καὶ περιγεγράφθω τὸ τετράγωνον, καὶ τετμήσθωσαν αἱ περιφέ ρειαι δίχα, καὶ ἤχθωσαν ἐφα πτόμεναι διὰ τῶν σημείων· ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΟΑΡ. ἡ ΟΡ ἄρα τῆς ΜΡ ἐστὶν μεί ζων· ἡ γὰρ ΡΜ τῆι ΡΑ ἴση ἐστί· καὶ τὸ ΡΟΠ τρίγωνον ἄρα τοῦ ΟΖΑΜ σχήμα τος μεῖζ όν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ. λελεί φθωσαν οἱ τῶ ΠΖΑ τομεῖ ὅμοι οι ἐλάσσους τῆς ὑπεροχῆς, ἧ ὑ περέχει τὸ Ε το ῦ ΑΒΓΔ κύκλου

πρὸς ἕν, τὸ ΑΓΖ πρὸς τὸ ΑΓΔ ἐστίν, ὡς ΚΒ πρὸς Ζ. ἀλλὰ τὸ ΑΓΔ τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ΓΗ τετράγωνον, τὸ δὲ ΑΓΔΖ τρίγωνον τῶι ΑΒ κύκλωι ἴσον ἐστίν ἐπεὶ ἡ μὲν ΑΓ κάθετος ἴση ἐστὶ τῆι ἐκ τοῦ κέντρου, ἡ δὲ βάσις τῆς διαμέτρου τριπλασιω τριπλασίων καὶ τοῦ Ζ ἔγγιστα ὑπερέχουσα δειχθή σεται· ὁ κύκλος οὖν πρὸς τὸ ΓΗ τετράγω νον λόγον ἔχει, ὃν ΙΑ πρὸς ΙΔ .

Figure 1

ἡ ΘΑ ἄρα πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν ΑΡΟ Β Η πρὸς ΡΝΓ . ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ Θ Ε Γ τῆι ΕΚ· ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν ΒΤΛΔ Δ πρὸς ΡΝΓ · ἡ ΕΚ ἄρα πρὸς ΓΚ μείζων ἢ ὃν ΒΤΛΔ Δ πρὸς ΡΝΓ. ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΚΕΓ τῆι ΛΕ· ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΛΓ μείζονα μήκει λόγον ἔχει η ἤπερ ΔΧΟΓ 𐅵 πρὸς ΡΝΓ. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τρί τον οὖσα ὀρθῆς τέτμηται τετράκις δίχα, ἡ ὑπὸ ΛΕΓ ὀρθῆς ἐστι ΜΗ . κείσ θω οὖν αὐτῆ ἴση πρὸς τῶι Ε ἡ ὑπὸ ΓΕ Μ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΛΕΜ ὀρθῆς ἐστι ΚΔ. καὶ

Figure 2

ἔστω κύκλος

ΗΑΓ, καὶ ἡ ὑπὸ ΗΓΒ τ ῆι ὑπὸ ΗΑΓ ἐστὶν ἴση. κ αὶ κοινὴ ἡ ὑπὸ ΑΗΓ ὀρθή· καὶ τρίτη ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΖΓ τρίτη τῆι ὑπὸ ΑΓΗ. ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΑΗΓ τῶι ΓΗΖ τριγώνωι· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ, ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ καὶ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ. ἀλλ' ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ, καὶ συναμ φότερος ἡ ΓΑΒ πρὸς ΒΓ· καὶ ὡς συ ναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΓ πρὸς ΒΓ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ. διὰ τοῦτο οὖν ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει η ἤπερ ΒϡΙΑ πρὸς ΨΠ , ἡ δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ ἐλάσσονα ἢ ὃν ΓΙΓ Γ Δ πρὸς ΨΠ. δίχα ἡ ὑπὸ Γ ΑΗ τῆι ΑΘ· ἡ ΑΘ ἄρα διὰ τὰ αὐτὰ πρὸς τὴν ΘΓ ἐλάσσονο λόγον ἔχει ἢ ὃν ΕΤΚΔ Ε Δ πρὸς ΨΠ ἢ ὃν ΑΩΚΓ πρὸς ΣΜ · ἑκατέρα γὰρ ἑκατέρας ΔΙ ΓΑ · ὥστε ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΘ ἢ ὃν ΑΩ ΛΑ Θ πρὸς ΣΜ . ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΘΑΓ τῆι ΚΑ· καὶ ἡ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΓ ἐλάσσονα

ἄρα λόγον ἔχει ἢ ὃν ΑΖ πρὸς Ξϛ· ἑκα τέρα γὰρ ἑκάτερα οι Μ ἄρα πρ πρὸς τὴν λόγον ΑΟΣ πρὸς Ξϛ. ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ Κ ΑΓ τῆι ΛΑ· ἡ ΑΛ ἄρα πρὸς τὴν ΛΓ ἐλάσ σονα λόγον ἔχει ἢ ὃν τὰ ΒΙϛ ϛ πρὸς Ξϛ, ἡ δὲ ΑΓ πρὸς ΓΛ ἐλάσσονα ἢ τὰ ΒΙΖ Δ πρὸς Ξϛ. ἀνάπαλιν ἄρα ἡ περίμε τρος τ τοῦ πολυγώνου πρὸς τὴν δμετρ διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει η ἤπερ ϛΤΑ ϛ πρὸς ΖΙΖ Δ , α ἅπερ τῶν ΒΙΖ Δ μειζον μείζονά ἐστιν ἢ τριπλασίονα καὶ δέκα ΟΑ· καὶ ἡ περίμετρος ἄρα τοῦ ϙϛγω νου τοῦ ἐν τῶι κύκλωι τῆς δμε διαμέ τρου τριπλασίων ἐστὶ καὶ μειζω μείζων ἢ ὃν ΟΙΑ · ὥστε καὶ ὁ κύκλος ἔτι

μᾶλλον τριπλασίων ἐστὶ καὶ μειζω μείζων ἢ ΘΙ Α. ἡ ἄρα τοῦ κύκλου περίμετρος τῆς διαμέτρου τριπλασίων ἐστὶ καὶ ἐλάσ σων μὲν ἢ ἑβδόμωι μέρει, μείζων δὲ ἢ

Figure 3