλο κύκλον , οὗ μετρος διάμετρος ἡ ΞΟ, ἐν δὲ τῶι κώνωι τομὴν κύκλ κύκλον , οὗ μετρος διάμετρος ἡ ΠΡ.

καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΑΕ, τὸ ἀπὸ ΞΑ πρὸς τὸ ΑΕ, τῶι δὲ ἀ π ὸ ΞΑ ἴσα τὰ ἀπὸ ΑΕ ΕΞ, τῆι δὲ ΑΕ ἴση ἡ ΕΠ, ὡς ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς ΑΕ, οὕτως τὰ ἀπὸ ΞΕ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΠ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΞΕ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΠ, οὕτως ὁ κύκλος ὁ περὶ μετρον διάμετρον τὴν ΠΡ καί ἐστιν ἡ ΓΑ τῆι ΑΘ ἴση· ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΠΡ πρὸς τὸν κύ κλο κλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΠΡ. ἰσορροπήσουσιν ἄρα περὶ τὸ Α σημεῖον ἀμφότεροι οἱ κύκλοι, εἰσὶ δμετροι διάμετροι αἱ ΞΟ ΠΡ, αὐτοῦ μένο μένον τες τῶι κύκλωι, οὗ μετρος διάμετρος ἡ ΠΡ, μετενεχθέντι καὶ τεθέντι κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν ἀμφοτέρων μὲν τῶν κύκλων εἰσὶ διάμετροι αἱ ΞΟ ΠΡ, αὐτοῦ μενόν των κέντρον τοῦ βάρους ἐστὶν ΞΟ ΒΔ ὀρθὸν πρὸς ἰσορροπ περὶ τὸ Α ἀμφοτερ μεν ωι α ενομενωι μετενεχθέντι τε ζυγοῦ κατὰ τὸ ἡμισφαιρίου καὶ τοῦ κώνου ἰσορ ροπήσουσι περὶ τὸ Α σημεῖον πά πάν τες οἱ κύκλοι οἵ τε ἐν τῶ ἡμισφαι ρίωι καὶ οἱ ἐν τῶι κώνωι αὐτοῦ μένοντες πᾶσι τοῖς κύκλοις τοῖς ἐν τῶι κώνωι μετενεχθεῖσι καὶ τε θεῖσι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥσ τε κέντρον εἶναι ἑκάστου αὐτῶ αὐτῶν τὸ Θ· ἰσορροπήσουσι ἄρα περὶ τὸ Α σημεῖον συναμφότερα τό τε ἡμισφαίριον καὶ ὁ κῶνος αὐτοῦ μένοντα τῶι κώνωι μετενεχθέν τ ι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥστε κέντρο κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρ βάρους τὸ Θ σημεῖον διηρήσθω δὴ ὁ κω νος εἰς δύο μέρη ἄνισα ὥστε τὸ μεῖ ζον πρὸς τὸ ἔλασσον λόγον ἔχειν τού

τοῦ, ὃν ἔχει κώ νου αὐτοῦ μένον τὸ κέντρον τ τοῦ βάρους τὸ Χ, τῶν δὲ τριῶν ὀγδοη μορίων αὐτ οῦ τῶν κατὰ τὸ Θ κει μένων κέντρον εἶναι τοῦ βά ρους τὸ Θ. καί ἐστιν , ὡς ἡ ΘΑ πρὸς ΑΧ, οὕτως ὁ κῶνος οὗ ἐστιν ἄξων ἡ ΑΚ πρὸς τὰ τρία ὀγδοημόρια α ὐτοῦ τοῦ κών κών ου . ὁ γὰρ ἄξων ὁ αὐτός ἐστιν τ ἰσορροπήσει περὶ τὸ Χ ση μεῖον, καὶ τὸ ἡμισφαίριον αὐτοῦ μένον τοῖς πέντε ὀγδοημορίοις τοῦ κώνου κειμένοις κατὰ τὸ Θ. καὶ ἐπεὶ τετραπλασία ἐστὶν ἡ σφαῖρα τοῦ κώνου, οὗ βάσις ὁ περὶ μετρον διάμετρον τὴν ΒΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, διπλά σιον δὲ τὸ ἡμισφαίριον ἔσται τ τοῦ κώνου. ὁ δὲ πρὸς τὰ πέν τε ὀγδοημόρια αὐτὸν λόγον ἔχει, ὃν ὀκτὼ πρὸς τὰ πέντε. τὸ ἄρα ἡμισφ ἡμισφαί ριον ντι πέντε ὀγδοη πρὸς ἔστω. ἔσται οὖν κ αὶ ἡ πρὸς Α ΙΑ πρὸς Ε . κέντρον δὲ ἔσται τοῦ βάρους τοῦ ἡμισφαιρίου καὶ τῆς πρὸς ΑΦ λόγον ἔχει, ὃν Ι ϛ πρὸς Ε δὴ Φ ὥστε τὴν πρὸς λόγον ἔχει ἔχειν, ὃν ἔχει τὰ τρία ὀρ θῶι πρὸς τὸν ἄξονα τοῦ σφαι ροειδέος. κέντρον ἐστὶ τ τοῦ βάρους ἐπὶ τῆς εὐθείας, ἥ ἐστιν ἄξων τοῦ μα τημθείσης ὥστε τῆς εἰρημένης εὐθείας τῶ πρὸς τὴν κορυφὴν τοῦ σφαιροειδέος πρὸς τὸ λοιπὸν τμῆμα τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὰ πέντε πρὸς τρία.

Figure 6.1

θεωρεῖται δὲ διὰ τοῦ τρόπου τού του καὶ ὅτι πᾶν τμῆμα σφαί ρας πρὸς τὸν κῶνον τὸν βάσι βάσιν ἔχοντα τὴν αὐτὴν τῶι τμήματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν ρι τμή τοῦ ἀντικει μένου τμήματος πρὸς τὸν ἄξονα. ἔστω γὰρ σφαῖρα τεμνομένη ἐπιπέδωι καὶ τετμήσθω ὥστε ἐπι κυλινδρ καὶ ἔστω τῆς μὲν σφαίρας τομὴ ὁ ΑΒ ΓΔ κύκλος, τοῦ δ’ ἐπιπέδου τοῦ ἀποτετμηκό τος τοῦ τμήματος ἡ ΒΔ εὐ θε ῖα . καὶ ἔστω τοῦ ΑΒ ΓΔ κύκλ κύκλου διάμετρος ἡ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τῆι ΒΔ εὐθ εί αι, τὸ δὲ τμῆμα τῆς σφαίρας οὗ κορυφὴ τὸ Α σημεῖον. ἐν μὲν τῶι ἑτέρωι σχήμα τι μεῖζον ἡμισφαιρίου, ἐν δὲ τῶ ἑτέρωι ἔλασσον, καὶ ἀπειλήφθω τε μὲν ΑΗ ἴση ἑκατέρα τῶν Ε Η ΗΖ, τῆ δὲ ΑΓ ἴση ἑκατέρα τῶν ΚΗ ΗΛ, καὶ ἀπὸ τῆς ΚΛ ἐπίπε δον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρ πρὸς τὴν ΑΓ, καὶ ἐν τῶι ἐπιπέδωι τούτωι κύκλ κύκλος γεγρά φθω περὶ μετρον διάμετρον τὴν ΚΑ, καὶ ἀ πὸ τοῦ κύκλου τούτου κύλινδρος ἄξονα ἔχων τὴν ΑΗ. ἔστω δὲ κῶ νος βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλο κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΒΔ ὀρθὸν ὂν πρὸς τὴν ΑΓ, κορυφὴν δὲ τὸ Α, οὗ πλεῦ ραι αἱ ΒΑ ΑΔ καὶ ἤχθω ἐν τῶι ΚΘ παραλληλογράμμωι ἡ ΜΝ τῆ ι ΚΛ παράλληλος τεμνέτω δὲ αὐτὴ τὴν μὲν σφαῖραν κατὰ τὰ ΞΟ τὸν δὲ κῶνον κατὰ τὰ ΠΡ πλευρὰς καὶ ἀπὸ τῆς ΜΝ ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΓ· ποιήσει δὴ τοῦτο ἐν μὲν τῶι κυλίνδρωι τομὴν κύκλον, οὗ ἐστι διάμετρος ἡ ΜΝ, ἐν δὲ τῶι τμήμα τι τῆς σφαίρας τομὴν κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ, ἐν δὲ τῶι κώνωι, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΕΖ κύκλον, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, κύ κλον, οὗ διάμετρος ἔσται ἡ ΠΡ. ὁ μοίως δὴ τοῖς πρότερον δειχθήσε ται ἰσόρροπον περὶ τὸ Α σημεῖο σημεῖον ὁ κύκλος, οὗ μετρος διάμετρος ἡ ΜΝ, αὐ τοῦ μένων ἀμφοτέροις τ τοῖς κύκλοις, ὧν μετρος διάμετρος ἡ ΞΟ ΠΡ, μετενεχθεῖ σι καὶ τεθεῖσι τεθεῖσιν τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε ἑκατέρου αὐτῶν κέντρον εἶναι τ τοῦ βάρους τὸ Θ· τοῦτο γοῦν δέ δεικται. συμπληρωθέντων οὖν ὑ πὸ τ τῶν κύκλων τοῦ τε κυλινδροῦ καὶ τοῦ κώνου καὶ τ τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας τοῦ ἔχοντος ἄξονα τὴν ΑΗ εὐθεῖαν ἰσόρροποι περὶ τὸ Α σημεῖον. πάντες οἱ κύκλοι ἐν τῶι κυλίνδρωι αὐτοῦ μένοντες πᾶ σι τοῖς ἐν τῶι κώνωι κύκλοις καὶ πᾶσι ἐν τῶι τμήματι τῆς σφ σφαί ρας μετενεχθεῖσι τοῦ ζυγοῦ καὶ τεθεῖσι οὕτως, ὥστε κέντρ κέντρον τοῦ βάρους ἐστὶν τὸ Θ ἰσόρροπος ἄρα ειαν καὶ ὁ κύλινδρος αὐτοῦ μένων συ ναμφοτέροις τῶι τε κώνωι καὶ τῶι τμήματι τῆς σφαίρ σφαίρας μετενηνεγμένοις καὶ κειμέν κειμένοις τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ. τεμνέσθω δὲ ἡ ΑΓ κατὰ τὰ ΦΧ σημεῖα οὕτως, ὥστε τὴν μὲν ΑΧ εἶναι ἴσην τῆι ΧΗ, τὴν δὲ ΑΦ τρίτον μέρος τῆς ΑΗ· ἔσται δὴ τοῦ μὲν κυλίνδρου κέντρον τοῦ βάρους τὸ Χ διὰ τὸ διχο τομίαν εἶναι τὸ Χ τ τοῦ ἄξονος. ἐπεὶ οὖν ἰσορροπεῖ περὶ τὸ Α ση μεῖον τὰ εἰρημένα μεγέθη, ἔστ ἔσται ὡς ὁ κύλινδρος πρὸς ἀμφότερα τόν τε κῶνον, τὸ ΕΖ, καὶ τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας τὸ ΒΑΔ, οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΧ. καὶ ἐπεὶ τριπλασία ἐστὶν ἡ ΗΑ τῆς ΑΦ, τρίτον μέρος ἐστὶν τὸ ὑπὸ τ τῆς ΓΑ ΑΦ τὸ ὑπὸ ΓΑ ΑΗ, τ του τ τέστιν τῶν ὑπὸ ΑΗ ΗΒ. ἔστω δὴ καὶ τ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΗ τρίτον μέρος τὸ ὑπὸ ΓΑ ΑΥ. λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΗ τριπλάσιόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΑΓ ΨΦ, τῶ δὲ ἀπὸ ΑΗ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΗΕ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΓ ΥΦ τρίτον μέρ μέρος ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΕΗ, ἴση δὲ ἡ ΓΑ τῆι ΑΘ, τὸ ἄρα ὑπο ΘΑ ΥΦ τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ ἀπὸ τ τῆς ΗΕ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ἀ πὸ τῆς ΚΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΕ, οὕτως ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΚΑ πρὸς τὸν κύκλον τὸν περὶ διά μετρον τὴν ΖΕ, ὡς δὲ ὁ κύκλος πρὸς τὸν κύκλ κύκλον , οὕτως ὁ κύλιν δρος, οὗ ἐστιν βάσις ὁ περὶ μετρ διάμετρον τὴν ΚΛ κύκλ κύκλος , πρὸς τὸν κύλινδρο κύλινδρον ο ὗ βάσις ὁ περὶ μετρό διάμετρόν ἐστι ἐστιν .

φ τὸ τμῆ μα εστι τὸ Η σημεῖον ὥστε ἐστὶν ὡς ἡ ΑΗ καὶ τετραπλασία τῆς ΗΓ πρὸς τὴν ΑΗ καὶ τὴν διπλασίαν τῆς ΗΓ, οὕτως τὰ πέν τ ε πρὸς τρία, κέντρον ἄρα τοῦ βάρους ἐστὶν τοῦ τμήμα τ ος τὸ Χ. εἰ δὲ μή ἐστιν ἡμισφαίριον, ἔστω ἐν μὲν τῶι ἑτέρωι σχήματι μεῖζ μεῖζον ἡμισφαιρίου, ἐν δὲ τῶι ἑτέρωι ἔλα σ σον. καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΓ, καὶ κείσ θω αὐτῆ ἴση ἡ ΑΘ, καὶ τῆι ἐκ τοῦ κέν τρου τῆς σφαίρας ἴση ἡ ΓΞ, καὶ νοείσθω ζυγὸς, τὸ μέσον δὲ αὐ τοῦ τὸ Α, γεγράφθω δὲ καὶ κύκλ κύκλος ἐν τῶι ἐπιπέδωι τῶι ἀποτέμν ἀποτέμνον τι τὸ τμῆμα κέντρωι μὲν τῶι Η, διαστήματι δὲ ἴσω τῶι Η η, καὶ ἀπὸ τοῦ κύκλου τούτου κῶνος ἀ νεστάτω κορυφὴν ἔχων τὸ Α σ ημεῖ ον, πλευραὶ δὲ ἔστωσαν τοῦ κών κώνου αἱ ΑΕ ΑΖ, καὶ ἤχθω τις τῆι ΕΖ πα ράλληλος ἡ ΚΛ καὶ συμβαλλέτω τῆι μὲν περιφερείαι τοῦ τμήματος κατὰ τὰ ΚΛ, τοῦ δὲ τοῦ ΑΕ ΑΖ κώ νου πλευραῖς κατὰ τὰ ΡΟ, τῆι δὲ ΑΓ κατὰ τὸ Η ἐπίπεδον ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς ΑΠ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΚΑ πρὸς τ ὸ ἀ πὸ ΑΠ, καί ἐστι τὸ μὲν ἀπὸ ΚΑ ἴσα τὰ ἀ πὸ τῶν ΑΠ ΠΚ, τῶι δὲ ἀπὸ τῆς ΑΠ τὸ ἀπὸ ΠΟ, ἐπεὶ καὶ τὸ ἀπὸ ΑΗ τὸ ἀ πὸ τῆς ΕΗ ἐστὶν ἴσον, ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς ΑΠ, οὕτως τὰ ἀπὸ ΚΠ ΠΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΟ. ὡς δὲ τὰ ἀπὸ ΚΠ ΠΟ πρὸς τὸ ἀ π ὸ ΠΟ, οὕτως ὁ κύκλος ὁ περὶ μετρον διάμετρον τὴν ΚΛ καὶ ὁ περὶ μετρο διάμετρον τὴν ΟΡ πρὸς τὸν κύ κλον τὸ ν περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΑ τῆι ΑΘ· ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΠ, οὕτως ὁ κύκλος ὁ περὶ δι άμετρον τὴν ΚΛ καὶ ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ πρὸς τὸν πε ρ ὶ διάμετρον τὴν ΟΡ καί ἐστι τ τοῦ μ μὲν περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ κύκλου κέν τρον τὸ Π τοῦ δὲ περίμετρον τὴν ΟΡ κύκλου κέντρον τὸ Θ. μετακείσθω οὖν ὁ περὶ μετρον διάμετρον τὴν ΟΡ κύκλον καὶ κείσθω τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε κέντρο κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ· ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΠ, οὕτως ὁ κύκλ κύκλος ὁ περὶ μετρον διάμετρον τὴ τὴν ΚΛ καὶ ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ αὐ τοῦ μένοντoς πρὸς τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ μετενεχθέντα καὶ τεθέντα τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ· ἰσόρροποι ἄρα οἱ κύκλοι ὅ τε ἐν τ τῶι τμήματι τῶι ΒΑΔ καὶ ὁ ἐν τῶι ΑΕΖ κώνω ι τῶι ἐν τῶι ΑΕΖ κώνωι κατὰ τὸ Α. ὁμοίως δὲ καὶ πάντες οἱ κύκλοι οἱ ἐν τῶι ΒΓΔ τμήματι καὶ ἐν τῶι ΑΕΖ κώνωι αὐτοῦ μένοντες κατὰ τὸ Α σημεῖον ἰσόρροποι πᾶσι τοῖς κύκλοις τοῖς ἐν τῶι ΑΕΖ κώνωι με τενεχθεῖσι καὶ τεθεῖσι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε κέντρον εἶναι αὐ τ ο ῦ τοῦ βά ρ ους τ ὸ Θ· ὥστε καὶ τὸ ΑΒΔ τμῆμα τῆς σφαίρας καὶ ὁ ΑΕΖ κῶνος ἰσόρροποι περὶ τὸ Α σημεῖ ον αὐτοῦ μένοντος τῶι ΕΑΖ κώνω μετενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε κέντρον εἶναι αὐ τοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ. ἔστω δὲ τῶι κώνωι τῶ ι βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΕΖ κ ύκ λο ν , κορυφ κορυφὴν δὲ τὸ Α σημεῖον, ἴσος κύλινδρος ὁ ΜΝ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΗ κατὰ τὸ Φ οὕτως, ὥστε τριπλασίαν εἶναι τὴ τὴν ΑΦ τῆς ΦΗ· τὸ Φ ἄρα σημεῖον κέντρο κέντρον ἐστὶν τοῦ βάρους τοῦ ΕΑΖ κώνου· τ τ οῦ το γὰρ γράφεται. καὶ τετμήσθω δὴ ὁ ΜΝ κύλινδρος ἐπιπέδωι π παρὰ τὴν βάσιν οὕτως, ὥστε τὸν Μ κύλι κύλιν δρον ἰσορροπεῖν τῶ ΕΑΖ κώνωι. ἐπεὶ οὖν ἰσόρροπος ὁ ΕΑΖ κῶνος καὶ τὸ ΑΒΔ τμῆμα αὐτοῦ μένον τα τῶι ΕΑΖ κώνωι μετενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥσ τε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ, καί ἐστιν το ΕΑΖ κώνωι ἴσ ἴσος ὁ ΜΝ κύλινδρος, καὶ κεῖται ἑκά τερος τῶ τῶι ΜΝ κυλίνδρωι κατὰ τὸ Θ, καὶ ἰσόρροπος ὁ ΜΝ κύλι κύλιν δ ρος τωι ΕΑΖ κώνωι. λοιπὸς ἄρα ὁ Ν κύλινδρος ἰσορροπεῖ τῶ ΒΑΔ τμήματι τῆς σφαίρας κατὰ τὸ Α σημεῖον. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΒΑΔ τμῆμα τῆς σφαίρας πρὸς τὸ τὸν κῶνον, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμε τρον τὴν ΒΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, οὕτως ἡ ΞΗ πρὸς ΗΓ· τ τοῦ το γὰρ προσγέγραπται. ὡς δὲ ὁ ΒΑΔ κῶνος πρὸς τὸν ΕΖ κῶνον, οὕτως ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΒΔ πρὸς τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμε τρον τὴν ΕΖ, ὡς δὲ ὁ κύκλος πρὸς τὸ τὸν κύκλον, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΕ, καί ἐστι τῶι μὲν ἀπὸ ΒΗ ἴσον τὸ ὑπὸ ΓΗ ΗΑ, τῶι δὲ ἀπὸ ΗΕ ἴσον τὸ ἀπὸ ΗΑ, ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΓΗ ΗΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΑ· ὡς ἄρα ὁ ΒΑΔ κῶνος πρὸς τὸν ΕΑΖ κῶνο κῶνον , οὕτως ἡ ΓΝ πρὸς ΗΑ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ ΒΑΔ κῶνος πρὸς ΒΑΔ τμῆμα, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΞ· δι᾽ ἴσου ἄρα ὡς τὸ ΒΑΔ πρὸς τὸν ΕΑΖ κῶνον, οὕτως ἡ ΞΗ πρὸς ΗΑ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΧ πρὸς ΧΗ, οὕτως ἡ ΗΑ καὶ ἡ τετραπλασία τῆς ΗΓ πρὸς τὴν ΑΗ καὶ τὴν διπλ διπλα σίαν τῆς ΗΓ, ἀνάπαλιν ἔσται ὡς ἡ ΗΧ πρὸς ΧΑ, οὕτως ἡ διπλασία τῆς ΓΗ καὶ ἡ ἑξαπλῆ τῆς ΗΑ. πρὸς τὴν τετραπλῆν τῆς ΓΗ καὶ τ τὴν ΗΑ. συνθέντι ὡς ἡ ΗΑ πρὸς ΑΧ, οὕτως ἡ ἑξαπλασία τῆς ΓΗ καὶ διπλ διπλα σίαν τὴν ΗΑ πρὸς τὴν ΗΑ καὶ τετρα πλῆν τὴν ΗΓ. καὶ τῆς μὲν ἑξαπλα σίας τῆς ΗΓ καὶ διπλασίας τῆς ΗΓ καὶ διπλασίας τῆς ΗΑΔ μέρος ἡ ΗΞ τῆς δὲ τετραπλασίας τῆς ΗΓ καὶ τῆς ΗΑ τέταρτον μέρος ἡ ΓΦ· τοῦτο γὰρ φανερόν· ὡς ἄρα ἡ ΗΑ πρὸς ΑΧ, οὕτως ἡ ΞΗ πρὸς ΓΦ· ὥστε καὶ ὡς ἡ ΞΗ πρὸς ΗΑ, οὕτως ἡ ΓΦ πρὸς ΧΑ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΞΗ πρὸς ΗΑ, οὕτως τὸ τμῆμα, οὗ ἐστι κορυφὴ τὸ Α σημεῖ σημεῖον , βάσις δὲ ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΒΔ κύκλος, πρὸς τὸν κῶνον, οὗ ἐστι κορυφὴ τὸ Α σημεῖον, βάσις δὲ ὁ περὶ διάμε τρον τὴν ΕΖ κύκλον· ὡς ἄρα τὸ ΒΑΔ τμῆμα πρὸς τὸν ΕΑΖ κῶνον, οὕτως ἡ ΓΦ πρὸς ΧΑ. καὶ ἐπεὶ ἰσόρροπος ὁ Μ κύλινδρος τῶι ΕΑΖ κώνωι κα κατὰ τὸ Α, καί ἐστι τοῦ μ μὲν Μ κυλίνδρου κέ κέν τρον βάρους τὸ Θ, τοῦ δὲ ΕΑΖ κών κώνου τὸ Φ, ἔσται ἄ ρ α ὡ ς ὁ ΕΑ Ζ κ ῶν ος πρὸς τὸ τὸν Μ κύλινδρον, οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΦ, τουτ τουτέστιν ἡ ΓΑ πρὸς ΑΦ. καί ἐστι τῶ ΕΑΖ κώνω ἴ σος ὁ ΜΝ κύλινδρος πρὸς τὸν Ν κύ λινδρον, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΦ. καί ἐστιν ἴσος ὁ ΜΝ κύλινδρος τῶι ΕΑΖ κώ νωι· ὡ ς ἄρα ὁ ΕΑΖ κῶνος πρὸς τὸν Ν κύλινδρον, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς ΓΦ, τ του τ τέστιν ἡ ΘΑ πρὸς ΓΦ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ Β ΑΔ τμῆμα πρὸς τὸν ΕΑΖ κῶνον, οὕτως ἡ ΓΦ πρὸς ΧΑ· δι᾽ ου ἴσου ἄρα ἔσται ὡς τὸ ΑΒΔ τμῆμα πρὸς τὸν Ν κύλινδρον, οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΧ. καὶ ἐδείχθη ἰσόρροπον τὸ ΒΑΔ τμῆμα τῶι Ν κυλίνδρωι κατὰ τὸ Α, καί ἐστι τοῦ Ν κυλίνδρ κυλίνδρου κέντρον βάρους τὸ Θ· καὶ τοῦ ΒΑΔ τμήματος κέντρον τὸ Χ. ἑξῆς τὸ ΣΧ ΣΧΗΜΑ .

Figure 9.1.

ὁμοίως δὲ τούτοις θεωρεῖται καὶ ὅτι παντὸς τμήματος σφαιροειδέος τὸ κέντρον ἐστὶν τοῦ βάρους ἐπὶ τ τῆς εὐθείας, ἥ ἐστιν ἄξων τοῦ τμήματ τμήματος , διηρημένης τῆς εὐθείας, ὥστε τὸ μέρος αὐτῆς τὸ πρὸς τῆ κο ρυφῆι τοῦ τμήματος πρὸς τὸ λοιπ λοιπὸν τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει συ ναμφότερος ὅ τε ἄξων τοῦ τμή ματος καὶ ἡ τετραπλασία τ τοῦ ἄξονος τ τοῦ ἐν τῶι ἀντικειμένωι τμήματι πρὸς συναμφότερον τόν τε ἄξονα τοῦ τμήματος καὶ τὴ τὴν διπλασίαν τ τοῦ ἄξονος τοῦ ἐν τ τῶ ἀντικειμένωι τμήματι ἐν τῆι ἐ χομένηι.

θεωρεῖται δὲ δ διὰ τ τοῦ τρόπ τρόπου τούτου καὶ διότι παντὸς ἀμβλυγω νίου πρὸς τ ὸ ν κῶνον τὸν βάσιν ἔχον τ α τὰν αὐτὰν τῶι τμήματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἔχει λόγο λόγον , ὃν ἔχει συναμφότερος ὅ τε ἄξω ἄξων τοῦ τμήματος καὶ ἡ τριπλασία τῆς προσούσης τῶι ἄξονι πρὸς συ ναμφότερον τόν τε ἄξονα τοῦ τμή ματος τοῦ κωνοειδοῦς καὶ τὴν δι πλασίαν τῆς προσούσης τῶι ἄξο νι, κέντρον δὲ τοῦ βάρους τοῦ ἀμβλυ γωνίου κωνοειδέος τμηθέντος τοῦ ἄξονος αὐτοῦ ὥστε τὸ πρὸς τῆι κορυφῆι τμῆμα πρὸς τὸν λοιπὸν λό γον ἔχει, ὃν ἔχει ἡ τετραπλασία τοῦ ἄξονος καὶ ὀκταπλασία τῆς προκειμένης πρὸς τὸν ἄξονα αὐτοῦ τοῦ κωνοειδέος καὶ τὴν τετρα πλασίαν αὐτῆς τῆς προκειμένη ὄντων δὲ καὶ ἄλλων πλειόνων ὁ μοίων τούτοις θεωρουμένων τὰ πλείω περιλήψομεν. ἀρκοῦντος γὰρ ὁ τρόπος ὑποδέδεικται διὰ τ τῶν προειρημένων.

ἐὰν εἰς πρίσμα ὀρθὸν τετραγώνους ἔχοντι βάσ βάσεις κύλινδρος ἐγγραφῆ τὰς μὲν βά σεις ἔχων ἐν τοῖς ἀπεναντίον τετραγώνοις, τὴν δὲ ἐπιφάνεια ἐπιφάνειαν τ τῶν λοιπῶν παραλληλογράμμων τεσσάρων ἐπιπέδων ἐφαπτόμε νον, διὰ δὲ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ὅ ἐστι βάσις τοῦ κυλίνδρου, καὶ μιᾶς πλευ ρᾶς τοῦ τετραγώνου ἐπίπε δον ἀχθῆ τὸ ἀποτμηθὲν σχῆ μα ὑπὸ τοῦ ἀχθέντος ἐπιπέδ ἐπιπέδου ϛ ἐστὶ μέρος τοῦ ὅλου πρίσματος, διὰ τοῦ τρόπου τούτου θεωρεῖται. δείξαντες δὴ ἀναχωρήσομεν ἐπὶ τὴν διὰ τῶν γεωμετρουμέ νων ἀπόδειξιν αὐτοῦ.

νοείσθω πρίσμα ὀρθὸν τετραγώνους ἔχ ἔχον βάσεις ἐν τῶι πρίσματι κύλιν δρος ἐγγεγραμμένος ὡς εἴρη ται, τμηθέντος δὲ τοῦ πρίσμα τος διὰ τοῦ ἄξονος ἐπιπέδωι ὀρ θῶι πρὸς τὸ ἐπίπεδον τὸ ἀποτετμη κὸς τὸ τμῆμα τοῦ κυλίνδρου τ τοῦ μὲν πρίσματος τ τοῦ κύλίνδρου κοινὴ τομὴ ἔστω ΑΒ παραλληλό γραμμον, τοῦ δὲ ἐπιπέδου τοῦ ἀ ποτετμηκότος τὸ τμῆμα ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου καὶ τοῦ διὰ τοῦ ἄξο νος ἠγμένου ἐπιπέδου ὀρθοῦ πρὸς τὸ ἐπίπεδον τὸ ἀποτετμηκὸς τὸ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου τμῆμα κοι νὴ τομὴ ἔστω ἡ ΒΓ εὐθεῖα, ἄξω ἄξων δὲ ἔστω τοῦ πρίσματος καὶ τοῦ κυλίνδρου ἡ ΓΔ εὐθεῖα, καὶ τεμνέ τω αὐτὴν ἡ ΕΖ δίχα καὶ πρὸς ὀρθ ὀρθάς , καὶ διὰ τῆς ΕΖ ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΓΔ· ποιήσει δὴ τοῦ το ἐν μὲν τῶ πρίσματι τομὴν τετράγωνον, ἐν δὲ τῶι κυλίνδρωι τομὴν κύκλον. ἔστω οὖν τοῦ μὲν πρίσματος τομὴ τὸ ΜΝ τετρά γωνον, τοῦ δὲ κυλίνδρου ὁ ΞΟ ΠΟ κύκλ κύκλος ἔστω δὴ τ ὰ Π σημεῖα ὥστε ἐφαπτέσθω ὁ κύκλος τῶν τοῦ τετραγώνου πλευρῶν κατὰ τὰ ΞΟΠΡ σημεῖα, τοῦ δὲ ἐπιπέδου τοῦ ἀποτετμηκότος τὸ τμῆμα ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου καὶ τοῦ διὰ τῆς ΕΖ ἀχθέντος ἐπιπέδου ὀρθοῦ πρὸς τὸν ἄξονα τοῦ κυλίνδρου κοινὴ τομὴ ἔστω ἡ ΚΛ εὐθεῖα· τέμνει δὲ αὐτὴν δίχα ἡ ΠΘΞ. ἤχθω δέ τις εὐθεῖα ἐν τῶ ΟΠΡ ἡμικυκλίωι ἡ ΣΤ πρὸς ὀρθ ὀρθὰς οὖ σα τῆι ΠΞ, καὶ ἀπὸ τῆς ΣΤ ἐπί πεδον ἀνασταθὲν ὀρθὸν πρὸς τ τ ὴν ΞΠ ἐκβεβλήσθω ἐφ᾽ ἑκάτερα τὸ ἐπίπεδον, ἐν ὧι ἐστιν ὁ ΞΟΠΡ κύ κλος· ποιήσει δὴ τοῦτο ἐν τῶι ἡμικυ λίνδρωι, οὗ ἐστι βάσις τὸ ΟΠΡ ἡμικύ κλιος, ὕψος δὲ ὁ ἄξων τοῦ πρίσ ματος, τομὴν παραλληλόγραμ μον, οὗ ἔσται μία μὲν πλευρὰ ἴ σηι τῆι ΣΤ, ἡ δὲ ἑτέραι τῆι τοῦ κυ λίνδρου πλευρᾶι, ποιήσει δὲ κ καὶ ἐν τῶι τμήματι τῶι ἀποτετμη μένωι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου τὸ ΜΗ παραλληλόγραμμον, οὗ ἐστιν ἡ μὲν ἑτέρα πλευρὰ ἴση τῆι ΝΥ·

ἔστω δ’ οὕτως ἡ ΝΥ ἠγμένη ἐν τῶι ΔΕ παραλληλογράμμωι παράλλη λος οὖσα τῆι ΒΩ ἴσην ἀπολαμ βάνουσα τὴν ΣΙ τῆι ΠΧ. καὶ ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΕΓ, καὶ παράλληλος ἡ ΝΙ τῆι ΘΓ, καὶ δὴ ἠγμέναι ἐστὶν καἱ ΕΘ ΘΒ, ἔστιν ὡς ἡ ΕΘ πρὸς ΘΙ, οὕτως ὡς ἡ ΩΓ πρὸς ΓΝ, του τ τέστιν ἡ ΒΩ πρὸς ΥΝ. ὡς δὲ ἡ ΒΩ πρὸς ΥΝ, οὕτως τὸ παράλληλον τὸ γενόμενο γενόμενον ἐν τῶι ἡμικυλινδρίωι πρὸς τὸ γε νόμενον ἐν τῶι ἀποτμήμα τι τῶι ἀποτμηθέντι ἀπὸ τ τοῦ κυλίνδρου· ἀμφότερον γὰρ τ τῶν παραλληλογράμμων ἡ αὐτὴ πλευρά ἐστιν ἡ ΟΤ· καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΘ τῆι ΘΠ, ἡ δὲ ΙΘ τῆι ΧΘ· καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΠΘ τῆι ΘΞ, ὡς ἄρα ἡ Θ πρὸς ΘΧ, οὕτως τὸ γενόμενον παραλ ληλόγραμμον ἔστω ἡμικυλίνδρι ἡμικυλίνδριον πρὸς τὸ γενόμενον ἐν τῶι ἀποτμή ματι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου.

νοείσ θω μετακείμενον τῶι ἐν τῶι τμήματι παραλληλόγραμμ παραλληλόγραμμον καὶ κείμενον κατὰ τὸ Ξ, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτ αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Ξ, καί ἐστι νοείσθω ζυγ ζυγὸς ἡ ΠΞ, μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Θ· ἰσορροπεῖ δὴ περὶ τὸ Θ σημεῖον τὸ παραλληλόγραμ μον τὸ ἐν τῶι ἡμικυλινδρίωι τὸ γε νόμενον τῶι παραλληλόγραμμ παραλληλόγραμμον τῶι γενομένωι τῶι ἀποτμήμα τι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου μετενεχθέν τι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Ξ οὕτως, ἔσται κέντρον εἶναι τοῦ αὐτοῦ βάρους τὸ Ξ σημεῖον. καὶ ἐπεί ἐστι τοῦ μὲν παραλληλογράμμου τοῦ γενομένου ἐν τῶι ἡμικυλινδρίωι κέντρον τοῦ βάρους τὸ Χ, τοῦ δὲ πα ραλληλογράμμου τοῦ γενομένου ἐν τῶι τμήματι τῶι ἀποτμηθέν τι μετενηνεγμένου κέντρον τοῦ βάρους τὸ Ξ, καὶ τὸν αὐτὸν ἔχει λό λόγον ἡ ΞΘ πρὸς ΘΧ, ὃν τὸ παραλληλόγραμ μον, οὗ εἴπαμεν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Χ, πρὸς τὸ παραλληλό γραμμον, οὗ εἴπαμεν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Ξ, ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἐὰν ἄλλη τις ἀχθῆι ἐν τῶι ΟΠΡ ἡμικυκλίωι πρὸς ὀρθὰς τῆι ΠΘ, καὶ ἀπὸ τῆς ἀ χθείσης ἐπίπεδον ἀνασταθῆ ὀρθὸν πρὸς τὴν ΠΘ καὶ ἐκβληθῆι ἐ φ᾽ ἑκάτερα τοῦ ἐπιπέδου τοῦ ἐ ν ὧι ἐστιν ὁ ΞΟ ΠΡ κύκλος, ὅτι τὸ γινόμε νον παραλληλόγραμμον ἐν τῶι ἡμικυλινδρίωι ἰσόρροπον περὶ τὸ Θ σημεῖον αὐτοῦ μένον τῶι πα ραλληλογράμμωι τῶι γενομένωι ἐν τῶι τμήματι τῶι ἀποτμηθέν τι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου μετενεχθέν τι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Ξ οὕτως, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Ξ σημεῖον. καὶ πᾶν ἄρα τὰ παραλληλόγραμμα τὰ γενό μενα ἐν τῶι ἡμικυλινδρίωι αὐτοῦ μένοντα ἰσορροπήσει περὶ τὸ Θ σημεῖον πᾶσι τοῖς παραλληλο γράμμοις τοῖς γενομένοις ἐν τῶι τμήματι τῶι ἀποτμηθέντι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου μετενηνεγμέ νους κειμένους τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Ξ σημεῖον ἰσορροπεῖν καὶ τὸ ἡ μικυλίνδριον αὐτοῦ μένον περὶ τὸ Θ σημεῖον τῶι τμήματι τῶι ἀ ποτμηθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγ ζυγοῦ κατὰ τὸ Ξ οὕτως, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Ξ σημεῖον.

Figure 12.1

Ἔστω δὴ πάλιν τὸ περὶ μέσον τὸν ἄ ξονα παραλληλόγραμμον τὸ ΜΝ καὶ ὁ κύκλος ὁ ΞΟ ΠΡ, καὶ ἐπεζεύχθω σαν αἱ ΘΗ ΘΜ καὶ ἀνεστάτω ἐπὶ αὐτῶν ἐπίπεδα ὀρθὰ πρὸς τὸ ἐπί πεδον, ἐν ὧι ἐστιν τὸ ΞΟ ΠΡ κύκλος, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφ᾽ ἑκάτερα τὰ εἰρημένα ἐπίπεδα· ἔσται δή τι πρίσμα βάσιν μὲν ἔχον τηλικαύ την, ἡλίκη ἐστὶ τὸ ΘΜΗ τρίγωνον, ὕ ψος δὲ ἴσον τῶι ἄξονι τοῦ κυλίν δρου, καί ἐστι τὸ πρίσμα τοῦτο τέταρ τέταρτον μέρος τοῦ ὅλου πρίσματος τ ο ῦ περὶ ὅλον τὸν κύλινδρον. ἤχθωσ ἤχθωσαν δέ τινες εὐθεῖαι ἐν τῶι ΟΠΡ ἡμικυ κλίω καὶ ἐν τῶι ΜΝ τετραγώνωι αἱ ΚΛ ΤΥ ἴσον ἀπέχουσαι τῆι ΣΠΞ· τέμνουσιν δὴ αὗται τὴν μ μὲν τοῦ ΟΠΡ ἡμικυκλίου περιφέρεια περιφέρειαν κατὰ τὰ ΚΤ σημεῖα, τὴν δὲ ΟΡ μετρον διάμετρον κατὰ τὰ ΕΖ, τὰς δὲ ΘΗ ΘΜ κατὰ τὰ ΦΧ, καὶ ἀνεστάτω ἀ πὸ τῶν ΚΛ ΤΥ ἐπίπεδα ὀρθὰ πρὸς τὴν ΟΡ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφ᾽ ἑ κάτερα τοῦ ἐπιπέδου, ἐν ὧι ἐστι ἐστιν ὁ ΟΞ ΠΡ κύκλ κύκλος · ποιοῦσι δὴ τὸ αὗται ἐν μὲν τῶι ἡμικυλινδρίωι, οὗ βάσις μέν ἐστιν τὸ ΟΠΡ ἡμικύκλιον, ὕψ ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῶι κυλίνδρω, τομὴν πα ραλληλόγραμμον, οὗ ἔσται μία μὲν πλευρὰ ἴση τῆι ΚΕ, ἡ δὲ ἑτέρα ἴση τῶι ἄξονι τοῦ κυλίνδρου, ἐν δὲ τῶι πρίσματι τῶι ΘΗ ΝΜ ὁμοί ως παραλληλόγραμμον, οὗ ἔσται μία μὲν ἴση τῆι Χ, ἡ δὲ ἑτέρα ἴση τῶι ἄξονι· διὰ τὰ αὐτὰ τῶ ἐν τῶι αὐτῶι ἡμικυλινδρίωι ἔσται τὸ μ μὲν παραλληλόγραμμον, οὗ ἔσται μί α μὲν πλευρὰ ἴσηι τῆι ΤΖ, ἡ δὲ ἑτέρα ἴση τῶι ἄξονι τοῦ κυλίν δρου, ἐν δὲ τῶι πρίσματι μία μ μὲν πλευρὰ ἴση τῆι ΦΥ, ἡ δὲ ἑτέρα ἴση τῶι ἄξονι τοῦ κυλίνδρου καὶ

ἔστω πρίσμα ὀρθὸν τετραγών ἔχον βάσ βάσεις , καὶ ἔστω αὐτοῦ μία τῶ τῶν βάσεων τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸ πρίσμα κύ λινδρος, καὶ ἔστω τοῦ κυλίνδρου βάσις ὁ ΕΖ ΗΘ κύκλος ἐφαπτό μενος τῆς τοῦ τετραγώνου πλευ ρᾶς τῆς Ε κατεναντίον ἐπιπέ δωι τοῦ ΑΒ ΓΔ τῆς κατὰ τὴν ΓΔ ἐπίπεδον ἤχθω· ἀποτεμεῖ ἀ ποτεμεῖ δὴ τοῦτο ἀπὸ τοῦ ὅλου πρίσματος ἔσται τέταρτον μέρ μέρος τοῦ ὅλου πρίσματος. αὐτὸ δὲ τοῦτο ἔσται περιεχόμενον ὑπὸ τριῶν παραλληλογράμμων καὶ δύο τρι γώνων κατεναντίον ἀλλήλοις. γεγράφθω δὴ ἐν τῶι ΕΖΗ ἡμικυ κλίωι ὀρθογωνίου κώνου τομή, διάμετρος δὲ αὐτῆς ἔστω ἡ ΖΚ, ἔστω δὲ καὶ παρ’ ἣν δύνανται αἱ καταγόμεναι ἐν τῆι τομῆι αὐ τὴ ἡ ΖΚ καὶ ἤχθω τις ἐν τῶ ΔΗ παραλληλογράμμωι ἡ ΜΝ παράλληλ παράλληλος οὖσα τῆι ΚΖ· τεμεῖ δὴ αὕτη τὴν μὲν τοῦ ἡμικυκλί ἡμικυκλίου περιφέρειαν κατὰ τὸ Σ, τὴν δὲ τ τοῦ κώνου τομὴν κατὰ τὸ Λ. καί ἔστ ἔσται ἴσον τὸ ὑπὸ ΜΝΛ τῶι ἀπὸ τῆς ΝΣ· τοῦτο γάρ ἐστι σαφές· διὰ τοῦ το δὴ ἔστ ἔσται , ὡς ἡ ΜΝ πρὸς ΝΛ, οὕτ οὕτως τὸ ἀπὸ ΜΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΣ. καὶ ἀ πὸ τῆς ΜΝ ἐπίπεδον ἀνεστά τω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΕΗ· ποιήσει δὴ τὸ ἐπίπεδον ἐν τῶι πρίσματι τῶι ἀποτμηθέντι ἀπὸ τοῦ ὅλ ὅλου πρίσματος τομὴν τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἔσται μία τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ἡ ΜΝ, ἡ δὲ ἑ τέραι ἐν τῶι ἐπιπέδω τῶι κατὰ τὴ τὴν ΓΔ ὀρθὴν πρὸς τὴν ΓΔ ἀνεσταμένη ἀπὸ τοῦ Μ ἴση τῶι ἄξονι τοῦ κυλί κυλίν δρου, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ἐν αὐτῶ τῶι τέμνοντι ἐπιπέδω· ποιήσει δὴ κ αὶ ἐν τῶι τμήματι τῶι ἀποτμη θέντι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ ἀχθέντος διὰ τῆς ΕΗ καὶ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρ πλευρᾶς τῆς κατεναντίον τῆς ΓΔ τομὴν τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἔσται μί α τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ἡ ΝΣ, ἡ δὲ ἑτέρα ἐν τ ῆι ἐπιφανείαι τοῦ κυλίνδρου ἀνεσταμένη ἀ πὸ τοῦ Σ ὀρθὴ πρὸς τὸ ΔΗ ἐπίπεδον, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ἐν τῶι τέμνον τι ἐπιπέδωι, καὶ ἔσται τὰ τρίγω να ὅμοια. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΜΝ ΝΛ τῶι ἀπὸ ΝΣ· τοῦτο γὰρ φανερὸν τὸ σχῆμα. ἔσται ὡς ἡ ΜΝ πρὸς ΝΛ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΜΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΣ, ὡ ς δὲ τὸ ἀπὸ ΜΝ πρὸς τὸ ἀπὸ Ν Σ , οὕτως τὸ ἀπὸ τὴν ΜΝ τρίγω νον ἐν τῶι ὅλωι ἀποτμηθέντι πρ πρίσ ματι πρὸς τὸ ἀ πὸ τὴν Ν Σ τρίγωνον τὸ ἐν τῶι ἀποτεμνομένωι τὸ ἀ πὸ τοῦ κυλίνδρου ἀφηρημένον. ὡς ἄρα ἡ ΜΝ πρὸς ΝΛ, οὕ τως τ ὸ τρίγων τρίγωνον πρὸς τὸ τρίγωνον. ὁμοίως δὲ δειχθή σεται, καί ἐν ἄλλη τις ἀχθῆ ἐν τῶι ΔΗ παραλληλογράμμωι π παρὰ τὴν ΚΖ, καὶ ἀπὸ τῆς ἀχθείσης ἐπίπεδον ἀνασταθῆ ὀρθὸν πρὸς τ τὴν ΕΗ, ὅτι ἔσται ὡς τὸ τρίγωνον τὸ γε νόμενον ἐν τῶι πρίσματι πρὸς τὸ τρίγωνον τὸ ἐν τῶι ἀποτμήμα ἀποτμήματι τὸ ἐν τῶι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου, οὕτως ἡ ἀχθεῖσα ἐν τῶι ΔΗ παραλλη λογράμμωι παράλληλος οὖσα τῆ ΚΖ πρὸς τὴν ἀποληφθεῖσαν ἀπὸ τῆς ΗΖ τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ διαμέτρου. συμ πληρωθέντος οὖν τοῦ τε ΔΗ πα ραλληλογράμμου ὑπὸ τῶν ἀγομέ νων παρὰ τὴν ΚΖ καὶ τοῦ τμή ματος τοῦ περιεχομένου ὑπό τε τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ μέτρου διαμέτρου ὑπὸ τῶν ἀ πολαμβανομένων ἐν τῶ τμ τμή ματι· συμπληρωθέντος δὲ καὶ τοῦ πρίσματος ὑπὸ τῶν τριγώ νων τῶν γενομένων ἐν αὐτῶι, καὶ τοῦ τμήματος τοῦ ἀποτμη θέντος ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου· ἔσται τινὰ μεγέθη ἴσα ἀλλήλοις, τὰ τρί γωνα τὰ ἐν τῶι πρίσματι, καὶ ἕ τερα μεγέθη, αἵ εἰσιν εὐθεῖαι ἐν τῶ ΔΗ παραλληλογράμμω πα ράλληλοι οὖσαι τ ῆ ι ΖΚ ἴσαι ἀλ λήλοις καὶ ἔτι τῶι πλήθει ἴσα τοῖς ἐν τῶ πρίσματι τριγών τριγώνοις · ἔσται δὲ καὶ ἕτερα τρίγωνα τὰ γενόμενα ἐν τῶι ἀποτμηθέν τι ἴσα τῶι πλήθει τοῖς γενομέν οις ἐν τῶι πρίσματι τρι γώνοις· καὶ αἱ ἕτεραι εὐθ εῖ αι ἀπολαμβανόμεναι ἀ πὸ τῶν ἀγομένων π παρὰ τὴν ΚΖ μεταξὺ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ ἴσαι τῶι πλήθει ταῖς ἐν τῶι ΔΗ παραλ ληλογράμμωι ἠγμέναις π παρὰ τὴν ΚΖ· καὶ ἔσται πάντα τὰ τρίγωνα τὰ ἐν τῶι πρίσματι πρὸς πάντα τὰ τρίγωνα τὰ ἐν τῶι ἀποτμηθέντι τῶι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου ἀφηρημένα, οὕτως πᾶσαι αἱ εὐθεῖαι αἱ ἐν τῶι ΔΗ παραλληλογράμμωι πρὸς πάσας τὰς εὐθείας τὰς μετα ξὺ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας. καὶ ἐκ μὲν τῶν ἐν τῶι πρίσματι τρι γώνων σύγκειται τὸ πρίσμα, ἐκ δὲ τῶν ἐν τῶι ἀποτμήματι τῶι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου τὸ ἀπότμη μα, ἐκ δὲ τῶν εὐθειῶν τῶν ἐν τῶι ΔΗ παραλληλογράμμωι τῶν παρὰ τὴν ΚΖ τὸ ΔΗ παραλλη λόγραμμον, ἐκ δὲ τῶν εὐθειῶν μεταξὺ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώ νου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ τὸ τμῆ μα τῆς παραβολῆς· ὡς ἄρα τὸ πρ πρίσ μα πρὸς τὸ ἀπότμημα το τοοῦ ἀπὸ τ τοῦ κυλίνδρου, οὕτως τὸ ΔΗ παραλ ληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΖΗ τμῆμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας· ἡμιόλιον δέ ἐστι τὸ ΔΗ παραλληλόγραμμον τοῦ τμήματος τοῦ περιεχομέν περιεχομένου ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας· δέ δεικται γὰρ τοῦτο ἐν τοῖς πρότερο πρότερον ἐκδεδομένοις· ἡμιόλιον ἄρα ἐστὶ κα ὶ τὸ πρίσ μα τ τοῦ ἀποτμήματ ἀποτμήματος τοῦ ἀφηρημένου ἀπὸ τοῦ κυλίν δρου· οἵων ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπότμημα τοῦ κυλίνδρου δύο, τοιούτων ἔσται τὸ πρίσμα τριῶν τοιούτων ἐστὶν τὸ ὅλον πρίσμα τὸ περὶ ὅλον τὸν κύλινδρον ΙΒ διὰ τὸ Δ εἶναι τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου· οἵων ἄρα τὸ ἀπότμημα τοῦ κυλίνδρου δύο, τοιούτων ἐστὶ ἐστὶν τὸ ὅλον πρίσμα ΙΒ· ὥστε τὸ τμῆ μα τὸ ἀποτμηθὲν ἀπὸ τοῦ ὅλ ὅλου κυλίνδρου ἕκτον μέρος ἐστὶ τ τοῦ ὅλου πρίσματος.

Figure 14.1

ἜΣΤω πρίσμα ὀρθὸν τετραγώνους ἔχον βάσεις, ὧν μία ἔστω τὸ ΑΒ ΓΔ τετράγωνον, καὶ ἀπειλήφθω εἰς τὸ πρίσμα ὁ κύλινδρος, οὗ βάσ βάσις ἔστω ὁ ΕΖ ΗΘ κύκλος· ἐφάψεται δὴ οὗτος τῶν τοῦ τετραγώνου πλευ ρῶν κατὰ τὰ ΕΖ ΗΘ σημεῖα· κέν τρον δὲ αὐτοῦ ἔστω τὸ Κ, διὰ δὲ τῆς ΕΗ διαμέτρου καὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ τετραγώνου τοῦ ἐν τῆι ἑτέ ραι βάσει τοῦ πρίσματος τοῦ κατὰ τὴν ΓΔ ἐπίπεδον ἤχθω· τοῦτο δὴ τὸ ἐπίπεδον ἀποτέμνει πρίσμα ἀπὸ τοῦ ὅλου πρίσματος καὶ ἀπὸ τῆς βάσε βάσεως καὶ ἀπὸ τοῦ κυ λίνδρου. τμῆμα τοῦτο ἔσται δὲ τὸ τμῆμα τὸ ἀποτμηθὲν ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου ὑπὸ τ τοῦ ἀχθέντος ἐπιπέδου ἕκτον μέρος ὧν δει χθήσεται τοῦ ὅλου πρίσματος.

πρῶτον δὲ δείξομεν ὅτι δυνατ δυνατὸν ἔσται εἰς τὸ τμῆμα τὸ ἀποτμη θὲν ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου σχῆμα στερεὸν ἐγγράψαι καὶ ἄλλο περι γράψαι ἐκ πρισμάτων συγκεί μενον ἴσον ὕψος ἐχόντων κ καὶ β άσεις τριγώνους ἐχόντων ὁ μοίας, ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆ μ α τοῦ ἐγγραφέντος ὑπερέ χ ειν ἐλάσσο νι παντὸς τοῦ δοθ δοθέν τος στερεοῦ μεγέθους. τούτου γὰρ τοῦ πρίσματος τοῦ κατὰ τὸ ΕΔ ΖΗ παραλληλογράμμ παραλληλογράμμου ἐστὶν τοῦ μὲν πρίσματος τοῦ ἀποτεμνομένου ὑπὸ τοῦ λοξ λοξοῦ ἐ πιπέδου ἥμισυ, τοῦ δὲ ὅλου πρ πρίσ ματος η μέρος τούτου ἀεὶ δί χα τεμνομένου ὀρθοῖς ἐπιπέδ ἐπιπέδοις πρὸς τὴν ΕΗ ἔσται ποτὲ τὸ κα κατα λειπόμενον πρίσμα ελασσ ἔλασσον ἥμισυ τοῦ δοθέντος στερεοῦ με γέθους λελείφθω καὶ ἔστω κα ταλειπόμενον τ ὸ πρίσμα τὸ βά σεις μὲν ἔχο ν τὰ τρίγωνα τὰ κ ατὰ τὰς ΖΚ ΛΜ εὐθείας, ὕ ψος δὲ ἴσον τῆι ΚΜ. αὐτὸ δὴ τὸ πρίσμα ἔλασσόν ἐστιν ἢ τὸ ἥ μισυ τοῦ δοθέντος στερεο ῦ μεγέ θους διὰ τὰ ἤχθωσαν π α ρά λλ η λ οι τῆι ΚΖ αἱ ΜΛ ΠΡΣΤ τέμν τέμνου σι δὲ αὗται τὴν ΕΖ περιφέρειαν ε ν κατὰ τὰ ΝΞΟ σημεῖα η ων τούτων πα ράλληλοι ἤχθωσαν τῆι ΚΕ ἐφ’ ἑ κάτερα τούτων ἕως τῆς ν ἐγγύς παραλλήλου τῆς ΚΖ αἱ ΑΒΓ ΔΕΖ καὶ ἀπὸ τ τῶν ΜΛΠ ΡΣΤ ἐπίπεδα ἀνεστάτω ὀρθὰ πρὸς τὴν ΕΚ ἕως τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου ἀπὸ δὲ τῶν παραλλήλων εὐθειῶν τῶν ΑΒ ΓΔ ΕΖ ἐπίπεδα ἀνε στάτω ὀρθὰ πρὸς τὸ Ε Ζ παραλλη λόγραμμον ἕως οὗ ἐπιπίπτου σιν τῶ τέμνοντι ἐπιπέδωι. ἔ σ ται δή τι σχῆμ α στ ε ρ ε ὸν ἐ γγε γραμμένον ἐν τῶι σ χή ματι ἀνὰ μέσον τοῦ τμήματος τοῦ ἀποτμηθέντος ἀπὸ τοῦ κυλίν δρου καὶ ἄλλο περιγεγραμμέν περιγεγραμμένον ἐκ πρισμάτων συγκείμενον οἵων εἴρηται καὶ τῶν μ ὲ ν τρ ί τω ν ἐγγεγραμμένωι σχήματι πρισμάτων μέγιστον τὸ κατὰ τὸ ΚΟ παραλληλόγραμμον τῶν δὲ ἐν τῶι περιγεγραμμέν περιγεγραμμένωι μέγιστόν ἐσ τι τ ὸ ΚΛ παραλλη λόγραμμον καί ἐστι ἔλασσον τῶν μὲν ἐν τῶι ἐγγ εγραμμενωι σχήματι πρισμάτων τὸ κατὰ τὴν ΠΟ παραλληλόγραμμον τῶν δὲ ἐν τῶι περιγεγραμμένωι τὸ κατὰ τὴν ΕΟ ὁμοίως δὴ ἐγγεγράφθω καὶ εἰς τὸ ἄλλο ἥμι σ υ τοῦ τμήματος σχῆμα στερε ὸν καὶ ἄλλο περιγεγράφθω ἐκ πρισμάτων ἴσων καὶ ὁμοίων αὐ τ οῖς συγκειμένων λοιπὸν δὲ δεῖξαι ὅτι τὸ περιγεγραμμέν περιγεγραμμένον σχῆμα τοῦ ἐγγεγραμμένου ὑ περέχει ἑκάστου τοῦ δοθέντος στεροῦ μεγέθους ἐπεὶ γ ὰρ τὸ ἔ λασσον τῶν πρισμάτων τῶν ἐν τῶι περιγεγραμμένωι σχή ματι τὸ κατὰ τὸ ΘΟ παραλλη λόγραμμον ἴσον ἐστὶν τῶι ἐλάσ σο νι πρίσματι τῶι ἐν τῶι ἐγγε γραμμένωι τῶι κατὰ τὸ Π Ο πα

ραλληλόγραμμον βάσιν γὰρ ἔ χει ἴσον αὐτῶ καὶ ὕψος ἴσον ὁ μο ίως δὲ καὶ τὸ δεύτερον πρίσμα τῶν ἐν τῶι ἐγεγραμμένω σχή μ ατι ἴσον ἐστὶν τῶ δευτέρωι πρ πρίσ ματι τ ῶ ν ἐν τῶι περιγεγραμ μένωι σχήματι πρισμάτων κατὰ τὸ αὐτὸ ὄντι. δῆλον ἄρα ὅτι τ ὸ γεγραμμένον σχῆμα περὶ τὸ ἥμισυ τοῦ τμήματος τοῦ ἀπο τμηθέντος ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου μεῖζόν ἐστιν τοῦ ἐγγεγραμμέν ἐγγεγραμμένου ἐν αὐτῶι σχήματος ἐν τῶι πρ πρίσ ματι τῶι κατὰ τὸ ΖΜ παραλλη λόγραμμον δ έ ἐστ ιν ἔλασσ ἔλασσον

τοῦ κυλίν δρου ἔλασσον ἄρα ἢ ἡμιό λιον τοῦ πρίσματος τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου τοῦ ἐγγεγραμμένου εἰς τὸ ἀπότμημα τοῦ ἀπὸ τοῦ κυ λίνδρου στερεοῦ. ἐδείχθη ὡς τὸ ἀπὸ τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου ἀφη ρημένου πρίσματος πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον στερεὸν εἰς τὸ ἀπότμημα τὸ ἀπὸ τοῦ κυλίν δρου, οὕτως τὸ ΔΗ παραλληλό γραμμον πρὸς τὰ ἐγγεγραμμέ να παραλληλόγραμμα εἰς τὸ τμῆμα περιεχόμενον ὑπὸ τ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας· ἔλασσον ἄρα ἢ ἡμιόλιον τὸ ΔΗ παραλληλό γραμμον τῶν παραλληλογράμ μων τῶν ἐν τῶι τμήματι τῶι περιεχομένωι ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρ θογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας· ὅ ὅπερ ἀδύνα ἀδύνατον , ὅλου γὰρ τοῦ τμήματος τοῦ περιεχομέν περιεχομένου ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τ τῆς ΕΗ εὐθείας ἡμιόλι ον δέδεικται τὸ ΔΗ παραλληλό γραμμον ἐν ἑτέροις. οὐκ ἄρα μεῖ ζόν ἐστι τὸ ἀπότμημα τὸ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου περὶ τὸ ἀπότμη μα τὸ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου στε ρεοῦ ενε ἀ ποτεμνομεν σχῆμα τα ὅμοιον ἔστω τὸ περιγραφὲν μεῖζον τοῦ γρα φέντος ἐλάσσονι ὑπεροχῆι ἧ ὑπερέχει τὸ πρίσμα τοῦ ἡμιολίου τοῦ τμήματος τοῦ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου. ἐγγεγράφθω δὲ ἐν τῶ τμή ματι τῶι περιεχομένω ὑπό τε τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας καὶ περι γεγράφθω καὶ ἔσται ὁμοίως τοῖς πρότερον τὸ περιγρα φὲν στερεὸν σχῆμα καὶ τὸ ἐγγεγραμ μένον ἐν τῶι ἀποτμηθέντι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου καὶ πάλιν ἔστω τὸ Ψ στερεὸν μεῖζον τοῦ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου τῶι ἀπὸ τοῦ σχήματος ἐλάσσονι τοῦ ἔστιν καὶ τὸ Ψ μεῖζον τοῦ ἐγγε γραμμένου σχήματος εἰς τὸ τμῆ μα τοῦ κυλίνδρου καὶ ἔσται τινὰ μεγέθη ἴσα ἀλλήλοις τὰ πρίσματα τὰ ἐν τῶι πρίσματι τῶι ἀποτετμημένωι ὑπὸ τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου καὶ ἕτε ρα μεγέθη τὰ δὲ στερεὰ τὰ κατὰ τὰ ἐν τῶι ΔΗ παραλληλογράμ μωι παράλληλα πρὸς τὰ στερεὰ σχήματα τὰ περιγεγραμ μένα περὶ τὸ ἀπότμημα καὶ τὰ παραλ ληλόγραμμα τὰ ἐν τῶι ΔΗ παραλ ληλογράμμωι παράλληλα πρὸς τὰ παραλληλόγραμμ α τὰ ἐν τῶι σχήματι τῶι ἐγγεγραμμένωι ἐν τῶι τμήματι τῶι περιεχομέ νωι ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ ὑπὸ τῆς ΕΗ εὐθεί ας ἐστιν ἐν τοῖς αὐτοῖς λόγ οις τὸ παραλληλόγραμμον με τοῦ σχήματος τοῦ περιγεγραμμένον περὶ τὸ τμῆ μα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ ΕΗ εὐθείας ἄλλων δὴ πρ πρίσ μάτων ὄντων τῶν ἐν τῶι στερεῶι σχήματι τὸ ἀποτετμημέ νωι ὑπὸ τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου ὁμοίως δὲ τοῖς πρότερον. δειχθήσε ται ταὐτὸν τ τῶν τ περιεχομεν ὑπὸ τοῦ ὀρθογωνίου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας καὶ πάντα τὰ πρίσμα πρίσματα τὰ ἐν τῶι πρίσματι τῶι ἀποτε τμημένωι ὑπὸ τοῦ λοξοῦ ἐπιπέ δου πρὸς πάντα τὰ πρίσματα τὰ ἐν τῶι στερεῶι σχήμα σχήματι τῶι περιγε γραμμένωι περὶ τὸ ἀπότμημα τ τοῦ κυλίνδρου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, ὃν πάντα τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐν τῶι ΔΗ παραλληλογράμμωι πρὸς πά πάν τα τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐν τ τῶι σχήματι τῶι περιγεγραμμένωι περὶ τὸ τμῆμα τὸ περιεχόμενον ὑ πὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομ τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας, τουτέστιν τὸ πρ πρίσ μα ἀποτετμημένον ὑπὸ τοῦ λο ξοῦ ἐπιπέδου πρὸς τὸ σχῆμα τὸ περιγε γε γραμμένον περὶ τὸ τμῆμα τοῦ κυ λίνδρου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, ὃν τὸ ΔΗ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ σχῆμα τὸ περιγεγραμμένον ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας. μεῖζον δέ ἐστι τὸ πρίσμα τὸ ἀποτετμημένον ὑ πὸ τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου ἢ ἡμιόλι ἡμιόλιον τοῦ στερεοῦ σχήματος τοῦ περιγε γραμμένου περὶ τὸ ἀπότμημα τοῦ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου