Method

Method Archimedes Sponsor The Owner of the Archimedes Palimpsest Responsible for primary transcription (Dublin Core creator) Johan Ludvig Heiberg Contributor Alexander Lee Contributor Mike Toth Contributor William Noel Contributor Doug Emery Owner of the Archimedes Palimpsest 2008

Licensed for use under Creative Commons Attribution 3.0 Unported, license http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/legalcode.

It is requested that copies of any published articles based on the information in this data set be sent to The Curator of Manuscripts, The Walters Art Museum, 600 North Charles Street, Baltimore MD 21201.

This transcription is a reconstrunction of Heiberg's reading of Archimedes' Codex C, based on the apparatus criticus in his 1910–1915 edition of Archimedes' work, with use of the Netz-Wilson transcription of Codex C. Heiberg, J. L., Archimedis Opera omnia cum commentariis Eutocii (Leipzig: Teubner, 1910–15; reprinted 1972). Archimedes, Method (digital transcription), edited by Reviel Netz and Nigel Wilson (2008). 10th Century Manuscript 13th Century Manuscript Archimedes Palimpsest Byzantine Manuscript Content: Against Diondas Content: Against Timandros Content: Archimedes Content: Aristotle Content: Categories Content: Hyperides Content: J. L. Heiberg Content: Method Content: On Floating Bodies Content: On Spiral Lines Content: On the Equilibrium of Planes Content: On the Measurement of the Circle Content: On the Sphere and Cylinder Content: Stomachion Foliation scheme: Undertext foliation, ordered by sequence of undertext Foliation scheme: Undertext foliation, ordered by sequence of columnar undertext Greek Manuscript J. L. Heiberg Parchment Manuscript Private Collection accented ancient Greek in Unicode-C Greek characters English Content: Archimedes Content: Method Archimedes Palimpsest Greek Manuscript Byzantine Manuscript Parchment Manuscript 13th Century Manuscript 10th Century Manuscript Private Collection Foliation scheme: Undertext foliation, ordered by sequence of columnar undertext J. L. Heiberg Content: J. L. Heiberg Ἀρχιμήδους Περὶ τῶν μη χανικῶν θεωρημάτων πρὸς Ἐρατοσθένην ἔφοδος. Ἀρχιμήδης Ἐρατοσθένει εὖ πρά ττειν. ἀπέστειλά σοι πρότερον τῶν εὑρημένων θεωρημάτων ἀναγράψας αὐτῶν τὰς προτά σεις φάμενος εὑρίσκειν ταύτας τὰς ἀποδείξεις, ἃς οὐκ εἶπον ἐπὶ τοῦ παρόντος· ἦσαν δὲ τῶν ἀ πεσταλμένων θεωρημάτων αἱ προτάσεις αἵδε· τοῦ μὲν πρώτου· ἐὰν εἰς πρίσμα ὀρθὸν πα ραλληλόγραμμον ἔχον βάσιν κύλινδρος ἐγγραφῆι τὰς μὲν βάσεις ἔχων ἐν τοῖς ἀπεναν τίον παραλληλογράμμοις, τὰς δὲ πλευρὰς ἐπὶ τῶν λοιπῶν τοῦ πρίσματος ἐπιπέδων, καὶ διά τε τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ὅ ἐστι βάσις τοῦ κυλίνδρου, καὶ μι ᾶς πλευρᾶς τοῦ τετραγώνου τοῦ ἐν τῶι κατεναντίον ἐπιπέδωι ἀχθῆι ἐπίπεδον, τὸ ἀχθὲν ἐπί πεδον ἀποτεμῆ τμῆμα ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου, ὅ ἐστι περιεχόμε νον ὑπὸ δύο ἐπιπέδων καὶ ἐπι φανείας κυλίνδρου, ἑνὸς μὲν τοῦ ἀχθέντος, ἑτέρου δὲ ἐν ὧι ἡ βάσις ἐστὶν τοῦ κυλίνδρου, τῆς με ταξὺ τῶν εἰρημένων ἐπιπέ δων, τὸ ἀποτμηθὲν ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου τμῆμα ἕκτον μέρος ἐστὶ τοῦ ὅλου πρίσματος. τοῦ δὲ ἑτέρου θεωρήματος ἡ πρότασ ις ἥδε· ἐὰν εἰς κύβον κύλινδρος ἐγγραφῆι τὰς μὲν βάσεις ἔχων πρὸς τοῖς κατεναντίον παραλλη λογράμμοις, τὴν δὲ ἐπιφάνειαν τῶν λοιπῶν τεσσάρων ἐπιπέ δων ἐφαπτόμενος, ἐγγραφῆι δὲ καὶ ἄλλος κύλινδρος εἰς τὸν αὐτὸν κύ βον τὰς μὲν βάσεις ἔχων ἐν ἄλλοις παραλληλογράμμοις, τὴν δὲ ἐπι φάνειαν τῶν λοιπῶν τεσσάρων ἐπιπέδων ἐφαπτόμενος, τὸ πε ριληφθὲν σχῆμα ὑπὸ τῶν ἐπι φανειῶν τῶν κυλίνδρων, ὅ ἐστιν ἐν ἀμφοτέροις τοῖς κυλίνδροις, δίμοιρόν ἐστι τοῦ ὅλου κύβου. συμ βαίνει δὲ ταῦτα τὰ θεωρήματα διαφέρειν τῶν πρότερον εὑρη μένων· ἐκεῖνα μὲν γὰρ τὰ σχή ματα, τά τε κωνοειδῆ καὶ σφαιροειδῆ καὶ τὰ τμήματα αὐτῶν, τῶι μεγέθει σχήμασι κώνων καὶ κυλίνδρων συνε κρίναμεν, ἐπιπέδων δὲ περι εχομένωι στερεῶι σχήματι οὐ δὲν αὐτῶν ἴσον ἐὸν εὕρηται, τούτων δὲ τῶν σχημάτων τῶν δυσὶν ἐπιπέδοις καὶ ἐπιφανεί αις κυλίνδρων ἕκαστον ἑνὶ τῶν ἐπιπέδωι περιεχομένων στερ εῶι σχήματι ἴσον εὑρίσκεται. τούτων δὴ τῶν θεωρημάτων τὰς ἀποδείξεις ἐν τῶιδε τῶι βι βλίωι γράψας ἀποστελῶ σοι. ὁρῶν δέ σε, καθάπερ λέγω, σπου δαῖον καὶ φιλοσοφίας προεστῶ τα ἀξιολόγως καὶ τὴν ἐν τοῖς μαθήμασιν κατὰ τὸ ὑποπίπτον θεωρίαν τετιμηκότα ἐδοκίμα σα γράψαι σοι καὶ εἰς τὸ αὐτὸ βιβλί ον ἐξορίσαι τρόπου τινὸς ἰδιό τητα, καθ’ ὅν σοι παρεχόμενον ἔσται λαμβάνειν ἀφορμὰς εἰς τὸ δύνασθαί τινα τῶν ἐν τοῖς μαθήμασι θεωρεῖν διὰ τῶν μηχανικῶν. τοῦτο δὲ πέπισμαι χρή σιμον εἶναι οὐδὲν ἧσσον καὶ εἰς τὴν ἀπόδειξιν αὐτῶν τῶν θεωρη μάτων. καὶ γὰρ προτέρων μοι φα νέντων μηχανικῶς ὕστερον γε ωμετρικῶς ἀπεδείχθη διὰ τὸ χωρὶς ἀποδείξεως εἶναι τὴν διὰ τοῦ τρόπου θεωρίαν· ἑτοιμότερον γάρ ἐστι προλαβόντα διὰ τοῦ τρόπου γνῶ σίν τινα τῶν ζητημάτων πο ρίσασθαι τὴν ἀπόδειξιν μᾶλλον ἢ μηδενὸς ἐγνωσμένου ζητεῖν. διόπερ καὶ τῶν θεωρη μάτων τούτων, Εὔδοξος ἐξηύρη κεν πρῶτος τὴν ἀπόδειξιν, ε τοῦ κώνου καὶ τῆς πυραμίδος, ὅτι τρίτον μέρος ὁ μὲν κῶνος τοῦ κυλίνδρου, ἡ δὲ πυραμὶς τοῦ πρίσματος, τῶν βάσιν ἐχόν των τὴν αὐτὴν καὶ ὕψος ἴσον, οὐ μικρὰν ἀπονείμαι τις Δημο κρίτωι μερίδα πρώτωι τὴν ἀ πόφασιν τὴν περὶ τοῦ εἰρημέ νου σχήματος χωρὶς ἀποδείξε ως ἀποφηναμένωι. ἡμῖν δὲ συμβαίνει καὶ τοῦ νῦν ἐκδιδο μένου θεωρήματος τὴν εὕρεσιν ὁμοίαν ταῖς πρότερον γεγενῆσθαι· ἠβουλήθην δὲ τὸν τρόπον ἀνα γράψας ἐξενεγκεῖν ἅμα μὲν καὶ διὰ τὸ προειρηκέναι ὑπὲρ αὐτοῦ, μή τισιν δοκῶμεν κενὴν φωνὴν καταβεβλῆσθαι, ἅμα δὲ καὶ πεπεισμένοις εἰς τὸ μάθη μα οὐ μικρὰν συμβαλέσθαι χρεί αν· ὑπολαμβάνω γάρ τινας ἢ τῶν ὄντων ἢ ἐπιγεινομένων διὰ τοῦ ἀποδειχθέντος τρόπου καὶ ἄλλα θεωρήματα οὔπω ἡμῖν συν παραπεπτωκότα εὑρήσειν. γρά φομεν οὖν πρῶτον τὸ καὶ πρῶ τον φανὲν διὰ τῶν μηχανικῶν, ὅτι πᾶν τμῆμα ὀρθογωνίου κώ νου τομῆς ἐπίτριτόν ἐστιν τρι γώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὴν αὐτὴν καὶ ὕψος ἴσον, μετὰ δὲ τοῦ το ἕκαστον διὰ τοῦ αὐτοῦ τρόπου θεωρηθέντων· ἐπὶ τέλει δὲ τοῦ βι βλίου γράφομεν τὰς γεωμετρι κὰς ἀποδείξεις ἐκείνων τῶν θεωρημάτων, ὧν τὰς προ τάσεις ἀπεστείλαμέν σοι πρότερον. ἐὰν ἀπὸ μεγέθους μέγεθος ἀ φαιρεθῆι, τὸ δὲ αὐτὸ σημεῖον κέν τρον τοῦ βάρους ἦι τοῦ τε ὅλου καὶ τοῦ ἀφαιρουμένου, τοῦ λοιποῦ τὸ αὐτὸ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρους. ἐὰν ἀπὸ μεγέ θους μέγεθος ἀφαιρεθῆι, ἦι δὲ μὴ τὸ αὐτὸ σημεῖον κέντρον τοῦ βάρους τοῦ τε ὅλου μεγέθους καὶ τοῦ ἀφαιρουμένου μεγέθους, τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρους τοῦ λοιποῦ μεγέθους ἐπὶ τῆς εὐθείας τῆς ἐπιζευγνυούσης τὰ κέντρα τοῦ βάρους τοῦ τε ὅλου καὶ τοῦ ἀφαιρουμένου ἐκβεβλη μένης καὶ ἀφαιρεθείσης ἀπ’ αὐ τῆς πρὸς τὴν μεταξὺ τῶν εἰρημέ νων κέντρων τοῦ βάρους τοῦτον ἔχουσα τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὸ βάρος τοῦ ἀφηιρημένου μεγέθους πρὸς τὸ λοιπὸν βάρος τοῦ λοιποῦ μεγέθους. ἐὰν ὁποσωνοῦν μεγεθέων τὸ κέν τρον τοῦ βάρους ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ἦι, καὶ τοῦ ἐκ πάντων συγ κειμένου μεγέθους τὸ κέντρον ἔσται ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας. πάσης εὐθείας τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρους ἡ διχοτομία τῆς εὐθείας. παντὸς τριγώνου τὸ κέντρον ἐστὶν τοῦ βά ρους τὸ σημεῖον, καθ’ ὃ αἱ ἐκ τῶν γωνιῶν τοῦ τριγώνου ἐπὶ μέσας τὰς πλευρὰς ἀγόμεναι εὐθεῖαι τέμνουσιν ἀλλήλας. παντὸς πα ραλληλογράμμου τὸ κέντρον ἐστὶν τοῦ βάρους τὸ σημεῖον, καθ’ ὃ αἱ διάμετροι συμπίπτουσιν. κύκλου τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐστὶν ὃ καὶ τοῦ κύκλου ἐστὶ κέντρον. παντὸς κυλίνδρου τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐστὶν ἡ διχοτομία τοῦ ἄξονος. παν τὸς πρίσματος τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρους ἡ διχοτομία τοῦ ἄξονος. παν τὸς κώνου τὸ κέντρον ἐστὶν τοῦ βά ρους ἐπὶ τοῦ ἄξονος διαιρεθέντος οὕτως, ὥστε τὸ πρὸς τῆι κορυφῆι τμῆ μα τριπλάσιον εἶναι τοῦ λοιποῦ. χρη σόμεθα δὲ καὶ ἐν τῶι προγεγραμ μένωι Κωνοειδῶν τῶιδε θεωρή ματι· ἐὰν ὁποσαοῦν μεγέθη ἄλ λοις μεγέθεσιν ἴσα τὸ πλῆθος κατὰ δύο τὸν αὐτὸν ἔχηι λόγον τὰ ὁ μοίως τεταγμένα, ἦι δὲ τὰ πρῶτα μεγέθη ἐν τόποις ὁποιοισοῦν, ἢ τὰ πάντα ἤ τινα αὐτῶν, καὶ τὰ ὕστε ρον μεγέθη πρὸς τὰ ὁμόλογα ἐν τοῖς αὐτοῖς λόγοις ἦι, πάντα τὰ πρῶτα μεγέθη πρὸς πάντα τὰ λεγόμενα τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἔχει πάντα τὰ ὕστερον πρὸς πάντα τὰ λεγόμενα. ἔστω τμῆμα τὸ ΑΒΓ περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας τῆς ΑΓ καὶ ὀρθο γωνίου κώνου τομῆς τῆς ΑΒΓ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΑΓ τῶι Δ, καὶ παρὰ τὴν διάμετρον ἤχθω ἡ ΔΒΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ. λέγω ὅτι ἐπίτριτόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ τμῆμα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἤχθω σαν ἀπὸ τῶν Α, Γ σημείων ἡ μὲν ΑΖ παρὰ τὴν ΔΒΕ, ἡ δὲ ΓΖ ἐπιψαύ ουσα τῆς τομῆς, καὶ ἐκβεβλήσ θω ἡ ΓΒ ἐπὶ τὸ Κ, καὶ κείσθω τῆι ΓΚ ἴση ἡ ΚΘ. νοείσθω ζυγὸς ὁ ΓΘ καὶ μέσον αὐτοῦ τὸ Κ καὶ τῆι ΕΔ πα ράλληλος τυχοῦσα ἡ ΜΞ. ἐπεὶ οὖν παραβολή ἐστιν ἡ ΓΒΑ, καὶ ἐφά πτεται ἡ ΓΖ, καὶ τεταγμένως ἡ ΓΔ, ἴση ἐστὶν ἡ ΕΒ τῆι ΒΔ· τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς στοιχείοις δείκνυται· διὰ δὴ τοῦτο, καὶ διότι παράλληλοί εἰσιν αἱ ΖΑ, ΜΞ τῆι ΕΔ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ μὲν ΜΝ τῆι ΝΞ, ἡ δὲ ΖΚ τῆι ΚΑ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΑΞ, οὕ τως ἡ ΜΞ πρὸς ΞΘ τοῦτο γὰρ ἐν λήμματι δείκνυται, ὡς δὲ ἡ ΓΑ πρὸς ΑΞ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς ΚΝ, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΚ τῆι ΚΘ, ὡς ἄρα ἡ ΘΚ πρὸς ΚΝ, οὕτως ἡ ΜΞ πρὸς ΞΟ. καὶ ἐπεὶ τὸ Ν σημεῖον κέντρον τοῦ βάρους τῆς ΜΞ εὐθείας ἐστίν, ἐπείπερ ἴση ἐστὶν ἡ ΜΝ τῆι ΝΞ, ἐὰν ἄρα τῆι ΞΟ ἴσην θῶμεν τὴν ΤΗ καὶ κέντρον τοῦ βάρους αὐτῆς τὸ Θ, ὅπως ἴση ἡ ΤΘ τῆι ΘΗ, ἰσορ ροπήσει ἡ ΤΘΗ τῆι ΜΞ αὐτοῦ με νούσηι διὰ τὸ ἀντιπεπονθότως τετμῆσθαι τὴν ΘΝ τοῖς ΤΗ, ΜΞ βάρεσιν, καὶ ὡς τὴν ΘΚ πρὸς ΚΝ, οὕτως τὴν ΜΞ πρὸς τὴν ΗΤ· ὥσ τε τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων βάρους κέν τρον ἐστὶν τοῦ βάρους τὸ Κ. ὁμοί ως δὲ καὶ ὅσαι ἐὰν ἀχθῶσιν ἐν τῶι ΖΑΓ τριγώνωι παράλλη λοι τῆι ΗΔ ἰσορροπήσουσιν αὐ τοῦ μενούσαις ταῖς ἀπολαμβα νομέναις ἀπ’ αὐτῶν ὑπὸ τῆς τομῆς μετενεχθείσαις ἐπὶ τὸ Θ, ὥστε εἶναι τοῦ ἐξ ἀμφοτέ ρων κέντρων τοῦ βάρους τὸ Κ. καὶ ἐπεὶ ἐκ μὲν τῶν ἐν τῶι ΓΖΑ τριγώνωι συνέστηκεν, ἐκ δὲ τῶν ἐν τῆι τομῆι ὁμοίως τῆι ΞΟ λαμ βανομένων συνέστηκε τὸ ΑΒΓ τμῆμα, ἰσορροπήσει ἄρα τὸ ΖΑΓ τρίγωνον αὐτοῦ μένον τῶι τμήματι τῆς τομῆς τεθέν τι περὶ κέντρον τοῦ βάρους τὸ Θ κατὰ τὸ Κ σημεῖον, ὥστε τοῦ ἐ ξ ἀμφοτέρων κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Κ. τετμήσθω δὴ ἡ ΓΚ τῶι Χ, ὥστε τριπλασίαν εἶναι τὴν ΓΚ τῆς ΚΧ· ἔσται ἄρα τὸ Χ σημεῖον κέντρον βάρους τοῦ ΑΖΓ τριγώνου· δέδεικται γὰρ ἐν τοῖς Ἰσορροπικοῖς. ἔσται οὖν ἰ σόρροπον τὸ ΖΑΓ τρίγωνον αὐ τοῦ μένον τῶι ΒΑΓ τμήματι κατὰ τὸ Κ τεθέντι περὶ τὸ Θ κέντρον τοῦ βάρους, καί ἐστιν τοῦ ΖΑΓ τρι γώνου κέντρον βάρους τὸ Χ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΖΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΓ τμῆμα κείμενον περὶ τὸ Θ κέντρον, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς ΧΚ. τριπλασία δέ ἐστιν ἡ ΘΚ τῆς ΚΧ· τρι πλάσιον ἄρα καὶ τὸ ΑΖΓ τρίγωνον τοῦ ΑΒΓ τμήματος· Ἔστι δὲ καὶ τὸ ΖΑΓ τρίγωνον τετραπλάσιον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΖΚ τῆι ΚΑ, τὴν δὲ ΑΔ τῆι ΔΓ· ἐπίτριτον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τμῆ μα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. τοῦτο οὖν φανερόν ἐστιν.

Figure 1.1 τοῦτο δὴ διὰ μὲν τῶν νῦν εἰρημένων οὐκ ἀποδέδεικται, ἔμφασιν δέ τινα πεποίηκε τὸ συμπέρασμα ἀληθὲς εἶναι· διόπερ ἡμεῖς ὁ ρῶντες μὲν οὐκ ἀποδεδειγμέ νον, ὑπονοοῦντες δὲ τὸ συμπέ ρασμα ἀληθὲς εἶναι, τάξο μεν τὴν γεωμετρουμένην ἀ πόδειξιν ἐξευρόντες αὐτοὶ τὴν ἐκδοθεῖσαν πρότερον. ὅτι δὲ πᾶ σα σφαῖρα διπλασία ἐστὶν τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος ἴσην τῶι μεγίστωι κύκλωι τῶν ἐν τῆι σφαίραι, ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, καὶ ὁ κύλιν δρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῶι μεγίστωι κύκλωι τῶν ἐν τῆι σφαίραι, ὕψος δὲ ἴσον τῆι διαμέτρωι τῆς σφαί ρας, ἡμιόλιος τῆς σφαίρας ἐστίν, ὧδε θεωρεῖται κατὰ τρόπον τόνδε· ἔστω γάρ τις σφαῖρα, ἐν ἧι μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, διάμετροι δὲ αἱ ΑΓ, ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις οὔ σαις, ἔστω δὲ κύκλος ἐν τῆι σφαί ραι περὶ διάμετρον τὴν ΒΔ ὀρθὸς πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, καὶ ἀπὸ τοῦ ὀρθοῦ τούτου κῶνος ἀναγε γράφθω κορυφὴν ἔχων τὸ Α ση μεῖον, καὶ ἐκβληθείσης τῆς ἐπιφα νείας αὐτοῦ τετμήσθω ὁ κῶνος ἐπι πέδωι διὰ τοῦ Γ παρὰ τὴν βάσιν· ποιήσει δὴ κύκλον ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΓ, καὶ διάμετρος αὐτοῦ ἡ ΕΖ. ἀπὸ δὲ τοῦ κύκλου τούτου κύλινδρος ἀναγεγράφθω ἄξονα ἔχων τῆι ΑΓ ἴσον, πλευραὶ δὲ ἔστωσαν τοῦ κυλίν δρου αἱ ΕΛ, ΖΗ· καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΑ, καὶ κείσθω αὐτῆι ἴση ἡ ΑΘ, καὶ νοείσθω ὁ ζυγὸς ὁ ΓΘ, μέσον δὲ αὐ τοῦ τὸ Α, καὶ ἤχθω τις παράλληλος ὑ πάρχουσα τῆι ΒΔ ἡ ΜΝ, τεμνέτω δὲ αὕτη τὸν μὲν ΑΒΓΔ κύκλον κατὰ τὰ Ξ, Ο, τὴν δὲ ΑΓ διάμετρον κατὰ τὸ Σ, τὴν δὲ ΑΕ εὐθεῖαν κατὰ τὸ Π, τὴν δὲ ΑΖ κατὰ τὸ Ρ, καὶ ἀπὸ τῆς ΜΝ εὐθείας ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΓ· ποιήσει δὴ τοῦ το ἐν μὲν τῶι κυλίνδρωι τομὴν κύκλον, οὗ ἔσται διάμετρος ἡ ΜΝ, ἐν δὲ τῆι ΑΒΓΔ σφαίραι κύκλον, οὗ ἔσται διάμετρος ἡ ΞΟ, ἐν δὲ τὸ ΑΕΖ κώνωι κύκλον, οὗ ἔσται ἡ δι άμετρος ἡ ΠΡ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΑ, ΑΣ τῶι ὑπὸ ΜΣ, ΣΠ, ἴση γὰρ γὰρ ἡ μὲν ΑΓ τῆι ΣΜ, ἡ δὲ ΑΣ τῆι ΠΣ, τὸ δὲ ὑπὸ ΓΑ, ΑΣ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΑΞ, του τέστιν τὰ ἀπὸ ΞΣ, ΣΠ, ἴσον ἄρα τὸ ἀ πὸ τῶν ΜΣ, ΣΠ τοῖς ἀπὸ τῶν ΞΣ, ΣΠ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως ἡ ΜΣ πρὸς ΣΠ, ἴση δὲ ἡ ΓΑ τῆι ΑΘ, ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, ἡ ΜΣ πρὸς ΣΠ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΣ, ΣΠ. τὸ δὲ ὑπὸ ΜΣ, ΣΠ ἴσα ἐδείχθη τὰ ἀπὸ ΞΣ, ΣΠ· ὡς ἄρα ἡ ΑΘ πρὸς ΑΣ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὰ ἀπὸ ΞΣ, ΣΠ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὰ ἀπὸ ΞΣ, ΣΠ, οὕτως τὰ ἀπὸ ΜΝ πρὸς τὰ ἀπὸ ΞΟ, ΠΡ, ὡς δὲ τὰ ἀπὸ ΜΝ πρὸς τὰ ἀπὸ ΞΟ, ΠΡ, οὕτως ὁ κύκλος ὁ ἐν τῶι κυλίνδρωι, οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ, πρὸς ἀμφοτέρους τοὺς κύκλους τόν τε ἐν τῶι κώνωι, οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ, καὶ τὸν ἐν τῆι σφαίραι, οὗ ἐστιν ἡ διά μετρος ἡ ΞΟ· ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως ὁ κύκλος ὁ ἐν τῶι κυλίνδρωι πρὸς τοὺς κύκλους τόν τε ἐν τῆι σφαίραι καὶ τὸν ἐν τῶι κώνωι. ἐπεὶ οὖν ὡς ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως ὁ αὐτὸς κύκλος ὁ ἐν τῶι κυλίνδρωι αὐτοῦ μένων ἀμφο τέροις τοῖς κύκλοις, ὧν εἰσιν διάμε τροι αἱ ΞΟ, ΠΡ, μετενεχθεῖσιν καὶ τε θεῖσιν οὕτως ἐπὶ τὸ Θ, ὥστε ἑκατέρου αὐτῶν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ, ἰσορροπήσουσι κατὰ τὸ Α σημεῖ ον. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, καὶ ἐὰν ἄλ λη ἀχθῆι ἐν τῶι ΑΓ παραλληλογράμ μωι παρὰ τὴν ΕΖ, καὶ ἀπὸ τῆς ἀ χθείσης ἐπίπεδον ἀνασταθῆι ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΓ, ὅτι ὁ γενόμενος κύκλος ἐν τῶι κυλίνδρωι ἰσορροπήσει πε ρὶ τὸ Α σημεῖον αὐτοῦ μένων ἀμ φοτέροις τοῖς κύκλοις τῶι τε ἐν τῆι σφαίραι γινομένωι καὶ τῶι ἐν τῶι κώνωι μετενεχθεῖσι καὶ τε θεῖσιν ἐπὶ τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥστε ἑκατέρου αὐτῶν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους περὶ τὸ Θ. συμπληρω θέντος οὖν τοῦ κυλίνδρου ὑπὸ τῶν ληφθέντων κύκλων καὶ τῆς σφαί ρας καὶ τοῦ κώνου ἰσορροπήσει ὁ κύλινδρος περὶ τὸ Α σημεῖον αὐ τοῦ μένων συναμφοτέροις τῆι τε σφαίραι καὶ τῶι κώνωι μετενε χθεῖσι καὶ τεθεῖσιν ἐπὶ τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε ἑκατέρου αὐτῶν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν ἰσορροπεῖ τὰ εἰρημένα στερεὰ κατὰ τὸ Α ση μεῖον τοῦ μὲν κυλίνδρου περὶ κέντρον τοῦ βάρους τὸ Κ, τῆς δὲ σφαίρας καὶ τοῦ κώνου μετενηνεγμένων, ὡς εἴρηται, περὶ κέντρον βάρους τὸ Θ, ἔσται ὡς ἡ ΘΑ πρὸς ΑΚ, οὕτως ὁ κύλιν δρος πρὸς τὴν σφαῖραν καὶ τὸν κῶ νον. διπλασία δὲ ἡ ΘΑ τῆς ΑΚ· διπλά σιον ἄρα καὶ ὁ κύλινδρος συναμ φοτέρου τῆς τε σφαίρας καὶ τοῦ κώνου. αὐτοῦ δὲ τοῦ κώνου τριπλα σίων ἐστί· τρεῖς ἄρα κῶνοι ἴσοι εἰσὶ δυ σὶ κώνοις τοῖς αὐτοῖς καὶ δυσὶ σφαί ραις. κοινοὶ ἀφηιρήσθωσαν δύο κῶνοι· εἷς ἄρα κῶνος ὁ ἔχων τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΕΖ ἴσος ἐστὶ ταῖς εἰρημέναις δυσὶ σφαίραις. ὁ δὲ κῶνος, οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΕΖ, ἴσος ἐστὶν ὀκτὼ κώνοις, ὧν ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΒΔ, διὰ τὸ διπλῆν εἶναι τὴν ΕΖ τῆς ΒΔ. οἱ ἄρα ὀκτὼ κῶνοι οἱ εἰρημένοι ἴσοι εἰσὶ δυσὶ σφαίραις. τετραπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ σφαῖρα, ἧς μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, τοῦ κώνου, οὗ κορυ φὴ μέν ἐστι τὸ Α σημεῖον, βάσις δὲ ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΒΔ κύ κλος ὀρθὸς ὢν πρὸς τὴν ΑΓ. ἤχθω σαν δὴ διὰ τῶν Β, Δ σημείων ἐν τῶι ΛΖ παραλληλογράμμωι τῆι ΑΓ παράλληλοι αἱ φβ χψ δω, καὶ νοείσθωσαν κύλινδροι, ὧν βάσεις μὲν οἱ περὶ διαμέτρους τὰς ΦΨ, ΧΩ κύκλους, ἄξων δὲ ὁ ΑΓ. ἐπεὶ οὖν διπλάσιός ἐστιν ὁ κύλινδρος, οὗ ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλλη λόγραμμον τὸ ΦΩ, τοῦ κυλίνδρου, οὗ ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλ ληλόγραμμον τὸ ΦΔ, αὐτὸς δὲ οὗ τος τριπλασίων ἐστὶν τοῦ κώνου, οὗ ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΒΔ, ὡς ἐν τοῖς Στοιχείοις, ἑξα πλασίων ἄρα ὁ κύλινδρος, οὗ ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλό γραμμον τὸ ΦΩ, τοῦ κώνου, οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΒΔ. ἐδείχθη δὲ τοῦ αὐτοῦ κώνου τετρα πλασία οὖσα ἡ σφαῖρα, ἧς μέ γιστος μέν ἐστιν ὁ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ· ἡμιόλιος ἄρα ὁ κύλινδρος τῆς σφαίρας· ὅπερ ἔδει δειχθῆναι. τοῦ τοῦ τεθεωρήματος, διότι πᾶ σα σφαῖρα τετραπλασία ἐστὶ τοῦ κώνου βάσιν μὲν ἔχοντος τὸν μέγιστον κύκλον, ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ἡ ἔννοια ἐγένετο ὅτι πάσης σφαί ρας ἡ ἐπιφάνεια τετραπλασία ἐστὶ τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῆι σφαί ραι· ὑπόληψις γὰρ ἦν καὶ διότι πᾶς κύκλος ἴσος ἐστὶ τριγώνωι τῶι βάσιν μὲν ἔχον τι τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν, ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου,

Figure 2.1 καὶ διότι πᾶ σα σφαῖρα ἴση ἐστὶ κώ νωι τῶι βά σιν μὲν ἔχον τι τὴν ἐπι φάνειαν τῆς σφαίρας, ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας. θεωρεῖται δὲ διὰ τοῦ τρόπου ταύτου καὶ ὅτι ὁ κύλινδρος ὁ τὴν μὲν βάσιν ἔχων ἴσην τῶι μεγίστωι κύκλωι τῶν ἐν τῶι σφαιροειδεῖ, ὕψος δὲ ἴσον τῶι ἄξονι τοῦ σφαιροειδοῦς, ἡμιόλιός ἐστι τοῦ σφαιροειδοῦς· τούτου δὲ θεωρη θέντος φανερὸν ὅτι παντὸς σφαι ροειδοῦς ἐπιπέδωι τμηθέντος δι ὰ τοῦ κέντρου ὀρθῶι πρός τε τὸν ἄ ξονα τὸ ἥμισυ τοῦ σφαιροειδοῦς δι πλάσιόν ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὴν αὐτὴν τῶι τμή ματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν. ἔστω γάρ τι σφαιροειδὲς καὶ τετμήσθω ἐπιπέ δωι διὰ τοῦ ἄξονος, καὶ γινέσθω ἐν τῆι ἐπιφανείαι αὐτοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὴ ἡ ΑΒΓΔ, διάμετροι δὲ αὐτῆς ἔστωσαν αἱ ΑΓ, ΒΔ, κέντρον δὲ τὸ Κ, ἔστω δὲ κύκλος ἐν τῶι σφαι ροειδεῖ περὶ διάμετρον τὴν ΒΔ ὀρθ ὸς πρὸς τὴν ΑΓ, νοείσθω δὲ κῶνος βά σιν ἔχων τὸν εἰρημένον κύκλον, κο ρυφὴν δὲ τὸ Α σημεῖον, καὶ ἐκβλη θείσης τῆς ἐπιφανείας αὐτοῦ τετ μήσθω ὁ κῶνος ἐπιπέδωι διὰ τοῦ Γ παρὰ τὴν βάσιν· ἔσται δὴ ἡ τομὴ αὐτοῦ κύκλος ὀρθὸς πρὸς τὴν ΑΓ, διά μετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΕΖ. ἔστω δὲ καὶ ὁ κύ λινδρος βάσιν μὲν ἔχων τὸν αὐτὸν κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΕΖ, ἄξονα δὲ τὴν ΑΓ εὐθεῖαν, καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΓΑ κείσθω αὐτῆι ἴση ἡ ΑΘ, καὶ νο είσθω ὁ ζυγὸς ὁ ΘΓ, μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Α, ἤχθω δέ τις ἐν τῶι ΛΖ παραλλη λογράμμωι παρὰ τὴν ΕΖ ἡ ΜΝ, καὶ ἀπὸ τῆς ΜΝ ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρ θὸν πρὸς τὴν ΑΓ· ποιήσει δὴ τοῦτο ἐν μὲν τῶι κυλίνδρωι τομὴν κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ, ἐν δὲ τῶι σφαιρο ειδεῖ τομὴν, οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ, ἐν δὲ τῶι κώνωι τομὴν κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΣ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς ΑΠ, τουτέστιν ἡ ΜΣ πρὸς τὴν ΣΠ, ἴση δὲ ἡ ΓΑ τῆι ΑΘ, ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως ἡ ΜΣ πρὸς ΣΠ. ὡς δὲ ἡ ΜΣ πρὸς ΣΠ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΣ, ΣΠ· τῶι δὲ ὑπὸ ΜΣ, ΣΠ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΠΣ, ΣΞ. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΣ, ΣΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΞ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΚ, ΚΓ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΑΚ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΒ ἀμφότεροι γὰρ οἱ λόγοι ἐν τῶι τῆς πλαγίας πρὸς τὴν ὀρθίαν εἰσίν, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΑΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΠ, ἐναλλὰξ ἄρα ἔσται ὡς τὸ ἀπὸ ΑΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΣΓ, τὸ ἀπὸ ΠΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΞ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΑΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΣΓ, τὸ ἀπὸ ΣΠ πρὸς τὸ ὑπὸ ΣΠ, ΠΜ· ἴ σον ἄρα τὸ ὑπὸ ΜΠ, ΠΣ τῶι ἀπὸ ΞΣ. κοι νὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΠΣ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΜΣ, ΣΠ τοῖς ἀπὸ ΠΣ, ΣΞ ἴσον. ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὰ ἀπὸ μσ, ΣΞ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὰ ἀπὸ ΣΞ, ΣΠ, οὕτως ὁ ἐν τῶι κυλίνδρωι κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ, πρὸς ἀμ φοτέρους τοὺς κύκλους, ὧν διά μετροι αἱ ΞΟ, ΠΡ· ὥστε ἰσορροπή σουσι περὶ τὸ Α σημεῖον ὁ κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ, αὐτοῦ μένων ἀμφοτέροις τοῖς κύκλοις, ὧν διά μετροι αἱ ΞΟ, ΠΡ, μετενεχθεῖσι καὶ τεθεῖσιν τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε ἑκατέρου αὐτῶν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ. συναμφοτέρων δὲ τῶν κύκλων, ὧν εἰσι διάμετροι αἱ ΞΟ, ΠΡ, μετενηνεγμένων κέντρον τοῦ βά ρους τὸ Θ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως ὁ κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ, πρὸς ἀμ φοτέρους τοὺς κύκλους, ὧν διά μετροι αἱ ΞΟ, ΠΡ. ὁμοίως δὲ δειχθή σεται, καὶ ἐὰν ἄλλη τις ἀχθῆι ἐν τῶι ΛΖ παραλληλογράμμωι παρὰ τὴν ΕΖ, καὶ ἀπὸ τῆς ἀχθείσης ἐ πίπεδον ἀνασταθῆι ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΓ, ὁ γενόμενος κύκλος ἐν τῶι κυλίν δρωι ἰσορροπήσει περὶ τὸ Α ση μεῖον αὐτοῦ μένων συναμφοτέ ροις τοῖς κύκλοις τῶι τε ἐν τῶι σφαιροειδεῖ γινομένωι καὶ ἐν τῶι κώνωι μετενεχθεῖσιν τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥστε ἑκατέρου αὐτῶν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ. συμπληρωθέντος οὖν τοῦ κυ λίνδρου ὑπὸ τῶν ληφθέντων κύκλων καὶ τοῦ σφαιροειδοῦς καὶ τοῦ κώνου ἰσόρροπος ὁ κύλινδρος ἔσται περὶ τὸ Α σημεῖον αὐτοῦ μέ νων τῶι τε σφαιροειδεῖ καὶ τῶι κώ νωι μετενεχθεῖσι καὶ τεθείσης ἐπὶ τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥσ τε ἑκατέρου αὐτῶν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ. καί ἐστι τοῦ μὲν κυ λίνδρου κέντρον τοῦ βάρους τὸ Κ, τοῦ δὲ σφαιροειδοῦς καὶ τῶι κώνωι συναμφότερον, ὡς ἐρρέθη, κέν τρον τοῦ βάρους τὸ Θ· ἔστιν οὖν ὡς ἡ ΘΑ πρὸς ΑΚ, ὁ κύλινδρος πρὸς ἀμφότερα τό τε σφαιρο ειδὲς καὶ τὸν κῶνον. διπλασία δὲ ἡ ΑΘ τῆς ΑΚ· διπλάσιος ἄρα καὶ ὁ κύλινδρος ἀμφοτέρων τοῦ τε σφαιροειδοῦς καὶ τοῦ κώνου· εἷς ἄρα κύλινδρος ἴσος δυσὶν κώνοις καὶ δυσὶ σφαιροειδέσιν. εἷς δὲ κύλινδρος ἴσος ἐστὶ τρεῖς κώ νοις τοῖς αὐτοῖς· τρεῖς ἄρα κῶνοι ἴσοι εἰσὶ δυσὶ κώνοις καὶ δυσὶ σφαιρο ειδέσι. κώνοις ἀφηιρήσθωσαν δύο κῶνοι· λοιπὸς ἄρα εἷς κῶνος, οὗ ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ Α ΕΖ, ἴσος ἐστὶ δυσὶ σφαιροειδέσιν. εἷς δὲ κῶνος ὁ αὐτὸς ἴσος ἐστὶν ὀκτὼ κώνοις, ὧν ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΒΔ· ὀκτὼ ἄρα κῶνοι οἱ εἰρημένοι ἴσ οι εἰσὶ δυσὶ σφαιροειδέσιν· καὶ τέσσαρες ἄρα κῶνοι ἴσοι ἑνὶ σφαιροειδεῖ· τετραπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ σφαιροειδὲς τοῦ κώνου, οὗ κορυφὴ μέν ἐστι τὸ Α σημεῖ ον, βάσις δὲ ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΒΔ κύκλος ὀρθὸς ὢν πρὸς τὴν ΑΓ, καὶ τὸ ἥμισυ τοῦ σφαιροειδοῦς διπλάσι ός ἐστι τοῦ εἰρημένου κώνου. ἤχθωσαν δὲ διὰ τῶν Β, Δ σημείων ἐν τῶι ΛΖ παρ αλληλογράμμωι τῆι ΑΓ παράλλη λοι αἱ ΦΧ, ΨΩ, καὶ νοείσθω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἱ περὶ διαμέτρους τὰς φχ ψω κύκλοι, ἄξων δὲ τῆι ΑΓ εὐθείαι. ἐπεὶ οὖν διπλάσιός ἐστιν ὁ κύλιν δρος, οὗ ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλλη λόγραμμον τὸ ΦΩ, τοῦ κυλίνδρου, οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΦΔ, διὰ τὸ ἴσας αὐτῶν εἶναι τὰς βά σεις, τὸν δὲ ἄξονα τοῦ ἄξονος διπλά σιον, αὐτὸς δὲ ὁ κύλινδρος, οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΦΔ, τριπλάσιόν ἐστι τοῦ κώνου, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον, βάσις δὲ ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΒΔ κύκλος ὀρθὸς ὢν πρὸς τὴν ΑΓ, ἑξαπλά σιος ἄρα ὁ κύλινδρος, οὗ ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΦΩ, τοῦ εἰρημένου κώνου. ἐδείχθη δὲ τοῦ αὐτοῦ κώνου τετραπλάσιον τὸ σφαιροειδές· ἡμιόλιος ἄρα ἐστὶν ὁ κύλινδρος τοῦ σφαιροειδοῦς· οι.

Figure 3.1 ὅτι δὲ πᾶν τμῆμα ὀρ θογώνιον κω νοειδοῦς ἐπι πέδωι ἀπο τεμνόμενον ὀρθῶι πρὸς τὸν ἄξονα ἡμιόλιόν ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὴν αὐτὴν τῶι τμήματι καὶ τὸν ἄ ξονα τὸν αὐτόν, ὧδε διὰ τοῦ τρόπου τούτου θεωρεῖται· ἔστω γὰρ ὀρθογώ νιον κωνοειδὲς καὶ τετμήσθω ἐ πιπέδωι διὰ τοῦ ἄξονος, καὶ ποι είτω τομὴν ἐν τῆι ἐπιφανείαι ὀρ θογωνίου κώνου τομὴν τὴν αβ, τετμήσθω δὲ καὶ ἑτέρωι ἐπιπέδωι ὀρθῶι πρὸς τὸν ἄξονα, καὶ ἔστω αὐτῶν κοινὴ τομὴ ἡ ΒΓ, ἄξων δὲ ἔσται τοῦ τμήματος ἡ ΔΑ, καὶ ἐκ βεβλήσθω ἡ ΔΑ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ κείσθω αὐτῆι ἴση ἡ ΑΘ, καὶ νοείσθω ὁ ζυγὸς ὁ ΔΘ, μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Α, ἔστω δὲ ἡ τοῦ τμήματος βάσις ὁ περὶ διά μετρον τὴν ΒΓ κύκλος ὀρθὸς ὢν πρὸς τὴν ΑΔ, νοείσθω δὲ κῶνος βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἐστι διάμετρος ἡ ΒΓ, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, ἔστω δὲ καὶ κύλινδρος βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΒΓ, ἄ ξονα δὲ τὸν ΑΔ, καὶ ἤχθω τις ἐν τῶι παραλληλογράμμωι ἡ ΜΝ παράλληλος οὖσα τῆι ΒΓ, καὶ ἀπὸ τῆς ΜΝ ἐπίπεδον ἀνεστά τω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΔ· ποιήσει δὴ τοῦτο ἐν μὲν τῶι κυλίνδρωι τομὴν κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ, ἐν δὲ τῶι τμήματι τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδοῦς τομὴν κύκλον, οὗ διά μετρος ἡ ΞΟ. καὶ ἐπὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς ἐστιν ἡ ΒΑΓ, διά μετρος δὲ αὐτῆς ἡ ΑΔ, καὶ τεταγμέ νως κατηγμέναι εἰσὶν αἱ ΞΣ, ΒΔ, ἔστιν ὡς ἡ ΔΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΣ. ἴση δὲ ἡ ΔΑ τῆι ΑΘ· ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΞ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΞ, οὕτως ὁ κύκλος ὁ ἐν τῶι κυ λίνδρωι, οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ, πρὸς τὸν κύκλον τὸν ἐν τῶι τμήματι τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδοῦς, οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως ὁ κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ξσ. ἰσόρροπος ἄρα ὁ κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ, ὁ ἐν τῶι κυλίνδρωι πρὸς τὸ Α σημεῖον αὐτοῦ μένων τῶι κύ κλωι, οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ, μετενε χθέντι καὶ τεθέντι ἐπὶ τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε κέντρον αὐτοῦ εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ· καί ἐστι τοῦ μὲν κύκλου, οὗ διάμετρός ἐστιν ἡ ΜΝ, κέντρον τοῦ βάρους τὸ Σ, τοῦ δὲ κύκλου, οὗ ἐστι διάμετρος ἡ ΞΟ, μετε νηνεγμένου κέντρον τοῦ βάρους τὸ Θ, καὶ ἀντιπεπονθότως τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ ὃν ὁ κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ. ὁ μοίως δὲ δειχθήσεται, καὶ ἐν ἄλλη τις ἀχθῆι ἐν τῶι ΕΓ παραλληλο γράμμωι παρὰ τὴν ΒΓ, καὶ ἀπὸ τῆς ἀχθείσης ἐπίπεδον ἀνα σταθῆι ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΘ, ὅτι ἰσορ ροπήσει πρὸς τῶι Α σημείωι ὁ γενόμε νος κύκλος ἐν τῶι κυλίνδρωι αὐ τοῦ μένων τῶι γενομένωι ἐν τῶι τμήματι τοῦ ὀρθογωνίου κωνο ειδέος μετενεχθέντι ἐπὶ τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ. συμπληρω θέντος οὖν τοῦ κυλίνδρου καὶ τοῦ τμήματος τοῦ ὀρθογωνίου κωνο ειδοῦς ἰσορροπήσει περὶ τὸ Α ση μεῖον ὁ κύλινδρος αὐτοῦ μένων τῶι τμήματι τοῦ ὀρθογωνίου κωνοει δέος μετενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥστε τὸ κέν τρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ. ἐπεὶ δὲ ἰσορροπεῖ περὶ τὸ Α σημεῖ ον τὰ εἰρημένα μεγέθη, καί ἐστι τοῦ μὲν κυλίνδρου κέντρον βά ρους τὸ Κ σημεῖον δίχα τεμνομέ νης τῆς ΑΔ κατὰ τὸ Κ σημεῖον, τοῦ τμήματος μετενηνεγμένου κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τὸ Θ, ἀντι πεπονθότως τὸν αὐτὸν ἕξει λόγ ον ἡ ΘΑ πρὸς τὴν ΑΚ, ὃν ὁ κύλινδρος πρὸς τὸ τμῆμα. διπλασία δὲ ἡ ΘΑ τῆς ΑΚ· διπλάσιος ἄρα καὶ ὁ κύλινδρος τοῦ τμήματος. ὁ δὲ αὐτὸς κύλινδρος τριπλάσιός ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος

Figure 4.1 τὸν κύκλον, οὗ διάμε τρος ἡ ΒΓ, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖ ον· δῆλον οὖν ὅτι τὸ τμῆ μα ἡμιόλιόν ἐστιν τοῦ αὐ τοῦ κώνου. ὅτι δὲ τοῦ τμήματος τοῦ ὀρθογω νίου κωνοειδέος ἀποτεμνομένου ἐπιπέδωι ὀρθῶι πρὸς τῶν ἄξονα τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐστὶν ἐπὶ τῆς εὐθείας, ἥ ἐστιν ἄξων τοῦ τμήματος, τμηθείσης οὕτως τῆς εἰρημένης εὐθείας, ὥστε διπλάσιον εἶναι τὸ μέρος αὐτοῦ πρὸς τῆι κορυφῆι τοῦ λοιποῦ τμήματος, ὧδε διὰ τοῦ τρό που θεωρεῖται· ἔστω τμῆμα ὀρθογώνιον κωνοειδοῦς ἀποτε μνόμενον ἐπιπέδωι ὀρθῶι πρὸς τὸν ἄξονα καὶ τετμήσθω ἐπιπέ δωι ἑτέρωι διὰ τοῦ ἄξονος, καὶ ποι είτω τομὴν ἐν τῆι ἐπιφανείαι τὴν ΑΒΓ ὀρθογωνίου κώνου τομήν, τοῦ δὲ ἀποτετμηκότος τὸ τμῆμα ἐπι πέδου καὶ τοῦ τμήματος κοινὴ τομὴ ἔστω ἡ ΒΓ, ἄξων δὲ ἔστω τοῦ τμήματος καὶ διάμετρος τῆς ΑΒΓ τομῆς ἡ ΑΔ εὐθεῖα, καὶ τῆς ΔΑ ἐκβληθείσης ἴση αὐτῆι κείσθω ἡ ΑΘ, καὶ νοείσθω ζυγὸς ὁ ΔΘ, μέσον δὲ αὐ τῆς τὸ Α, ἔστω δὲ καὶ κῶνος ἐγγε γραμμένος ἐν τῶι τμήματι, πλευ ραὶ δὲ αὐτοῦ αἱ ΒΑ, ΑΓ, ἤχθω δέ τις ἐν τῆι τοῦ ὀρθογωνίου κώνου το μῆι ἡ ΞΟ παράλληλος οὖσα τῆι ΒΓ, τεμνέτω δὲ αὕτη τὴν μὲν τοῦ ὀρ θογωνίου κώνου τομὴν κατὰ τὰ Ξ, Ο, τὰς δὲ τοῦ κώνου πλευρὰς κατὰ τὰ Π, Ρ σημεῖα. ἐπεὶ οὖν ἐν ὀρθογωνί ου κώνου τομῆι κάθετοι ἠγμέναι εἰσὶν ἐπὶ τὴν διάμετρον αἱ ΞΣ, ΒΔ, ἔστιν ὡς ἡ ΔΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΣ. ὡς δὲ ἡ ΔΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς ΠΣ, ὡς δὲ ἡ ΒΔ πρὸς ΠΣ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΠΣ· ἔσται ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΣ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔ, ΠΣ. ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ ΞΣ τὸ ὑπὸ ΒΔ, ΠΣ· ἀνάλογον ἄρα εἰσὶν αἱ ΒΔ, ΣΞ, ΣΠ, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς ΠΣ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΞΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΠ. ὡς δὲ ἡ ΒΔ πρὸς ΠΣ, οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς ΑΣ, τουτέστιν ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΞΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΠ. ἀνεστάτω δὴ ἀπὸ τῆς ΞΟ ἐπίπε δον ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΔ· ποιήσει δὲ τοῦτο ἐν μὲν τῶι τμήματι τοῦ ὀρ θογωνίου κωνοειδέος κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ, ἐν δὲ τῶι κώ νωι κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΞΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΠ, οὕτως ὁ κύ κλος, οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ, ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, οὕτως ὁ κύκλος, οὗ διάμε τρος ἡ ΞΟ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ διάμε τρος ἡ ΠΡ. ἰσορροπήσει ἄρα πε ρὶ τὸ Α σημεῖον ὁ κύκλος, οὗ διάμε τρος ἡ ΞΟ, αὐτοῦ μένων τῶι κύ κλωι, οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ, μετενε χθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥσ τε κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν τοῦ μὲν κύκλου, οὗ διά μετρος ἡ ΞΟ, αὐτοῦ μένοντος κέν τρον ἐστὶν τοῦ βάρους τὸ Σ, τοῦ δὲ κύκλου, οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ, μετε νεχθέντος ὡς ἐρρέθη κέντρον τοῦ βάρους τὸ Θ, καὶ ἀντιπεπον θότως τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ, ὃν ὁ κύκλος, οὗ διάμε τρος ἡ ΞΟ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ διά μετρος ἡ ΠΡ, ἰσορροπήσουσιν ἄρα πρὸς τῶι Α σημείωι. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, καὶ ἐὰν ἄλλη τις ἀχθῆι ἐν τῆι τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆι παράλληλος τῆι ΒΓ, καὶ ἀπὸ τῆς ἀχθείσης ἐπί πεδον ἀνασταθῆι ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΔ, ὅτι ὁ γενόμενος κύκλος ἐν τῶι τμήματι τοῦ ὀρθογωνίου κωνο ειδέως αὐτοῦ μένων ἰσορροπή σει περὶ τὸ Α σημεῖον τῶι γενομέ νωι κύκλωι ἐν τῶι κώνωι μετενε χθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ. συμπληρωθέν των οὖν ὑπὸ τῶν κύκλων τοῦ τε τμήματος καὶ τοῦ κώνου ἰσορ ροπήσουσι περὶ τὸ Α σημεῖον τεθέντες οἱ κύκλοι οἱ ἐν τῶι τμή ματι αὐτοῦ μένοντες πᾶσι τοῖς κύκλοις τοῖς ἐν τῶι κώνωι με τενεχθεῖσι καὶ τεθεῖσι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ σημεῖον οὕτως, ὥστε αὐτῶν κέντρον εἶναι τοῦ βά ρους τὸ Θ· ἰσόρροπον οὖν καὶ τὸ τμῆμα τοῦ ὀρθογωνίου κω νοειδέος περὶ τὸ Α σημεῖον αὐ τοῦ μένον τῶι κώνωι μετενε χθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥστε κέντρον εἶναι τοῦ βάρους αὐτοῦ τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν συναμφοτέρων τῶν μεγεθ ῶν ὡς ἑνὸς λεγομένων κέντρον ἐστὶν τοῦ βάρους τὸ Α, αὐτοῦ δὲ τοῦ κώ νου τοῦ μετενηνεγμένου κέντρον τοῦ βάρους τὸ Θ, τοῦ λοιποῦ ἄρα μεγέθους τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βά ρους ἐπὶ τῆς ΑΘ εὐθείας ἐκβε βλημένης ἐπὶ τὸ Α καὶ ἀπολη φθεῖσα αὐτῆς τῆς ΑΚ τηλικαύτης, ὥστε τὴν ΑΘ πρὸς αὐτὴν τοῦτον ἔ χειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὸ τμῆμα πρὸς τὸν κῶνον. ἡμιόλιον δέ ἐστιν τὸ τμῆμα τοῦ κώνου· ἡμιόλιος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΘΑ τῆς ΑΚ, καί ἐστιν τὸ Κ κέντρον τοῦ βάρους τοῦ ὀρθογω νίου κωνοειδέος τῆς ΑΔ τετμη μένης οὕτως, ὥστε διπλάσιον εἶναι τὸ μέρος αὐτῆς τὸ πρὸς τῆι κορυ φῆι τοῦ τμήματος τοῦ λοιποῦ τμή ματος.

Figure 5.1 παντὸς ἡμισφαιρίου τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐπὶ τῆς εὐθείας ἐστίν, ἥ ἐστιν ἄξων αὐτοῦ, τμηθείσης οὕτως, ὥστε τὸ τμῆμα αὐτῆς τὸ πρὸς τῆι ἐπιφανείαι τοῦ ἡμισφαι ρίου πρὸς τὸ λοιπὸν τμῆμα τοῦ τον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὰ πέντε πρὸς τὰ τρία. ἔστω σφαῖ ρα καὶ τετμήσθω ἐπιπέδωι διὰ τοῦ κέντρου, καὶ γενέσθω ἐν τῆι ἐπιφανείαι τομὴ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος, διάμετροι δὲ ἔστωσαν τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ, ΒΔ, ἀπὸ δὲ τῆς ΒΔ ἐπίπε δον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΓ, καὶ ἔστω κῶνος βαβάσιν μὲν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΒΔ κύκλον, κορυφὴν δὲ τὸ Α σημεῖ ον, πλευραὶ δὲ ἔστωσαν τοῦ κώ νου αἱ ΒΑ, ΑΔ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΑ, καὶ κείσθω τῆι ΓΑ ἴση ἡ ΑΘ, καὶ νοείσθω ζυγὸς ἡ ΘΓ εὐθεῖα, μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Α, καὶ ἤχθω τις ἐν τῶι ΒΑΔ ἡμικυκλίωι ἡ ΞΟ παράλλη λος οὖσα τῆι ΒΔ, τεμνέτω δὲ αὕ τη τῆς μὲν τοῦ ἡμικυκλίου περι φέρειαν κατὰ τὰ Ξ, Ο, τὰς δὲ τοῦ κώ νου πλευρὰς κατὰ τὰ Π, Ρ σημεῖα, τὴν δὲ ΑΓ κατὰ τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τῆς ΞΟ ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΕ· ποιήσει δὴ τοῦτο ἐν μὲν τῶι ἡμισφαιρίωι τομὴν κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ, ἐν δὲ τῶι κώνωι τομὴν κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΑΕ, τὸ ἀπὸ ΞΑ πρὸς τὸ ΑΕ, τῶι δὲ ἀπὸ ΞΑ ἴσα τὰ ἀπὸ ΑΕ, ΕΞ, τῆι δὲ ΑΕ ἴση ἡ ΕΠ, ὡς ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς ΑΕ, οὕτως τὰ ἀπὸ ΞΕ, ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΠ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΞΕ, ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΠ, οὕτως ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΠΡ, καί ἐστιν ἡ ΓΑ τῆι ΑΘ ἴση· ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΠΡ πρὸς τὸν κύ κλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΠΡ. ἰσορροπήσουσιν ἄρα περὶ τὸ Α σημεῖον ἀμφότεροι οἱ κύκλοι, εἰσὶ διάμετροι αἱ ΞΟ, ΠΡ, αὐτοῦ μένον τες τῶι κύκλωι, οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ, μετενεχθέντι καὶ τεθέντι κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν ἀμφοτέρων μὲν τῶν κύκλων, εἰσὶ διάμετροι αἱ ΞΟ, ΠΡ, αὐτοῦ μενόν των κέντρον τοῦ βάρους ἐστὶν τὸ Ε, τοῦ δὲ κύκλου, οὗ ἐστι διά μετρος ἡ ΠΡ, μετενεχθέντος τὸ Θ, ἔστιν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΘ, οὕτως ὁ κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ, πρὸς τοὺς κύκλους, ὧν διάμετροι αἱ ΞΟ, ΠΡ. ὁμοίως δὲ καὶ ἐὰν ἄλλη τις ἀχθῆι ἐν τῆι τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆι παράλληλος τῆι ΒΗΔ, καὶ ἀπὸ τῆς ἀχθείσης ἐπίπεδον ἀνασταθῆι ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΓ, ἰσορροπήσουσιν περὶ τὸ Α σημεῖον ἀμφότεροι οἱ κύκλοι ὅ τε ἐν τῶι ἡμισφαιρίωι γενόμενος καὶ ὁ ἐν τῶι κώνωι αὐτοῦ μένοντες τῶι γενομένωι κύκλωι ἐν τῶι κώ νωι μετενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ. συμπληρωθέν των οὖν ὑπὸ τῶν κύκλων τοῦ τε ἡμισφαιρίου καὶ τοῦ κώνου ἰσορ ροπήσουσι περὶ τὸ Α σημεῖον πάν τες οἱ κύκλοι οἱ ἐν τῶι ἡμισφαι ρίωι καὶ οἱ ἐν τῶι κώνωι αὐτοῦ μένοντες πᾶσι τοῖς κύκλοις τοῖς ἐν τῶι κώνωι μετενεχθεῖσι καὶ τε θεῖσι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥσ τε κέντρον εἶναι αὐτῶν τοῦ βάρους τὸ Θ· ὥστε ἰσορροπήσουσι περὶ τὸ Α σημεῖον τό τε ἡμι σφαίριον καὶ ὁ κῶνος αὐτοῦ μένοντας τῶι κώνωι μετενεχθέν τι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥστε κέντρον αὐτοῦ εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ σημεῖον δ ἔλασσον τῶν δὲ ἰσορροπούντων κατὰ τὸ Α τρ τὸ καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΘΑ πρὸςΑΧ, ἄξων ὁ ΑΗ τὰ μον ση μεῖον κῶνον τοῖς τοῦ κώνου καὶ ἐπεὶ τετραπλασία ἐστὶν ἡ σφαῖρα τοῦ κώνου, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΒΔ κύ κλος, ἄξων δὲ ἡ ΑΗ

Figure 6.1 θεωρεῖται δὲ διὰ τοῦ τρόπου τού του καὶ ὅτι πᾶν τμῆμα σφαί ρας πρὸς τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὴν αὐτὴν τῶι τμήματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἔ χει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφό τερος ἥ τε ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ τὸ ὕψος τοῦ λοι ποῦ τμήματος πρὸς τὸ ὕψος τοῦ λοιποῦ τμήματος τω ὀρθὴ τὸ αὐτὸ παρὰ καὶ ἀπὸ τῆς ΜΝ ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΓ· ποιήσει δὴ τοῦτο ἐν μὲν τῶι κυλίνδρωι τομὴν κύκλον, οὗ ἐστι διάμετρος ἡ ΜΝ, ἐν δὲ τῶι τμήμα τι τῆς σφαίρας τομὴν κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ, ἐν δὲ τῶι κώνωι, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΕΖ κύκλον, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, κύ κλον, οὗ διάμετρός ἐστιν ἡ ΠΡ. ὁ μοίως δὴ τοῖς πρότερον δειχθήσε ται ἰσόρροπον περὶ τὸ Α σημεῖον ὁ κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ, αὐ τοῦ μένων ἀμφοτέροις τοῖς κύ κλοις, ὧν διάμετροι αἱ ΞΟ, ΠΡ, μετενεχθεῖσι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε ἑκατέρου αὐτῶν κέντρον τοῦ βάρους εἶναι τὸ Θ· ὁμοίως δὲ ἐπὶ πάντων. συμπληρωθέντων οὖν καὶ τοῦ κυλίνδρου καὶ τοῦ κώνου καὶ τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας ὑπὸ τῶν κύκλων ἰσορροπήσει καὶ ὁ κύλινδρος αὐτοῦ μένων συ ναμφοτέροις τῶι τε κώνωι καὶ τῶι τμήματι τῆς σφαίρας μετενηνεγμένοις καὶ κειμένοις τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ. τεμνέσθω δὲ ἡ ΑΓ κατὰ τὰ Φ, Χ σημεῖα οὕτως ὥστε τὴν μὲν ΑΧ εἶναι ἴσην τῆι ΧΗ, τὴν δὲ ΗΦ τρίτον μέρος τῆς ΑΗ· ἔσται δὴ τοῦ μὲν κυλίνδρου κέντρον τοῦ βάρους τὸ Χ διὰ τὸ διχο τομίαν εἶναι τοῦ ΑΗ ἄξονος. ἐπεὶ οὖν ἰσορροπεῖ περὶ τὸ Α ση μεῖον τὰ εἰρημένα μεγέθη, ἔσται ὡς ὁ κύλινδρος πρὸς ἀμφότερον τόν τε κῶνον, ἡ ΕΖ, καὶ τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας τὸ ΒΑΔ, οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΧ. καὶ ἐπεὶ τριπλασία ἐστὶν ἡ ΗΑ τῆς ΑΦ, τρίτον μέρος ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΗΦ τοῦ ὑπὸ ΑΗ, ΗΓ. ἴσον δὲ τῶι ὑπὸ ΑΗ, ΗΒ· ἔσται δὴ καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΗ τρίτον μέρος τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΗΦ ὑπὸ ΗΓ τὸ δὲ ἀπὸ ΑΗ ὑπὸ ΗΓ τῆς ΚΛ τρον οὕτως ὁ κύλινδρος, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν κύκλος πρὸς τὸν ὁ κύλινδρος, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ κύκλος πρὸς τὸν ΑΕΖ κῶνον. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΘΑ πρὸς ἄρα ἡ πρὸς τὸν κῶνον. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΘΑ πρὸς ΑΧ, οὕτως ὁ κύλινδρος, ὁ περὶ διάμετρ ον τὴν ΚΛ κύκλος πρὸς τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας τὸ ΑΒΔ καὶ τὸν κῶνον· καὶ ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς συναμφοτέρας τὰς Φ τὸ ΑΒΔ τμῆμα τῆς σφαίρας τα καὶ ὅ τε ὡς τὸ ΑΒΔ τμῆμα πρὸς τὸν κύλινδρον, οὗ ἐστι βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν κύκλος, ἄξων δὲ ὁ αὐτός, οὕτως Χ πρὸς ὡς δὲ ὁ κύλινδρος, οὗ ἡ βάσις ὁ περὶ διά μετρον τὴν ΚΛ κύκλος, πρὸς τὸν ΑΒΔ κῶνον, οὕτως τω πρὸς Β η Φ ὡς ἡ ἡ Α τῆι καὶ ἡ ΗΓ καὶ ὁμοίως δὲ θεωρεῖται διὰ τοῦ αὐ τοῦ τρόπου καὶ ὅτι πᾶν τμῆμα σφαι ροειδέος ἀποτετμημένον ἐπιπέδωι ὀρθῶι πρὸς τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχον τα τὴν αὐτὴν τῶι τμήματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερος ἥ τε ἡμίσεια τοῦ ἄξονος τοῦ σφαιρο

Figure 8.1 ειδέος καὶ τοῦ ἄξονος τοῦ ἀντικειμέ νου τμήμα τος πρὸς τὸν ἄξονα τοῦ ἀντικειμέ νου τμήματος. παντὸς τμήματος σφαίρας τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐστὶν ἐπὶ τῆς εὐθείας, ἥ ἐστιν ἄξων τοῦ τμήματος, διηιρημένης οὕτως ὥστε τὸ μέρος αὐτῆς τὸ πρὸς τῆι κορυ φῆι τοῦ τμήματος πρὸς τὸ λοιπὸν τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει συ ναμφότερον ὅ τε ἄξων τοῦ τμή ματος καὶ ἡ τετραπλασία τοῦ ἄξονος τοῦ ἐν τῶι ἀντικειμένωι τμήματι πρὸς συναμφότερον τόν τε ἄξονα τοῦ τμήματος καὶ τὴν διπλασίαν τοῦ ἄξονος τοῦ ἐν τῶι ἀντικειμένωι τμήματι ἐμπεριε χομένου. τοῦ δὲ ἀποτετμηκότος τὸ τμῆμα ἐπι πέδου ἡ ΒΔ, ἡ δὲ ΓΑ εὐθεῖα διά μετρος ἔστω ὀρθὴ πρὸς τὴν ΒΔ καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Η ση μεῖον· ὥστε τοῦ τμήματος, οὗ κορυ φὴ τὸ Α σημεῖον, ἄξων ἔσται ἡ ΑΗ, τοῦ δὲ ἀντικειμένου ἄξων ἡ ΗΓ. τετμήσθω δὲ ἡ ΑΗ κατὰ τὸ Χ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΧ πρὸς ΧΗ, οὕ τως τήν τε ΑΗ καὶ τὴν τετρα πλασίαν τῆς ΗΓ. λέγω ὅτι τοῦ τμήματος, οὗ κορυφὴ τὸ Α ση μεῖον, κέντρον τοῦ βάρους ἐστὶ τὸ Χ φοτέροις τμημ , οὗ κορυ φὴ σημεῖον ΗΑ ἐχ τὴν Η λόγον κέντρον Χ εἰ τμήθη ρ χηματ μει ω ἐν δὴ τερ καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΓ, καὶ κείσ θω αὐτῆι ἴση ἡ ΑΘ καὶ τῆι ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἴση ἡ ΓΞ, καὶ νοείσθω ζυγὸς τὸ μέσον δὲ αὐ τοῦ τὸ Α, γεγράφθω δὲ καὶ κύκλος ἐν τῶι ἐπιπέδωι τῶι ἀποτέμνον τι τὸ τμῆμα κέντρωι μὲν τῶι Η, διαστήματι δὲ τῶι ἴσωι τῆι ΑΗ, καὶ ἀπὸ τοῦ κύκλου τούτου γεγράφ θω κῶνος κορυφὴν ἔχων τὸ Α σημεῖον, πλευραὶ δὲ ἔστωσαν τοῦ κώνου αἱ ΑΕ, ΑΖ, καὶ ἤχθω τις τῆι ΕΖ πα ράλληλος ἡ ΚΛ καὶ συμβαλλέτω τῆι μὲν περιφερείαι τοῦ τμήματος κατὰ τὰ Κ, Λ, ταῖς δὲ τοῦ ΑΕΑΖ κώ νου πλευραῖς κατὰ τὰ Ρ, Ο, τῆι δὲ ΑΓ κατὰ τὸ Η. ἐπὶ ἐπεὶ δή ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΑΠ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΚΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΠ, καί ἐστι τῶι μὲν ἀπὸ ΚΑ ἴσα τὰ ἀ πὸ τῶν ΑΠ, ΠΚ, τῶι δὲ ἀπὸ τῆς ΑΠ τὸ ἀπὸ ΠΟ, ἐπεὶ καὶ τῶι ἀπὸ ΑΗ τὸ ἀ πὸ τῆς ΕΗ ἐστὶν ἴσον, ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς ΑΠ, οὕτως τὰ ἀπὸ ΚΠ, ΠΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΠ. ὡς δὲ τὰ ἀπὸ ΚΠ, ΠΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΟ, οὕτως ὁ κύκλος περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ καὶ ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ πρὸς τὸν κύ κλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΑ τῆι ΑΘ· ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΠ, οὕτως ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ καὶ ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ κύ κλος πρὸς τὸν περὶ τὴν ΟΡ. ἐπεὶ οὖν ὡς οἱ περὶ διαμέτρους τὰς ΚΛ, ΟΡ κύκλοι πρὸς τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς ΠΑ, μετακείσθω ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ κύκλος καὶ κείσθω τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ· ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΠ, οὕτως ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ καὶ ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ αὐ τοῦ μένοντες πρὸς τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ μετενεχθέντα καὶ τεθέντα τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ· ἰσόρροποι ἄρα οἱ κύκλοι ὅ τε ἐν τῶι τμήματι τῶι ΒΑΔ καὶ ὁ ἐν τῶι ΑΕΖ κώνωι τῶι ἐν τῶι ΑΕΖ κώνωι περὶ τὸ Α. ὁμοίως δὲ καὶ πάντες οἱ κύκλοι οἱ ἐν τῶι ΒΑΔ τμήματι καὶ ἐν τῶι ΑΕΖ κώνωι αὐτοῦ μένοντες κατὰ τὸ Α σημεῖον ἰσόρροποι πᾶσι τοῖς κύκλοις τοῖς ἐν τῶι ΑΕΖ κώνωι με τενεχθεῖσι καὶ τεθεῖσι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε κέντρον εἶναι αὐ τῶν τοῦ βάρους τὸ Θ· ὥστε καὶ τὸ ΑΒΔ τμῆμα τῆς σφαίρας καὶ ὁ ΑΕΖ κῶνος ἰσορροπεῖ περὶ τὸ Α σημεῖ ον αὐτοῦ μένοντα τῶι ΕΑΖ κώνωι μετενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε κέντρον εἶναι αὐ τοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ. ἔστω δὲ τῶι κώνωι τῶι βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΕΖ κύκλον, κορυφὴν δὲ τὸ Α σημεῖον, ἴσος κύλινδρος ὁ ΜΝ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΗ κατὰ τὸ Φ, ὥστε τετραπλασίαν εἶναι τὴν ΑΗ τῆς ΦΗ· τὸ Φ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρους τοῦ ΕΑΖ κώνου· τοῦ το γὰρ προσγράφεται. καὶ τετμήσθω ἔτι ὁ ΜΝ κύλινδρος ἐπιπέδωι τέμνοντι πρὸς ὀρθάς, ὥστε τὸν Μ κύλιν δρον ἰσορροπεῖν τῶι ΕΑΖ κώνωι. ἐπεὶ οὖν ἰσόρροπος ὁ ΕΑΖ κῶνος καὶ τὸ ΑΒΔ τμῆμα αὐτοῦ μένον τα τῶι ΕΑΖ κώνωι μετενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥσ τε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ, καί ἐστιν τὸ ΕΑΖ κώνωι ἴσος ὁ ΜΝ κύλινδρος, καὶ κεῖται ἑκά τερος τῶι ΜΝ κυλίνδρωι κατὰ τὸ Θ, καὶ ἰσόρροπος ὁ ΜΝ κύλιν δρος ἑκατέροις, ἰσόρροπος καὶ ὁ Ν τῶι τμήματι τῆς σφαίρας κατὰ τὸ Α σημεῖον. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΒΑΔ τμῆμα τῆς σφαίρας πρὸς τὸν κῶνον, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμε τρον τὴν ΒΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, οὕτως ἡ ΞΗ πρὸς ΗΓ· τοῦ το γὰρ προσγράφεται. ὡς δὲ ὁ ΒΑΔ κῶνος πρὸς τὸν ΕΖ κῶνον, οὕτως ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΒΔ πρὸς τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμε τρον τὴν ΕΖ, ὡς δὲ ὁ κύκλος πρὸς τὸν κύκλον, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΕ, καί ἐστι τῶι μὲν ἀπὸ ΒΗ ἴσον τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΗΑ, τῶι δὲ ἀπὸ ΗΕ ἴσον τὸ ἀπὸ ΗΑ, ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΗΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΑ· ὡς ἄρα ὁ ΒΑΔ κῶνος πρὸς τὸν ΕΑΖ κῶνον, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΑ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ ΒΑΔ κῶνος πρὸς ΒΑΔ τμῆμα, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΞ· δι’ ἴσου ἄρα ὡς τὸ ΒΑΔ τμῆμα πρὸς τὸν ΕΑΖ κῶνον, οὕτως ἡ ΞΗ πρὸς ΗΑ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΧ πρὸς ΧΗ, οὕτως ἡ ΗΑ καὶ ἡ τετραπλασία τῆς ΗΓ πρὸς τὴν ΑΗ καὶ τὴν διπλα σίαν τῆς ΗΓ, ἀνάπαλιν ἔσται ὡς ἡ ΗΧ πρὸς ΧΑ, οὕτως ἡ διπλασία τῆς ΓΗ καὶ ἡ ἑξαπλῆ τῆς ΗΑ πρὸς τὴν τετραπλῆν τῆς ΓΗ καὶ τὴν ΗΑ. συνθέντι ὡς ἡ ΗΑ πρὸς ΑΧ, οὕτως ἡ ἑξαπλασίαν τῆς ΓΗ καὶ διπλα σίαν τὴν ΗΑ πρὸς τὴν ΗΑ καὶ τετρα πλῆν τὴν ΗΓ. καὶ τῆς μὲν ἑξαπλα σίας τῆς ΗΓ καὶ διπλασίας τῆς ΗΑ ἡ ΗΞ, τῆς δὲ τετραπλασίας τῆς ΗΓ καὶ τῆς ΗΑ τέταρτον μέρος ἡ ΓΦ· τοῦτο γὰρ φανερόν· ὡς ἄρα ἡ ΗΑ πρὸς ΑΧ, οὕτως ἡ ΞΗ πρὸς ΓΦ· ὥστε καὶ ὡς ἡ ΞΗ πρὸς ΗΑ, οὕτως ἡ ΓΦ πρὸς ΧΑ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΞΗ πρὸς ΗΑ, οὕτως τὸ τμῆμα, οὗ ἐστι κορυφὴ τὸ Α σημεῖον, βάσις δὲ ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΒΔ κύκλος, πρὸς τὸν κῶνον, οὗ ἐστι κορυφὴ τὸ Α σημεῖον, βάσις δὲ ὁ περὶ διάμε τρον τὴν ΕΖ κύκλος· ὡς ἄρα τὸ ΒΑΔ τμῆμα πρὸς τὸν ΕΑΖ κῶνον, οὕτως ἡ ΓΦ πρὸς ΧΑ. καὶ ἐπεὶ ἰσόρροπος ὁ Μ κύλινδρος τῶι ΕΑΖ κώνωι κατὰ τὸ Α, καί ἐστι τοῦ μὲν κυλίνδρου κέν τρον βάρους τὸ Θ, τοῦ δὲ ΕΑΖ κώνου τὸ Φ, ἔσται ἄρα ὡς ὁ ΕΑΖ κῶνος πρὸς τὸν Μ κύλινδρον, οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΦ, τουτέστιν ἡ ΓΑ πρὸς ΑΦ. καί ἐστι τῶι ΕΑΖ κώνωι ἴσος ὁ ΜΝ κύλινδρος πρὸς τὸν Ν κύ λινδρον, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΦ. καί ἐστιν ἴσος ὁ ΜΝ κύλινδρος τῶι ΕΑΖ κώ νωι· ὡς ἄρα ὁ ΕΑΖ κῶνος πρὸς τὸν Ν κύλινδρον, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς ΓΦ, τουτέστιν ἡ ΘΑ πρὸς ΓΦ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ Β ΑΔ τμῆμα πρὸς τὸν ΕΑΖ κῶνον, οὕτως ἡ ΓΦ πρὸς ΧΑ· δι’ ἴσου ἄρα ἔσται ὡς τὸ ΑΒΔ τμῆμα πρὸς τὸν Ν κύλινδρον, οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΧ. καὶ ἐδείχθη ἰσόρροπον τὸ ΒΑΔ τμῆμα τῶι Ν κυλίνδρωι κατὰ τὸ Α, καί ἐστι τοῦ Ν κυλίνδρου κέντρον βάρους τὸ Θ· καὶ τοῦ ΒΑΔ ἄρα τμήματος κέντρον τὸ Χ σημεῖον. τὸ σχῆμα.

Figure 9.1 ὁμοίως δὲ τούτοις θεωρεῖται καὶ ὅτι παντὸς τμήματος σφαιροειδέος τὸ κέντρον ἐστὶν τοῦ βάρους ἐπὶ τῆς εὐθείας, ἥ ἐστιν ἄξων τοῦ τμήματος, διηιρημένης τῆς εὐθείας, ὥστε τὸ μέρος αὐτῆς τὸ πρὸς τῆι κο ρυφῆι τοῦ τμήματος πρὸς τὸ λοιπὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συ ναμφότερον ὅ τε ἄξων τοῦ τμή ματος καὶ ἡ τετραπλασία τοῦ ἄξονος τοῦ ἐν τῶι ἀντικειμένωι τμήματι πρὸς συναμφότερον τόν τε ἄξονα τοῦ τμήματος καὶ τὴν διπλασίαν τοῦ ἄξονος τοῦ ἐν τῶι ἀντικειμένωι τμήματι ἐμπεριε χομένη. θεωρεῖται δὲ διὰ τοῦ τρόπου καὶ ὅτι πᾶν τμῆμα ἀμβλυγωνίου κωνο ειδέος πρὸς τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχον τα τὴν αὐτὴν τῶι τμήματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερος ὅ τε ἄξων τοῦ τμήματος καὶ ἡ τριπλασία τῆς προσούσης τῶι ἄξονι πρὸς συ ναμφότερον τόν τε ἄξονα τοῦ τμή ματος τοῦ κωνοειδοῦς καὶ τὴν δι πλασίαν τῆς προσούσης τῶι ἄξο νι, κέντρον δὲ τοῦ βάρους τοῦ ἀμβλυ γωνίου κωνοειδέος τμηθέντος τοῦ ἄξονος, ὥστε τὸ πρὸς τῆι κορυφῆι τμῆμα πρὸς τὸν λοιπὸν λόγον ἔχει, ὃν ἔχει ὅ τε τριπλάσιος τοῦ ἄξονος καὶ ἡ ὀκταπλασία τῆς προκειμένης πρὸς τὸν ἄξονα αὐτοῦ τοῦ κωνοειδέος καὶ τὴν τετρα πλασίαν αὐτῆς τῆς προκειμένης πρὸς αὐτόν· καὶ ἄλλων πλειόνων ἁ θεωρουμένων τὰ περιλήψομεν ῥη τως, ἐπεὶ ὁ τρόπος ὑποδέδεικται διὰ τῶν προειρημένων. ἐὰν εἰς πρίσμα ὀρθὸν τετραγώνους ἔχοντι βάσεις κύλινδρος ἐγγραφῆι τὰς μὲν βά σεις ἔχων ἐν τοῖς ἀπεναντίον τετραγώνοις, τὴν δὲ ἐπιφάνειαν τῶν λοιπῶν παραλληλογράμμων τεσσάρων ἐπιπέδων ἐφαπτόμε νον, διὰ δὲ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ὅ ἐστι βάσις τοῦ κυλίνδρου, καὶ μιᾶς πλευ ρᾶς τοῦ ἀπεναντίον τετραγώνου ἐπίπε δον ἀχθῆι, ὅτι τὸ ἀποτμηθὲν σχῆ μα ὑπὸ τοῦ ἀχθέντος ἐπιπέδου ἕκτον ἐστὶ μέρος τοῦ ὅλου πρίσματος, διὰ τοῦ τρόπου τούτου θεωρεῖται. δείξαντες δὴ ἀναχωρήσομεν ἐπὶ τὴν διὰ τῶν γεωμετρουμέ νων ἀπόδειξιν αὐτοῦ. νοείσθω πρίσμα ὀρθὸν τετραγώνους ἔχον βάσεις ἐν τῶι πρίσματι κύλιν δρος ἐγγεγραμμένος ὡς εἴρη ται, τμηθέντος δὲ τοῦ πρίσμα τος διὰ τοῦ ἄξονος ἐπιπέδωι ὀρ θῶι πρὸς τὸ ἐπίπεδον τὸ ἀποτετμη κὸς τὸ τμῆμα τοῦ κυλίνδρου τοῦ μὲν πρίσματος τοῦ τὸν κύλινδρον ἔχοντος τομὴ ἔστω ΑΒ παραλληλό γραμμον, τοῦ δὲ ἐπιπέδου τοῦ ἀ ποτετμηκότος τὸ τμῆμα ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου καὶ τοῦ διὰ τοῦ ἄξο νος ἠγμένου ἐπιπέδου ὀρθοῦ πρὸς τὸ ἐπίπεδον τὸ ἀποτετμηκὸς τὸ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου τμῆμα κοι νὴ τομὴ ἔστω ἡ ΒΓ εὐθεῖα, ἄξων δὲ ἔστω τοῦ πρίσματος καὶ τοῦ κυλίνδρου ἡ ΓΔ εὐθεῖα, καὶ τεμνέ τω αὐτὴν ἡ ΕΖ δίχα καὶ πρὸς ὀρθάς, καὶ διὰ τῆς ΕΖ ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΓΔ· ποιήσει δὴ τοῦ το ἐν μὲν τῶι πρίσματι τομὴν τετράγωνον, ἐν δὲ τῶι κυλίνδρωι τομὴν κύκλον. ἔστω οὖν τοῦ μὲν πρίσματος τομὴ τὸ ΜΝ τετρά γωνον, τοῦ δὲ κυλίνδρου ὁ ΞΟΠΡ κύκλος, καὶ ἐφαπτέσθω ὁ κύκλος τῶν τοῦ τετραγώνου πλευρῶν κατὰ τὰ Ξ, Ο, Π, Ρ σημεῖα, τοῦ δὲ ἐπιπέδου τοῦ ἀποτετμηκότος τὸ τμῆμα ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου καὶ τοῦ διὰ τῆς ΕΖ ἀχθέντος ἐπιπέδου ὀρθοῦ πρὸς τὸν ἄξονα τοῦ κυλίνδρου κοινὴ τομὴ ἔστω ἡ ΚΛ εὐθεῖα· τέμνει δὲ αὐτὴν δίχα ἡ ΠΘΞ. ἤχθω δέ τις εὐθεῖα ἐν τῶι ΟΠΡ ἡμικυκλίωι ἡ ΣΤ πρὸς ὀρθὰς οὖ σα τῆι ΠΧ, καὶ ἀπὸ τῆς ΣΤ ἐπί πεδον ἀνασταθὲν ὀρθὸν πρὸς τὴν ΞΠ ἐκβεβλήσθω ἐφ’ ἑκάτερα τὸ ἐπίπεδον, ἐν ὧι ἐστιν ἡ ΞΟΠΡ κύ κλος· ποιήσει δὴ τοῦτο ἐν τῶι ἡμικυ λίνδρωι, οὗ ἐστι βάσις τὸ ΟΠΡ ἡμικύ κλιον, ὕψος δὲ ὁ ἄξων τοῦ πρίσ ματος, τομὴν παραλληλόγραμ μον, οὗ ἔσται μία μὲν πλευρὰ ἡ ἴ ση τῆι ΣΤ, ἡ δὲ ἑτέρα τῆι τοῦ κυ λίνδρου πλευρᾶι, ποιήσει δὲ καὶ ἐν τῶι τμήματι τῶι ἀποτετμη μένωι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου τομὴν παραλληλόγραμμον, οὗ ἐστιν ἡ μὲν ἑτέρα πλευρὰ ἴση τῆι ΝΥ· ἔστω δὲ οὕτως ἡ ΝΥ ἠγμένη ἐν τῶι ΔΕ παραλληλογράμμωι παράλλη λος οὖσα τῆι ΒΩ ἴσην ἀπολαμ βάνουσα τὴν ΕΙ τῆι ΠΧ. καὶ ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΕΓ, καὶ παράλληλος ἡ ΝΙ τῆι ΘΓ, καὶ διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΘ, ΘΒ, ἔστιν ὡς ἡ ΕΘ πρὸς ΘΙ, οὕτως ὡς ἡ ΩΓ πρὸς ΓΝ, του τέστιν ἡ ΒΩ πρὸς ΥΝ. ὡς δὲ ἡ ΒΩ πρὸς ΥΝ, οὕτως τὸ παράλληλον τὸ γενόμενον ἐν τῶι ἡμικυλινδρίωι πρὸς τὸ γε νόμενον ἐν τῶι ἀποτμήμα τι τῶι ἀποτμηθέντι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου· ἀμφοτέρων γὰρ τῶν παραλληλογράμμων ἡ αὐτὴ πλευρά ἐστιν ἡ ΣΤ· καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΘ τῆι ΘΠ, ἡ δὲ ΙΘ τῆι ΧΘ· καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΠΘ τῆι ΘΞ, ὡς ἄρα ἡ ΘΞ πρὸς ΘΧ, οὕτως τὸ γενόμενον παραλ ληλόγραμμον ἐν τῶι ἡμικυλινδρίωι πρὸς τὸ γενόμενον ἐν τῶι ἀποτμή ματι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου. νοείσ θω μετακείμενον τὸ ἐν τῶι τμήματι παραλληλόγραμμον καὶ κείμενον κατὰ τὸ Ξ, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Ξ, καί ἐστι νοείσθω ζυγὸς ἡ ΠΞ, μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Θ· ἰσορροπεῖ δὴ περὶ τὸ Θ σημεῖον τὸ παραλληλόγραμ μον τὸ ἐν τῶι ἡμικυλινδρίωι αὐτ οῦ μένον τῶι παραλληλογράμμωι τῶι γενομένωι ἐν τῶι ἀποτμήμα τι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου μετενεχθέν τι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Ξ οὕτως, ἔσται κέντρον εἶναι τοῦ αὐτοῦ βάρους τὸ Ξ σημεῖον. καὶ ἐπεί ἐστι τοῦ μὲν παραλληλογράμμου τοῦ γενομένου ἐν τῶι ἡμικυλινδρίωι κέντρον τοῦ βάρους τὸ Χ, τοῦ δὲ πα ραλληλογράμμου τοῦ γενομένου ἐν τῶι τμήματι τῶι ἀποτμηθέν τι μετενηνεγμένου κέντρον τοῦ βάρους τὸ Ξ, καὶ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἡ ΞΘ πρὸς ΘΧ, ὃν τὸ παραλληλόγραμ μον, οὗ εἴπωμεν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Χ, πρὸς τὸ παραλληλό γραμμον, οὗ εἴπομεν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Ξ, ὁμοίως δὲ δειχθήσεται ὅτι καὶ ὅταν ἄλλη τις ἀχθῆι ἐν τῶι ΟΠΡ ἡμικυκλίωι πρὸς ὀρθὰς τῆι ΠΘ, καὶ ἀπὸ τῆς ἀ χθείσης ἐπίπεδον ἀνασταθῆι ὀρθὸν πρὸς τὴν ΠΘ καὶ ἐκβληθῆι ἐ φ’ ἑκάτερα τοῦ ἐπιπέδου τοῦ ἐ ν ὧι ἐστιν ὁ ΞΟΠΡ κύκλος, ὅτι τὸ γινόμε νον παραλληλόγραμμον ἐν τῶι ἡμικυλινδρίωι ἰσόρροπον περὶ τὸ Θ σημεῖον αὐτοῦ μένον τῶι πα ραλληλογράμμωι τῶι γενομένωι ἐν τῶι τμήματι τῶι ἀποτμηθέν τι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου μετενεχθέν τι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Ξ οὕτως, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Ξ σημεῖον. καὶ πάντα ἄρα τὰ παραλληλόγραμμα τὰ γενό μενα ἐν τῶι ἡμικυλινδρίωι αὐτοῦ μένοντα ἰσορροπήσει περὶ τὸ Θ σημεῖον πᾶσι τοῖς παραλληλο γράμμοις τοῖς γενομένοις ἐν τῶι τμήματι τῶι ἀποτμηθέντι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου μετενηνεγμέ νοις κειμένοις τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Ξ σημεῖον· ἰσορροπεῖν καὶ τὸ ἡ μικυλίνδριον αὐτοῦ μένον περὶ τὸ Θ σημεῖον τῶι τμήματι τῶι ἀ ποτμηθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Ξ οὕτως, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Ξ σημεῖον.

Figure 12.1 ἔστω δὴ πάλιν τὸ ὀρθὸν πρὸς τὸν ἄ ξονα παραλληλόγραμμον τὸ ΜΝ καὶ ὁ κύκλος ὁ ΞΟΠΡ, καὶ ἐπεζεύχθω σαν αἱ ΘΜ, ΘΗ, καὶ ἀνεστάτω ἀπ’ αὐτῶν ἐπίπεδα ὀρθὰ πρὸς τὸ ἐπί πεδον, ἐν ὧι ἐστι τὸ ΟΠΡ ἡμικύκλιον, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφ’ ἑκάτερα τὰ εἰρημένα ἐπίπεδα· ἔσται δή τι πρίσμα βάσιν μὲν ἔχον τηλικαύ την, ἡλίκη ἐστὶ τὸ ΘΜΗ τρίγωνον, ὕψος δὲ ἴσον τῶι ἄξονι τοῦ κυλίν δρου, καί ἐστι τὸ πρίσμα τοῦτο τέταρτον μέρος τοῦ ὅλου πρίσματος τοῦ περιέχοντος τὸν κύλινδρον. ἤχθωσαν δέ τινες εὐθεῖαι ἐν τῶι ΟΠΡ ἡμικυ κλίωι καὶ ἐν τῶι ΜΝ τετραγώνωι αἱ ΚΛ, ΤΥ ἴσον ἀπέχουσαι τῆς ΣΠΞ· τέμνουσιν δὴ αὗται τὴν μὲν τοῦ ΟΠΡ ἡμικυκλίου περιφέρειαν κατὰ τὰ Κ, Τ σημεῖα, τὴν δὲ ΟΡ διάμετρον κατὰ τὰ Σ, Ζ, τὰς δὲ ΘΗ, ΘΜ κατὰ τὰ Φ, Χ, καὶ ἀνεστάτω ἀ πὸ τῶν ΚΛ, ΤΥ ἐπίπεδα ὀρθὰ πρὸς τὴν ΟΡ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφ’ ἑ κάτερα τοῦ ἐπιπέδου, ἐν ὧι ἐστιν ὁ ΞΟΠΡ κύκλος· ποιήσει δὴ τὸ ἕτερον ἐν μὲν τῶι ἡμικυλινδρίωι, οὗ βάσις μέν ἐστιν τὸ ΟΠΡ ἡμικύκλιον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῶι κυλίνδρωι, τομὴν πα ραλληλόγραμμον, οὗ ἐστιν μία μὲν πλευρὰ ἴση τῆι ΚΣ, ἡ δὲ ἑτέρα ἴση τῶι ἄξονι τοῦ κυλίνδρου, ἐν δὲ τῶι πρίσματι τῶι ΘΗΜ ὁμοί ως παραλληλόγραμμον, οὗ ἔσται μία μὲν ἴση τῆι ΛΧ, ἡ δὲ ἑτέρα ἴση τῶι ἄξονι· διὰ τὰ αὐτὰ τῶι ἐν τῶι αὐτῶι ἡμικυλινδρίωι ἔσται τι παραλληλόγραμμον, οὗ ἐστι μία μὲν πλευρὰ ἴση τῆι ΤΖ, ἡ δὲ ἑτέ ρα ἴση τῶι ἄξονι τοῦ κυλίνδρου, ἐν δὲ τῶι πρίσματι παραλληλό γραμμον, οὗ ἐστιν ἡ μὲν μία πλευρὰ ἴση τῆι ΥΦ, ἡ δὲ ἑτέρα ἴση τῶι ἄξονι τοῦ κυλίνδρου ἔστω πρίσμα ὀρθὸν τετραγώνους ἔχον βάσεις, καὶ ἔστω αὐτοῦ μία τῶν βάσεων τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸ πρίσμα κύ λινδρος, καὶ ἔστω τοῦ κυλίνδρου βάσις ὁ ΕΖΗΘ κύκλος ἐφαπτό μενος τῆς τοῦ τετραγώνου πλευ ρᾶς τῆς Ε κατεναντίον ἐπιπέ δωι τοῦ ΑΒΓΔ τῆς κατὰ τὴν ΓΔ ἐπίπεδον ἤχθω· ἀποτεμεῖ ἀ ποτεμεῖ δὴ τοῦτο ἀπὸ τοῦ ὅλου πρίσματος, ἔσται τέταρτον μέρος τοῦ ὅλου πρίσματος, αὐτὸ δὲ τοῦτο ἔσται περιεχόμενον ὑπὸ τριῶν παραλληλογράμμων καὶ δύο τρι γώνων κατεναντίον ἀλλήλοις. γεγράφθω δὴ ἐν τῶι ΕΖΗ ἡμικυ κλίωι ὀρθογωνίου κώνου τομή, ἔστω δὲ ἐν τῆι τομῆι τῆς ἡ ΖΚ, καὶ ἤχθω τις ἐν τῶι ΔΗ παραλληλογράμμωι ἡ ΜΝ παράλληλος οὖσα τῆι ΚΖ· τεμεῖ δὴ αὕτη τὴν μὲν τοῦ ἡμικυκλίου περιφέρειαν κατὰ τὸ Ξ, τὴν δὲ τοῦ κώνου τομὴν κατὰ τὸ Λ. καί ἐστιν ἴσον τὸ ὑπὸ ΜΝΛ τῶι ἀπὸ τῆς ΝΖ· τοῦτο γάρ ἐστι σαφές· διὰ τοῦ το δὴ ἔσται ὡς ἡ ΜΝ πρὸς ΝΛ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΚΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΣ. καὶ ἀ πὸ τῆς ΜΝ ἐπίπεδον ἀνεστά τω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΕΗ· ποιήσει δὴ τὸ ἐπίπεδον ἐν τῶι πρίσματι τῶι ἀποτμηθέντι ἀπὸ τοῦ ὅλου πρίσματος τομὴν τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἔσται μία τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ἡ ΜΝ, ἡ δὲ ἑ τέρα ἐν τῶι ἐπιπέδωι τῶι ἀπὸ τῆς ΓΔ ὀρθὴ πρὸς τὴν ΓΔ ἀναγομένη ἀπὸ τοῦ Ν ἴση τῶι ἄξονι τοῦ κυλίν δρου, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ἐν αὐτῶι τῶι τέμνοντι ἐπιπέδωι· ποιήσει δὲ καὶ ἐν τῶι τμήματι τῶι ἀποτμη θέντι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ ἀχθέντος διὰ τῆς ΕΗ καὶ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς τῆς κατεναντίον τῆι ΓΔ τομὴν τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἔσται μί α τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ἡ ΜΞ, ἡ δὲ ἑτέρα ἐν τῆι ἐπιφανείαι τοῦ κυλίνδρου ἀνηγμένη ἀπὸ τοῦ Ξ ὀρθὴ πρὸς τὸ ΚΝ ἐπίπεδον, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ἐν τῶι τέμνοντι ἐπιπέδωι. ὁμοίως οὖν, ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑ πὸ ΜΝ, ΜΛ τῶι ἀπὸ ΜΞ· τοῦτο γὰρ φανερόν ἐστιν· ἔσται ὡς ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΜΛ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΜΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΞ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΜΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΞ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ τρίγω νον τὸ ἐν τῶι πρίσματι γε νόμενον πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΞ τρίγωνον τὸ ἐν τῶι τμήματι ἀφηιρημένον ὑπὸ τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας· ὡς ἄρα ἡ ΜΝ πρὸς ΜΛ, οὕτως τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρίγωνον. ὁμοίως δὲ δείξομεν, καὶ ἐὰν ἄλλη τις ἀχθῆι ἐν τῶι πε ρὶ τὴν τομὴν περιγραφέντι παρὰ τὴν ΚΖ, καὶ ἀπὸ τῆς ἀχθείσης ἐπίπεδον ἀνασταθῆι ὀρθὸν πρὸς τὴν ΕΗ, ὅτι ἔσται ὡς τὸ τρίγωνον τὸ γε νόμενον ἐν τῶι πρίσματι πρὸς τὸ τμήματ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου, οὕτως ἡ ἀχθεῖσα ἐν τῶι ΔΗ παραλλη λογράμμωι παράλληλος τῆι ΚΖ πρὸς τὴν ἀποληφθεῖσαν ὑπὸ τῆς ΕΗΖ τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ διαμέτρου. συμπληρωθέντος οὖν τοῦ ΔΗ πα ραλληλογράμμου ὑπὸ τῶν ἡγμέ νων παρὰ τὴν ΚΖ καὶ τοῦ τμή ματος τοῦ περιεχομένου ὑπό τε τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου το μῆς καὶ τῆς διαμέτρου ὑπὸ τῶν ἀπολαμβανομένων ἐν τῶι τμή ματι συμπληρω τοῦ τμήματος τοῦ ἐν τῶι ἀπὸ τοῦ γινομ πων τὰ γ α καὶ τῶι ΔΗ δὲ ετι μα η ετι ἀπ ἀγομένων παρὰ τὴν ΚΖ τομῆς καὶ ει ταῖς ἐν τῶι ΔΗ παραλ ληλογράμμωι ἠγμέναις παρὰ τὴν ΚΖ, καὶ ἔσται πάντα τὰ τρίγωνα τὰ ἐν τῶι πρίσματι πρὸς πάντα τὰ τρίγωνα τὰ ἐν τῶι ἀποτμηθέντι τμήματι τοῦ κυλίνδρου ἀφηιρημένα, οὕτως πᾶσαι αἱ εὐθεῖαι αἱ ἐν τῶι ΔΗ παραλληλογράμμωι πρὸς πάσας τὰς εὐθείας τὰς μετα ξὺ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας. καὶ ἐκ μὲν τῶν ἐν τῶι πρίσματι τρι γώνων σύγκειται τὸ πρίσμα, ἐκ δὲ τῶν ἐν τῶι ἀποτμήματι τῶι ἀποτμηθέντι ἀπὸ τοῦ κυλίν δρου τὸ ἀπότμημα, ἐκ δὲ τῶν ἐν τῶι ΔΗ παραλληλογράμμωι παρ αλλήλων τῆι ΚΖ τὸ ΔΗ παραλλη λόγραμμον, ἐκ δὲ τῶν μεταξὺ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώ νου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ τὸ τμῆμα τῆς παραβολῆς· ὡς ἄρα τὸ πρίσ μα πρὸς τὸ ἀπότμημα τὸ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου, οὕτω τὸ ΔΗ παραλ ληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΖΗ τμῆμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας. ἡμιόλιον δὲ τὸ ΔΗ παραλληλόγραμμον τοῦ τμήματος τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας· δέ δεικται γὰρ τοῦτο ἐν τοῖς πρότερον ἐκδεδομένοις· ἡμιόλιον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ πρίσμα τοῦ ἀποτμήματος τοῦ ἀφηιρημένου ἀπὸ τοῦ κυλίν δρου· οἵων ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπότμημα τοῦ κυλίνδρου δύο, τοιούτων ἐστὶ τὸ πρίσμα τριῶν. τοιούτων ἐστὶν τὸ ὅλον πρίσμα τὸ περιέχον τὸν κύλινδρον ιβ διὰ τὸ δ εἶναι τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου· οἵων ἄρα τὸ ἀπότμημα τοῦ κυλίνδρου δύο, τοιούτων ἐστὶν τὸ ὅλον πρίσμα ιβ· ὥστε τὸ τμῆ μα τὸ ἀποτμηθὲν ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου ἕκτον μέρος ἐστὶ τοῦ πρίσματος.

Figure 14.1 ἔστω πρίσμα ὀρθὸν τετραγώνους ἔχον βάσεις, ὧν μία ἔστω τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸ πρίσμα κύλινδρος, οὗ βάσις ἔστω ὁ ΕΖΗ κύκλος· ἐφάπτεται δὴ οὗτος τῶν τοῦ τετραγώνου πλευ ρῶν κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ σημεῖα· κέν τρον δὲ ἔστω τὸ Κ, καὶ διὰ τῆς ΕΗ διαμέτρου καὶ μιᾶς πλευρᾶς ἐπίπεδον ἤχθω· τοῦτο δὴ ἐπίπεδον ἀποτέμνει πρίσμα ἀπὸ τοῦ ὅλου πρίσματος καὶ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου ἀπότμημα κυ λίνδρου. λέγω δὴ ὅτι τοῦτο τὸ τμῆμα τὸ ἀποτετμημένον ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου ὑπὸ τοῦ ἀχθέντος ἐπιπέδου ἕκτον μέρος ὂν δει χθήσεται τοῦ ὅλου πρίσματος. πρῶτον δὲ δείξομεν ὅτι δυνατὸν ἔσται εἰς τὸ τμῆμα τὸ ἀποτμη θὲν ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου σχῆμα στερεὸν ἐγγράψαι καὶ ἄλλο περι γράψαι ἐκ πρισμάτων συγκεί μενον ἴσον ὕψος ἐχόντων καὶ βάσεις τριγώνους ἐχόντων ὁ μοίας, ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆ μα τοῦ ἐγγραφέντος ὑπερέ χειν ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προ τεθέντος μεγέθους γὰρ τοῦ πρίσματος τοῦ κατὰ τὸ ΒΔ παραλληλογράμμου καὶ ω γραμμένου ω το Ξ ἐπιπέδωι σημεῖα τοῦ ατος η ρετό πω νομεν εστ σων ἔστω το λειπόμενον νι μια ἐλασ ν τοῦ λείμματος στ ε ει καὶ ει α τω ει το ατα τω ἐν τμῆμα τὸν το ἀποτμηθ ἀπὸ δι ε μάτων μεν ων ται καὶ τῶν ἐγγεγραμμένω δι των κει τα ΚΩ παραλληλόγραμμον αμμον σχήματι πρίσμα ησ τὸ ἀπὸ δρου ἐγγεγράφθω μι α σχῆμα, τὸ εἰρημένον σχῆμα τοῦ ἐγγεγραμμένου ἔχει τοῦ δοθέντος ἐχέτω οσ τῶν πρισμάτων ἴσον αὐ ση μεῖα ἐγγεγρά φθω ν ἐσ δευτέρωι γεγρ γει η τέτμηται κατὰ τὸ αὐτὸ ἐγγεγραμμένον ἐν κύκλ τοῦ τμήματος τη συνθε τ ἀπο μείζων ἐστὶν τοῦ ἐγγεγραμμένου τμήματος ἐν τῶι πρίσ ματι τῶι κατὰ τὸ ω ἔλασσον ἄρα ἢ ἡμιό λιον τοῦ πρίσματος τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου τοῦ ἐγγεγραμμένου εἰς τὸ ἀπότμημα τοῦ ἀπὸ τοῦ κυ λίνδρου στερεοῦ. ἐδείχθη δὲ ὡς τὸ ὑπὸ τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου ἀφηι ρημένου πρίσματος πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον στερεὸν εἰς τὸ ἀπότμημα τὸ ἀπὸ τοῦ κυλίν δρου, οὕτως τὸ ΔΗ παραλληλό γραμμον πρὸς τὰ ἐγγεγραμμέ να παραλληλόγραμμα εἰς τὸ τμῆμα περιεχόμενον ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας· ἔλασσον ἄρα ἢ ἡμιόλιον τὸ ΔΗ παραλληλό γραμμον τῶν παραλληλογράμ μων τῶν ἐν τῶι τμήματι τῶι περιεχομένωι ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρ θογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας· ὅπερ ἀδύνατον, ἐπεὶ τοῦ τμήματος τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας ἡμιόλι ον δέδεικται τὸ ΔΗ παραλληλό γραμμον ἐν ἑτέροις. οὐκ ἄρα μεῖ ζον στε ρεὸν ἐτ ἀ ποτεμν σχῆμα τα ὀρθο περιγραφ τοῦ ἐγγρα φέντος ἐν ἐπεὶ τμήματ ἐγγεγράφθω ἐν τῶι τμή ματι τῶι περιεχομένωι ὑπό τε τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας γεγράφθω τοῦ ὀρθογωνίου κώνου φὲν περι ἐγγεγραμ μένον ἐν τῶι τοῦ κυλίνδρου τοῦ στερεοῦ τοῦ κυλίνδρου τμήματ ἐστὶν καὶ γραμμέν εχομεν νη Η τιν πρὸς τὸ τὸ ἐν τῶι περιεχομε γο τῆς ΕΗ καὶ τοῖς λόγ οις αμμέν τμήματος δρ νον ἀπὸ τῆς τῆς πλευρᾶς ἐν τῶι τετμήσθω ἐχθήσ τὸ μεῖ ζον εὐ θείας καὶ πάντα τὰ πρίσματα τὰ ἐν τῶι πρίσματι τῶι ἀποτε τμημένωι ὑπὸ τοῦ λοξοῦ ἐπιπέ δου πρὸς πάντα τὰ πρίσματα τὰ ἐν τῶι σχήματι τῶι περιγε γραμμένωι περὶ τὸ ἀπότμημα τοῦ κυλίνδρου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, ὃν πάντα τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐν τῶι ΔΗ παραλληλογράμμωι πρὸς πάν τα τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐν τῶι σχήματι τῶι περιγεγραμμένωι περὶ τὸ τμῆμα τὸ περιεχόμενον ὑ πὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομ εὐθείας τουτέστιν τὸ