τῶν στερεῶν μεγεθέων τὰ ἰσοβαρέοντα τῶι ὐγρῶι ἀφεθέν τα εἰς τὸ ὑγρὸν καταβαροῦνται, ὥστε τᾶς ἐπιφανείας τᾶς τοῦ ὑ γροῦ μὴ ὑπερέχειν μηδέν, καὶ οὐκέτι οἰσθήσονται ἐπὶ τὰ κάτω.

ἀφείσθω γάρ τι στερεὸν μέ γεθος εἰς τὸ ὑγρὸν τῶν ἰσοβαρέων τῶι ὑγρῶι, καί, εἰ δυνατόν, ὑπερεχέ τω τι αὐτοῦ τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφα νείας, καθεστάτω δὲ τὸ ὑγρόν, ὥστε μένειν ἀκίνητον. νοείσθω δή τι ἐ πίπεδον ἐκβεβλημένον διά τε τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς καὶ τοῦ ὑγροῦ καὶ διὰ τοῦ στερεοῦ μεγέθεος, τομὰ ἔστω τᾶς μὲν ἐπιφανείας τοῦ ὑ γροῦ ἁ ΑΒΓΔ περιφέρεια, τοῦ δὲ στερεοῦ μεγέθεος τὸ ΕΖΗΘ σχᾶ μα, κέντρον δὲ τᾶς γᾶς τὸ Κ. ἔστω δὴ τοῦ μὲν στερεοῦ τὸ μὲν ΒΓΗΘ ἐν τῶι ὑγρῶι, τὸ δὲ ΒΕΖΓ ἐκτός. νο είσθω δὴ τὸ στερεὸν σχῆμα περιλαμ βανόμενον πυραμοειδεὶ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸ παραλληλόγραμ μον τὸ ἐν τᾶι ἐπιφανείαι τοῦ ὑ γροῦ, κορυφὰν δὲ τὸ κέντρον τᾶς γᾶς, τομὰ δὲ ἔστω τοῦ τε ἐπιπέδου, ἐν ὧι ἐστὶν ἁ ΑΒΓΔ περιφέρεια, καὶ τῶν τᾶς πυραμίδας ἐπιπέδων αἱ ΚΛ, ΚΜ. γεγράφθω τις ἄλλας σφαί ρας ἐπιφάνειας περὶ κέντρον τὸ Κ ἐν τῶι ὑγρῶι τῶι ὑπὸ τοῦ ΕΖΗΘ καὶ τεμνέσθω ἐπιπέδου, λελάφθω τις καὶ ἄλλα πυραμὶς ἴσα καὶ ὁ μοία τᾶι περιλαμβάνουσαι τὸ στερεὸν συνεχὴς αὐτᾶς, τομὰ δὲ ἔστω τῶν ἐπιπέδων αὐτᾶς αἱ ΚΜ, ΚΝ, καὶ τῶι ὑγρῶι νοείσθω τι μέγεθος τοῦ ὑγροῦ ἀπολαμ βανόμενον τὸ ΡΣΤΥ ἴσον καὶ ὅ μοιον τῶν στερεῶν κατὰ τὰ Β, Η, Θ, Γ, ὅ ἐστιν αὐτοῦ ἐν τῶι ὑγρῶι· τὰ δὴ μέρεα τοῦ ὑγροῦ τά τε ἐν τᾶι πρώται πυραμίδι τα ὑπὸ τὰν ἐπιφάνειαν, ἐν ἇι ἐστιν ἁ ΞΘ περιφέρεια, καὶ τὸ ἐν τᾶι ἑτέραι, ἐν ἇι ἐστιν ἁ ΠΟ, ἐξ ἴσου τέ ἐντι κεί μενα καὶ συνεχέα. οὐχ ὁμοίως δὲ θλίβονται· τὸ μὲν γὰρ κατὰ τῶ ΞΟ θλίβεται τῶι στερεῶι τῶι ΘΗ ΕΖ καὶ τῶι ὑγρῶι τῶι μεταξὺ τᾶν ἐπιφανειᾶν τᾶν κατὰ ταν ΞΘ, ΛΜ καὶ τῶν τᾶς πυραμίδος ἐ πιπέδων, τὸ δὲ κατὰ τὰν ΠΟ τῶι ὑγρῶι ταν μεταξὺ τᾶν ἐπιφα νειᾶν τᾶν κατὰ τὰς ΠΟ, ΜΝ καὶ τῶν τᾶς πυραμίδος ἐπιπέδων. ἐλάσσων δὴ ἐσσεῖται τὸ βάρος τοῦ ὑ γροῦ τοῦ κατὰ τὰς ΜΝ, ΟΠ· τὸ μὲν γὰρ κατὰ τὸ ΡΣΤΥ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ΕΖΗΘ στερεοῦ· αὐτῶι γὰρ τῶι κατὰ τὸ ΗΒΓΘ ἴσον ἐστὶν διὰ τὸ τῶι μεγέθει ἴσον εἶμεν καὶ ἰ σοβαρὲς ὑποκεῖσθαι τὸ στερεὸν τῶι ὑγρῶι· τὸ δὲ λοιπὸν τὸ λοιπῶι ἄνισόν ἐστι. δῆλον οὖν, ὅτι ἐξω θήσεται τὸ μέρος τὸ κατὰ τὰν ΝΟΠ περιφέρειαν ὑπὸ τοῦ κατὰ τὰν ΟΞ περιφέρειαν, καὶ οὐκ ἐσσεῖ ται τὸ ὑγρὸν ἀκίνητον. ὑ πόκειται δὲ ἀκίνητον ἐόν· οὐκ ἄ ρα ὑπερέξει τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπι φανείας οὐδὲν τοῦ στερεοῦ με γέθεος. καταδὺν δὲ τὸ στερε ὸν οὐκ οἰσθήσεται ἐς τὰ κάτω· ὁμοίως γὰρ πάντα ἐσσοϋνται τὰ μέρεα τοῦ ὑγροῦ τὰ ἐξ ἴσου κείμενα διὰ τὸ ἰσοβαρὴ εἶμεν τὸ ὑγρὸν καὶ τὸ ὑγρόν. .

δ

τῶν στερεῶν μεγεθέων εἴ κα κουφότερον ἦι τοῦ ὑγροῦ, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν οὐ καταδύσεται ὅλον, ἀλλὰ ἐσσεῖταί τι αὐτοῦ ἐκτὸς τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας.

ἔστω γὰρ στερεὸν μέγεθος κουφότερον τοῦ ὑγροῦ καὶ ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν δεδυκέτω ὅλον, εἰ δυνατόν, καὶ μη δὲν αὐτοῦ ἔστω ἐκτὸς τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, κατεστακέτω δὲ τὸ ὑγρόν, ὥστε μένειν ἀκίνητον. νοείσθω δή τι ἐπίπεδον ἐκβε βλημένον διὰ τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς καὶ διὰ τοῦ ὑγροῦ καὶ τοῦ στερεοῦ μεγέθεος, τεμνέσθω δὲ ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου τούτου ἡ μὲν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνεια κατὰ τὰν ΑΒΓ περιφέρειαν, τὸ δὲ στερεὸν μέγεθος κατὰ τὸ σχῆμα, ἐν ὧι Ζ, κέν τρον δὲ ἔστω τᾶς γᾶς τὸ Κ, νοείσθω δέ τις πυραμὶς περιλαμβανοῦ σα τὸ Ζ σχῆμα, καθ᾽ ἃ καὶ πρότε ρον, κορυφὰν ἔχουσα τὸ Κ σαμεῖ ον, τεμνέσθω δὲ αὐτᾶς τὰ ἐπίπε δα ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ ΑΒΓ κατὰ τὰς ΑΚ, ΚΒ, λελάφθω δέ τις καὶ ἄλλα ἴσα πυραμὶς καὶ ὁμοία ταύ ται, τεμνέσθω δὲ αὐτᾶς τὰ ἐπίπε δα ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου κατὰ τὰς ΚΒ, ΚΓ, γεγράφθω δέ τις καὶ ἄλλας σφαίρας ἐπιφάνεια ἐν τῶι ὑγρῶι περὶ κέντρον τὸ Κ, ὑποκάτω δὲ τοῦ στερεοῦ μεγέθεος, τεμνέσθω δ᾽ αὐ τὰ ὑπὸ τοῦ αὐτοῦ ἐπιπέδου κα τὰ τὰν ΞΟΠ περιφέρειαν, νοείσθω δὲ καὶ μέγεθος ἀπολαμβανό μενον τοῦ ὑγροῦ κατὰ τὸ Η ἐν τᾶι ὕστερον πυραμίδι ἴσον τῶι κατὰ τὸ Ζ στερεόν· τὰ δὴ μέρεα τοῦ ὑ γροῦ τοῦ ἐν τᾶι πρώται πυρα μίδι τὰ ὑπὸ τὰν ἐπιφάνειαν τὰν κατὰ τὰ ΞΟ περιφέρειαν καὶ τὸ ἐν τᾶι δευτέραι τῶν ὑπὸ τὰν ἐπι φάνειαν τὰν κατὰ τὸν ΟΠ περι φέρειαν ἐξ ἴσου τέ ἐντι κείμενα καὶ συνεχέα ἀλλάλοις. οὐχ ὁμοίως δὲ θλίβονται· τὸ μὲν γὰρ ἐν τᾶι πρώ ται πυραμίδι θλίβεται τῶι κατὰ τὸ Ζ στερεῶι μεγέθει καὶ τῶι περιέ χοντι ὑγρῶι αὐτὸ καὶ ἐόντι ἐν τῶι τόπωι τᾶς πυραμίδος τῶι κατὰ τὰ Α, Β, Ο, Ξ, τὸ δ᾽ ἐν τᾶι ἑτέραι πυρα μίδι θλίβεται τῶι ὑγρῶι τῶι πε ριέχοντι αὐτὸ καὶ ἐόντι τᾶς πυρα μίδος ἐν τῶι τόπωι τῶι κατὰ τὸ Π, Ο, Β, Γ, ἔστι δὲ τὸ βάρος τὸ κατὰ τὸ Ζ ἔλασσον τοῦ βάρεος τοῦ κατὰ τὸ ΖΗ, ἐπειδὴ τῶι μὲν μεγέθει ἴσον ἐστίν, κουφότερον δὲ ὑπόκειται τὸ στερεὸν μέγεθος εἶμεν τοῦ ὑ γροῦ, τὰ δὲ περιέχοντος ὑγροῦ τὰ Ζ, Η μεγέθεα ἐν ἑκατέρα τᾶν πυρα μίδων ἴσα· μᾶλλον οὖν θλιβή σεται τὸ μέρος τοῦ ὑγροῦ τὸ ὑπὸ τὴν ἐπιφάνειαν τὰν κατὰ τὰν ΟΠ περιφέρειαν· ἐξωθήσει οὖν τὸ ἧσσον θλιβόμενον, καὶ οὐ με νεῖ τὸ ὑγρὸν ἀκίνητον. ὑπέκει το δέ· οὐκ ἄρα καταδύσεται ὅλον, ἀλλ᾽ ἔσσεται τι αὐτοῦ ἐκτὸς τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας.

ε

τῶν στερεῶν μεγεθέων ὅ κα ἦι κου φότερον τοῦ ὑγροῦ, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑ γρὸν ἐς τοσοῦτο καταδύσεται, ὡς τὸν ταλικοῦτον ὄγκον τοῦ ὑγροῦ, ἁλίκος ἐστὶν ὁ τοῦ καταδεδυκότος ὄγκος, ἴσον βάρος ἔχειν ὅλωι τᾶι μεγέθει.

κατασκευάσθω ταὐτὰ τοῖς πρότε ρον, καὶ ἔστω τὸ ὑγρὸν ἀκίνητον, ἔστω δὲ κουφότερον τοῦ ὑγροῦ τὸ ΕΖ ΗΘ μέγεθος. ἐπεὶ οὖν ἀκίνητόν ἐστιν τὸ ὑγρόν, ὁμοίως θλιβήσεται τὰ μέρεα αὐτοῦ τὰ ἐξ ἴσου κείμενα· ὁμοίως ἄρα θλιβήσεται τὸ ὑγρὸν τὸ ὑπὸ τὰν ἐπιφάνειαν τὰν κα τὰ ΝΞΟ καὶ ΠΟ περιφερείαν· ὥσ τε ἴσον ἐστὶ τὸ βάρος, ὧι θλίβον ται. ἔστι δὲ καὶ τοῦ ὑγροῦ τὸ βάρος τοῦ ἐν τᾶι πρώται πυραμίδι χωρὶς τοῦ ΒΗΘ στερεοῦ ἴσον τῶι βάρει τῶι τοῦ ἐν τᾶι ἑτέραι πυραμίδι χωρὶς τοῦ ΡΣΤΥ ὑγροῦ· δῆλον οὖν ὅτι τὸ τοῦ ΕΖΗΘ μεγέθεος βάρος ἴσον ἐστὶ τῶι τοῦ ΡΣΤΥ ὑγροῦ βάρει. Φα νερὸν οὖν ὅτι ταλικοῦτος ὄγκος τοῦ ὑγροῦ, ἁλίκον ἐστὶ τὸ δεδυκὸς τοῦ στε ρεοῦ μεγέθεος, ἴσον βάρος ἔχει ὅλωι τῶι μεγέθει.

Τὰ κουφότερα στερεὰ τοῦ ὑγροῦ βιασθέντα εἰς τὸ ὑγρὸν ἀναφέρεται τοσαύτᾳ βίᾳ ἐς τὸ ἄνω, ὅσον ἐστὶ τὸ βάρος, ὅ βαρύτερόν ἐστι τοῦ μεγέθεος τὸ ὑγρὸν τὸ ἴσον ὄγκον ἔχον τῷ μεγέθει.

ἔστω τι μέγεθος τὸ Α κουφότερον τοῦ ὑγροῦ, ἔστω δὲ τοῦ μὲν μεγέθεος τοῦ ἐν ᾧ Α βάρος τὸ Β, τοῦ δὲ ὑγροῦ τοῦ ἴσον ὄγ κον ἔχοντος τῷ Α τὸ ΒΓ. δεικτέον ὅτι τὸ Α μέγεθος βιασθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν ἀν οισεῖται ἐς τὸ ἐπάνω τοσαύτᾳ βίᾳ, ὅσον ἐστὶ τὸ βάρος τὸ Γ.

λελάφθω γάρ τι μέγεθος τὸ ἐν ᾧ τὸ Δ βάρος ἴσον ἔχον τῷ Γ· τὸ δὴ μέγεθος τὸ ἐξ ἀμ φοτέρων τῶν ἐν οἷς Α, Δ μεγεθέων ἐς τὰ αὐτὰ συντεθὲν κουφότερόν ἐστι τοῦ ὑγροῦ· ἔστι γὰρ τοῦ μὲν με γέθεος τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων βάρος τὸ ΒΓ, τοῦ δὲ ὑγροῦ τοῦ ἴσον ὄγκον ἔχοντος αὐτῷ μεῖζον τοῦ ΒΓ δι ὰ τὸτοῦ ἴσον ἔχοντος ὄγκον τῷ τοῦ Α τὸ βάρος εἶμεν τὸ ΒΓ.ἀφε θὲν οὖν ἔστω ὑγρὸν τὸ μέγεθος τὸ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν Α, Δ συγ κείμενων ἐς τοσοῦτον δύσεται, ἔστε κα ταλικοῦτος ὄγκος τοῦ ὑγροῦ, ἁλίκον καὶ τὸ δεδυκὸς τοῦ μεγέθεος, ἴσον βάρος ἔχει τῷ ὅλῳ μεγέθει· δέδεικται γὰρ τοῦ το. ἔστω δὲ ἐπιφάνειά τινος ὑ γροῦ ἁ ΑΒΓΔ περιφέρειας. ἐπεὶ οὖν ὁ ταλικοῦτος ὄγκος τοῦ ὑ γροῦ, ἁλίκον ἐστὶ τὸ Α μέγεθος, ἴσον βάρος ἔχει τοῖς Α, Δ μεγέθε σιν, δῆλον ὅτι τὸ δεδυκὸς αὐτοῦ ἐσσεῖται τὸ Α μέγεθος, τὸ δὲ λοιπὸν αὐτοῦ, ἐν ᾧ Δ, ἐσσεῖται ὅλον ὑπὲρ τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας· εἰ γὰρ α δέδυκεν τὸ στερεόν, ἕπεται τούτου δεδειγμένου. δῆ λον οὖν ὅτι ἐς τὸ ἄνω φέρεται τὸ Α μέγεθος ὑπὸ τοῦ ἄνω τοῦ Δ ἐς τῷ κάτω, ἐπεὶ οὐδέτερον ὑπ᾽ οὐ δετέρου ἐξωθεῖτο. ἀλλὰ τὸ Δ ἐς τὸ κάτω θλίβει τοσούτῳ βάρει, ἁλίκον ἐστὶ τὸ Γ· ὑπέκειτο γὰρ τὸ βάρος τὸ ἐν ᾧ τὸ Δ εἶμεν ἴσον τῷ Γ· δῆ λον οὖν ὃ ἔδει δεῖξαι. Η ΚΑΤΑΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΣΧΑΜΑΤΟΣ

ζ

τὰ βαρύτερα τοῦ ὑγροῦ ἀφεθέντα εἰς τὸ ὑγρὸν οἰσεῖται κάτω, ἔστ᾽ ἂν καταβᾶντι, καὶ ἐσσοῦνται κουφότε ρα ἐν τῶι ὑγρῶι τοσοῦτον, ὅσον ἔχει τὸ βάρος τοῦ ὑγροῦ τοῦ ταλικοῦ τον ὄγκον ἔχοντος, ἁλίκος ἐστὶν ὁ τοῦ στερεοῦ μεγέθεος ὄγκος.

ὅτι μὲν οὖν οἰσεῖται ἐς τὸ κάτω, ἔστ᾽ ἂν καταβᾶντι, δῆλον· τὰ γὰρ ὑπο κάτω αὐτοῦ μέρεα τοῦ ὑγροῦ θλι βησοῦνται μᾶλλον τῶν ἐξ ἴσου αὐτοῖς κειμένων μερέων, ἐπειδὴ βαρύ τερον ὑπόκειται τὸ στερεὸν μέ γεθος τοῦ ὑγροῦ· ὅτι δὲ κουφότερα ἐσσοῦνται, ὡς εἴρηται, δειχθήσεται.

ἔστω τι μέγεθος τὸ Α, ὅ ἐστι βαρύτερον τοῦ ὑγροῦ, βάρος δὲ ἔστω τοῦ μὲν ἐν ὧι Α μεγέθεος τὸ ΒΓ, τοῦ δὲ ὑγροῦ τοῦ ἴσον ὄγκον ἔχοντος τῶι Α τὸ Β. δει κτέον ὅτι τὸ Α μέγεθος ἐν τῶι ὑγρῶι ἐὸν βάρος ἕξει ἴσον τῶι Γ.

λελά φθω γάρ τι μέγεθος τὸ ἐν ὧι τὸ Δ κουφότερον τοῦ ὑγροῦ τοῦ ἴσον ὄγκον ἔχοντος αὐτῶι, ἔστω δὲ τοῦ μὲν ἐν ὧι τὸ Δ μέγεθος βάρει ἴσον τῶι Β βάρος, τοῦ δὲ ὑγροῦ τοῦ ἴ σον ὄγκον ἔχοντος τῶι Δ μεγέθει τὸ βάρος ἔστω ἴσον τῶι ΒΓ βάρει. συντεθέντων δὴ ἐς τὸ αὐτὸ τῶν με γεθέων, ἐν οἷς τὰ Α, Δ, τὸ τῶν συν αμφοτέρων μέγεθος ἰσοβαρὲς ἐσσεῖται τῶι ὑγρῶι· ἔστι γὰρ τῶν μεγεθέων συναμφοτέρων τὸ βάρος ἴσον συναμφοτέροις τοῖς βάρε σιν τῶι τε ΒΓ καὶ τῶι Β, τοῦ δὲ ὑ γροῦ τοῦ ἴσον ὄγκον ἔχοντος ἀμ φοτέροις τοῖς μεγέθεσι τὸ βά ρος ἴσον ἐστὶ τοῖς αὐτοῖς βάρε σιν. ἀφεθέντων οὖν τῶν μεγε θέων ἐς τὸ ὑγρὸν ἰσορροπησοῦν ται τῶι ὑγρῶι καὶ οὔτε εἰς τὸ ἄνω διὸ τὸ μὲν ἐν ὧι Α μέγεθος οἰσεῖ ται ἐς τὸ κάτω καὶ τοσαύται βίαι ὑ πὸ τοῦ ευ ἐν ὧι Δ μεγέθεος ἀν έλκεται ἐς τὸ ἄνω, τὸ δὲ ἐν ὧι Δ μέγεθος, ἐπεὶ κουφότερόν ἐστι τοῦ ὑγροῦ, ἀνοισεῖται εἰς τὸ ἄνω τοσαύται βίαι, ὅσον ἐστὶ τὸ Γ βά ρος· δέδεικται γὰρ ὅτι τὰ κουφότερα τοῦ ὑγροῦ μεγέθεα στερεὰ βιασ θέντα ἐς τὸ ὑγρὸν ἀναφέρονται τοσαύται βίαι ἐς τὸ ἄνω, ὅσον ἐστὶ τὸ βάρος, ὡς βαρύτερόν ἐστι τοῦ μεγέθεος τὸ ὑγρὸν τὸ ἴσον ὄγκον τῶι Δ μεγέθει. ἔστι δὲ τῶι Γ βάρει βαρύτερον τοῦ Δ μεγέθεος τὸ ὑγρὸν τὸ ἴσον ὄγκον ἔχον τῶι Δ· δῆλον οὖν ὅτι καὶ ἐν ὧι Α μέ γεθος ἐς τὸ κάτω οἰσεῖ ται τοσούτωι βάρει, ὅσον ἐστὶ τὸ Γ.

εἴ κα στερεόν τι μέγεθος κουφότε ρον τοῦ ὑγροῦ σφαίρας τμάματος ἔχον σχῆμα εἰς τὸ ὑγρὸν ἀφεθῇ οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν τοῦ τμάματος μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, ὀρθὸν κατα στασεῖτε τὸ σχῆμα οὕτως, ὥστε τὸν ἄξονα τοῦ τμάματος κατὰ κά θετον εἶμεν· καὶ εἴ κα ὑπό τινος ἕλκηται τὸ σχῆμα οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν τοῦ τμάματος ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, οὐ μενεῖ κεκλιμένον, ὡς εἴ κα ἀφεθῇ, ἀλλ᾽ ὀρθὸν ἀποκα ταστασεῖται.

νοείσθω γάρ τι μέγε θος, οἷον εἴρηται, ἐς τῶ ὑγρὸν ἀφε θέν, καὶ διά τε τοῦ ἄξονος τοῦ τμάματος καὶ τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς νοείσθω ἐπίπεδον ἐκβεβλ ημένον, τομὰ δ᾽ ἔστω τᾶς μὲν ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ ἁ ΑΒΓΔ, τοῦ δὲ σχήματος τοῦ ἐς τὸ ὑγρὸν ἀ φεθέντος ἁ ΕΖΗΘ περιφέρει α, ἄξων δὲ τοῦ τμάματος ἔστω ὁ ΘΖ· τὸ δὴ κέντρον τᾶς σφαίρας ἐστὶν ἐπὶ τᾶς ΘΖ.

πρῶτον μὲν, εἰ μεῖζόν ἐστιν ἡμισφαιρίου τὸ τμᾶ μα, ἔστω τὸ Κ, καὶ ἔστω, εἰ δυνατόν, κεκλιμένον τὸ σχῆμα ἤτοι ὑπό τινος κλιθὲν ἢ ταὐτό. δεικτέον οὖν ὅτι οὐ μενεῖ, ἀλλ᾽ εἰς ὀρθὸν ἀποκα ταστασεῖται, ὥστε τὰ Ζ, Ε κατὰ κάθετον εἶμεν.

ἐπεὶ γὰρ ὑπόκειται κε κλίσθαι τὸ σχῆμα, οὐκ ἔστι τὰ Ζ, Θ κα τὰ κάθετον. ἄχθω δὴ διὰ τοῦ Κ καὶ τοῦ ΛΑΚΛ, τὸ δὲ Λ κέντρον ὑποκείσ θω τᾶς γᾶς· τὸ δὴ σχῆμα τὸ ἐν τῷ ὑγρῷ ἀπολελαμμένον ὑπὸ τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας τὸν ἄξονα ἔχει ἐπὶ τᾶς ΚΛ· εἰ γάρ κα δύο σφαι ρᾶν ἐπιφάνειαι τέμνοντι ἀλλήλας, ἁ τομὰ κύκλος ἐστὶν ὀρθὸν ποτὶ τὰν εὐθεῖαν τὰν ἐπιζευγνύουσαν τὰ κέντρα τᾶς σφαιρᾶς. ἔστιν οὖν τοῦ σχήματος τοῦ κατὰ τὰν ΒΗΓ περιφέρειαν ἀπολαμβανομένου ἐν τῷ ὑγρῷ τὸ κέντρον τοῦ βάρε ος ἐπὶ τᾶς ΚΛ· ἔστω τὸ Ρ. τοῦ δὲ τμά ματος ὅλου τοῦ κατὰ τὰν ΘΗΖ περι φέρειαν τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρε ος ἐπὶ τᾶς ΖΘ· ἔστω τὸ Ξ. τοῦ ἄρα λοιποῦ σχήματος τοῦ ἐκτὸς τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας τὸ κέν τρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΡΞ ἐκβλη θείσας καὶ ἀπολαφθείσας τινὸς τᾶς ΕΞ ποτὶ τὰν ΞΡ τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν ἔχει τὸ βάρος τοῦ κατὰ τὰν ΒΝΓ περιφέρειαν τοῦ τμάματος ποτὶ τὸ βάρος τοῦ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ· δέδει κται γὰρ ταῦτα. ἔστω δὴ τὸ Σ κέν τρον τοῦ εἰρημένου σχήματος. ἐπεὶ οὖν τοῦ μὲν σχήματος, ὅ ἐστιν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ, τὸ βάρος ἐς τὸ κάτω φέρεται κα τὰν εὐθεῖαν τὰν ΛΣ, τὸ δὲ ΕΝ τῷ ὑγρῷ ἔστω ἄν κατὰ τὰς εὐθεῖας τὰς ΡΚ, δῆλον ὡς οὐ μενεῖ τὸ σχῆμα, ἀλλὰ τὰ πο τὶ τὰν ΕΗ μέρεα αὐτοῦ ἔστω κάτω οἰσοῦνται, τὰ δὲ ποτὶ τὰν Η ἔστω ἄνω, καὶ ἀεὶ ἐς τὸ αὐτὸ οἰσοῦνται, ἕ ως κα ἁ ΖΘ κατὰ κάθετον γέ νηται. κατὰ κάθετον δὲ γενομέ νας τᾶς ΖΘ τὰ κέντρα τοῦ βά ρεος ἐσοῦνται τοῦ ἐν τῷ ὑγρῷ καὶ τοῦ ἔκτος ἐπὶ τᾶς αὐτᾶς καθέ του· ἐπιγραφὰς τᾶς ΖΘ ἐσσεῦνται· ἀντιθλιψοῦνται οὖν ἀλλήλοις τὰ βάρα κατὰ τὰν αὐτὰν κάθετον, τὸ μὲν ἔστω κάτω φερόμενον, τὸ δὲ ἔσ τω ἄνω. ὥστε μένει τὸ σχῆμα· οὐδέτερον γὰρ ὑπ᾽ οὐδετέρου ἐξωθή σει.

τὰ δ᾽ αὐτὰ ἐσσεῖται καὶ εἰ κατὰ τὸ σχῆμα ἡμισφαίριον ᾖ τῆ ἐλάσ σων ἡμισφαιρίου.

καὶ τοίνυν, εἰς τὸ σχῆμα κουφότερον ἐὸν τοῦ ὑγροῦ ἀφεθῆι ἐς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ ὅλαν εἶμεν ἐν τῶι ὑγρῶι, ὀρθὸν κατατασεῖται τὸ σχῆμα οὕτως, ἔστω τὸν ἄξονα αὐτοῦ καθ᾽ ἑαυτὸν εἶμεν.

νοείσθω γάρ τι μέγεθος, οἷον εἴρηται, εἰς τὸ ὑγρὸν ἀφετώμενον, νοείσθω δὲ καὶ ἐπίπεδον ἀγόμενον διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ τμάματος καὶ διὰ τοῦ κέντρου τοῦ γλα, τομὰ δὲ ἔστω τᾶς μὲν ἐπι φανείας τοῦ ὑγροῦ ἁ ΑΒΓΔ πε ριφέρεια, τοῦ δὲ σχήματος ἁ ΕΖΗ περιφέρεια καὶ ἁ ΕΗ εὐθεῖα, ἄ ξων δὲ ἔστω τοῦ τμάματος ἁ ΖΘ. εἰ οὖν δυνατόν, μὴ κατὰ ὀρθὸν ἔστω ἁ ΖΘ· εἰ κται οὖν ὅτι οὐ μενεῖ τὸ σχῆμα, ἀλλὰ ἐπ᾽ ὀρθὸν κατασ τασεῖται.

ἔστι δὴ τὸ κέντρον τᾶς σφαίρας ἐπὶ τᾶς ΖΘ· πάλιν γὰρ ἡμισφαιρίου ἔστω πρῶτον τὸ σχῆμα· καὶ ἔστω τὸ Κ· διὰ δὲ τοῦ Κ καὶ τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς τοῦ Λ ἄχθω ἁ κατὰ· τὸ σχῆμα τὸ ἐκτὸς τοῦ ὑ γροῦ ἀπολαμβανόμενον ὑπὸ τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας τὸν ἄξονα ἔχει ἐπὶ τᾶς διὰ τοῦ Κ, διὰ ταὐτὰ τοῖς πρότερον ἔστιν αὐτοῦ τὸ κέν τρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶσι ΙΒ· ἔστω γὰρ τὸ Ρ. τοῦ δὲ ὅλου τμάματος τὸ κέν τρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς ΖΘ μεταξὺ τῶν Κ, Ζ· ἔστω τὸ Τ. τοῦ ἄρα λοιποῦ σχήματος τοῦ ἐν τῶι ὑ γρῶι τὸ κέντρον ἐσσεῖται ἐπὶ τᾶς Τ εὐθείας ἐκβληθείσας τινός, δείξει ἐπι τὸν ΤΡ τὸν αὐτὸν λόγον, ἔχει τὸ μέρος τοῦ τμάματος ἐκ τὸς τοῦ ὑπο τὶ τὸ βάρος τοῦ σχή ματος τοῦ ἐν τῶι ὑγρῶι· κατὰ τὸ Ο κέντρου εἰρημένου σχήματος, διὰ τοῦ κάθετος ἔστω τὸ ΟΛ· οἰ σεῖται οὖν τὸ βάρος τοῦ μὲν τμά ματος ὅ ἐστιν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ, κατὰ τὰς εὐθείας τὰς ΡΛ ἔστω κάτω, τοῦ δ᾽ ἐν τῶι ὑγρῶι σχήματος κατὰ τὰς εὐθείας τὰς ΕΛ ἔστω ἄν·ω. οὐκ ἄρα μενεῖ τὸ σχῆμα, ἀλλὰ τὰ μ τοῦ σχάματος τὰ μὲν ποτὶ τῶι Η μέρει οἰσοῦται ἔστω κάτω, τὰ δὲ ποτὶ τὸ Ε ἔσται τὸ ἄνω, καὶ ἀεὶ τοῦτο ἐσσεῖται, καὶ ΕΖ κατὰ κά θετον γένηται.

α

εἴ κά τι μέγεθος κουφότερον ἐὸν τοῦ ὑγροῦ ἀφέθη ἐς τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἕξει τὸν λόγον τῶι βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν, ὃν ἔχει τὸ δεδυκὸς μέγεθος ποτὶ τὸ ὅλον μέγεθος.

ἀφείσθω γάρ τι εἰς τὸ ὑγρὸν μέγεθος στερε ὸν τὸ ΦΑ κουφότερον τοῦ ὑγροῦ ἐόν ἔστω δὲ τὸ μὲν δεδυκὸς αὐτοῦ τὸ Α, τὸ δὲ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τὸ Φ. δεικτέον ὅτι τὸ ΦΑ τῶι βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν τὸ ἴσογκον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὸ Α ποτὶ τὸ ΦΑ.

λελάφθω γάρ τι τοῦ ὑγροῦ μέγεθος τὸ ΝΙ ἴσον ὄγκον ἔχον τῶι ΦΑ, καὶ τῶι μὲν Φ ἴσον ἔσ τω τὸ Ν, τῶι δὲ Α τὸ Ι, καὶ ἔτι τὸ μὲν τοῦ ΦΑ μεγέθεος βάρος ἔστω τὸ Β, τοῦ δὲ ΝΙ τὸ ΡΟ, τοῦ δὲ Ι τὸ Ρ· τὸ ΦΑ ἄρα ποτὶ τὸ ΝΙ τοῦτον ἔχει τὸν λό γον, ὃν τὸ Β ποτὶ τὸ ΡΟ. ἀλλ' ἐπεὶ τὸ ΦΑ μέγεθος ἐς τὸ ὑγρὸν ἀφεθὲν κου φότερον ὑπάρχον τοῦ ὑγροῦ, δῆ λον ὡς ὁ τοῦ δεδυκότος μεγέ θεος ὄγκος ἴσον βάρος ἔχει τῶι ΦΑ μεγέθει· δέδεικται γὰρ τοῦτο· ἴσον ἄρα τὸ Β βάρος τῶι Ρ, ἐπειδὴ τὸ μὲν Β τὸ βάρος ἐστὶ ὅλου τοῦ ΦΑ μεγέθεος, τὸ δὲ Ρ τοῦ Ι ὑγροῦ ὃ τῶι μεγέθει ἐγένετο ἴσον τὸ ἴσον ὄγκον ἔχοντι τῶι δεδυκότι μεγέθει τῶι Α· ἔχει ἄρα τὸ ΦΑ μέγεθος τῶι βάρει ποτὶ τὸ ΝΙ ὡς τὸ Ρ ποτὶ τὸ ΡΟ. ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ Ρ ποτὶ τὸ ΡΟ, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τὸ Ι ποτὶ τὸ ΙΝ καὶ τὸ Α ποτὶ τὸ ΦΑ· δέδεικται ἄρα τὸ προτεθέν.

τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος, ὅταν τὸν ἄξονα ἔχηι μὴ μείζονα ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέ χρι τοῦ ἄξονος, πάντα λόγον ἔχον ποτὶ τὸ ὑγρὸν τῶι βάρει, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, τεθὲν κεκλιμένον οὐ μενεῖ κεκλιμέ νον, ἀλλὰ ἀποκαταστασεῖται ὀρθόν. ὀρθὸν δὲ λέγω καθεστακέναι τὸ τοιοῦτο τμᾶμα, ὁπόταν τὸ ἀπο τετμακὸς αὐτὸ ἐπίπεδον παρὰ τὰν ἐπιφάνειαν ἦι τοῦ ὑγροῦ.

ἔστω τμᾶμα ὀρθογωνίου κωνοει δέος, οἷον εἴρηται, καὶ κείσθω κεκλιμένον. δεικτέον ὅτι οὐ με νεῖ , ἀλλ' ἀποκαταστασεῖται ὀρθόν.

τμαθέντος δὴ αὐτοῦ ἐπιπέδωι διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῶι ποτὶ τὸ ἐπίπεδον τὸ ἐπὶ τᾶς ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ τμάματος ἔστω το μὰ ΑΠ ΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομὰ, ἄξων δὲ τοῦ τμάματος καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ἁ ΝΟ, τᾶς δὲ τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας τομὴ ἁ ΙΣ. ἐπεὶ οὖν τὸ τμᾶμα οὐ κ ἐστὶν ὀρθόν, οὐκ ἂν εἴη παράλ ληλος ἁ ΑΛ τῆς ΙΣ· ὥστε οὐ ποι ήσει ὀρθὰν γωνίαν ἁ ΝΘ ποτὶ τὰν ΙΣ. ἄχθω οὖν παράλληλος ἡ ἐ φαπτομένη ΙΣ ΚΩ τῶι τοῦ κώνου τομᾶς κατὰ τὸ Π, καὶ ἀπὸ τοῦ Π παρὰ τὰν ΝΟ ἄχθω ἁ ΠΦ· τέ μνει δὴ ἁ ΠΦ δίχα τὰν ΙΣ· δέδει κται γὰρ ἐν τοῖς κωνικοῖς. τετμάσ θω ἁ ΠΦ, ὥστε εἶμεν διπλασίαν τὰν ΠΒ τᾶς ΒΦ, καὶ ἁ ΝΟ κατὰ τὸ Ρ τετμά σθω ὥστε καὶ ΟΡ τᾶς ΡΗ διπλῆν εἶμεν· ἐσσεῖται δὴ τοῦ μείζονος ἀπ οτμάματος τοῦ στερεοῦ κέν τρον τοῦ βάρεος τὸ Ρ, τοῦ δὲ κατὰ τὰν ΙΠΟΣ τὸ Β· δέδεικται γὰρ ἐν ταῖς ἰσορροπείαις, ὅτι παν τὸς ὀρθογωνίου κώνου εἰδοῦς τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βά ρεὸς ἐστὶν ἐπὶ τοῦ ἄξονος διηι ρήσθω οὕτως, ὥστε τὸ ποτὶ τᾶι κορυφᾶι τοῦ ἄξονος τμᾶμα διπλάσιον εἶμεν τοῦ λοιποῦ. ἀ φαιρεθέντος δὴ τοῦ κατὰ τὰν ΙΠΟΣ τμάματος στερεοῦ ἀ πὸ τοῦ ὅλου τοῦ λοιποῦ κέν τρον ἐσσεῖται τοῦ βάρους ὁ ἐπὶ τᾶς ΒΓ εὐθείας· δέδεικται γὰρ τοῦ το ἐν τοῖς στοιχείοις τῶν μηχα νικῶν , ὅτι, εἴ κα μέγεθος ἀφαιρεθῆι μὴ τὸ αὐτὸ κέντρον ἔχον τοῦ βάρεος τῶι ὅλωι μεγέθει, τοῦ λοιποῦ τὸ κέντρον ἐσσεῖται τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰ κέντρα τοῦ τε ὅλου μεγέθεος καὶ τοῦ ἀφηιρημένου ἐπὶ τὰ αὐτά, ἐφ' οὓ τὸ κέντρον τοῦ ὅλου μεγέ θεος ἐστίν . ἐκβεβλήσθω δὴ ἁ ΒΡ ἐπὶ τὸ Γ, καὶ ἔστω τὸ Γ τοῦ βάρεος τοῦ λοιποῦ μεγέθεος. ἐπεὶ οὖν ἁ ΝΟ τᾶς μὲν ΟΡ· ἡμιολία, τᾶς δὲ μέχρι τοῦ ἄξονος οὐ μεῖζον εἲ ἡμιολί α, δῆλον, ὅτι ἁ ΡΟ τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος οὐκ ἐστὶ μείζων· ἡ ΠΡ ἄρα ποτὶ τὰν ΚΩ γωνίας ἀνίσους ποιεῖ, καὶ ἁ ὑπὸ τῶν ΡΠΩ γίνεται ὀξεῖ· ἁ ἀπὸ τοῦ Ρ ἄρα κάθετος ἐπὶ τὰν ΠΩ ἀγομένα μεταξὺ πεσεῖται τῶν Π, Ω. πιπτέτω ὡς ἁ ΡΘ· ἁ ΡΘ ἄρα ὀρθά ἐστιν ποτὶ τὸ κ ος ἐπίπεδον, ἐν ὧι ἐστιν ἁ ΣΙ, ὅ ἐστιν ἡ ἐπὶ τᾶς ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ. ἄχθωσαν δή τινες ἀπὸ τῶν Β, Γ παρὰ τὰν ΡΘ· ἐνεχθήσεται δὴ τὸ μὲν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τοῦ μεγέ θεος εἰς τὸ κάτω κατὰ τὰν διὰ τοῦ Γ ἀγομέναν κάθετον· ὑπόκειται γὰρ ἕκαστον τῶν βαρέων εἴς τὸ κάτω φέρεσθαι κατὰ τὰν κάθετον τὰν διὰ τοῦ κέντρου ἀγομέναν· τὸ δὲ ἐν τῶι ὑγρῶι μέγεθος, ἐπὶ κουφό τερον γίνεται τοῦ ὑγροῦ, ἐνεχθή σεται εἰς τὸ ἄνω κατὰ τὰν κάθε τον τὰν διὰ τοῦ Β ἀγομέναν. ἐπι πέδου κατὰ τὰν αὐτὰν κάθετον ἀλλὰ σι λη ω ἀντιθλίβονται, οὐ μενεῖ τὸ σχῆμα, ἀλλὰ τὰ μὲν κατὰ τὸ Α εἰς τὸ ἄνω ἐνεχθήσεται, τὰ δὲ κατὰ τὸ Λ εἰς τὸ κάτω, ἀεὶ ἕστε, ἕως ἂν ὀρθὸν ἀποκατασταθῆι.

ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κω νοειδέος, ὅταν τὸν ἄξονα ἔχηι μὴ μείζονα ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦς ἄξονας, πάντα λόγον ἔχον ποτὶ τὸ ὑγρὸν τῶι βάρει, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ ὅλαν εἶμεν ἐν τῶι ὑγρῶι, τε θὲν κεκλιμένον οὐ μενεῖ κεκλι μένον, ἀλλ' ἀποκαταστασεῖται οὕτως, ὥστε τὸν ἄξονα αὐτοῦ κα τὰ κάθετον εἶμεν.

ἀφείσθω γάρ τι τμᾶμα εἰς τὸ ὑγρόν, οἷον εἴρηται, καὶ ἔστω αὐτοῦ ἁ βάσει ἐν τῶι ὑ γρῶι, τμαθέντος δὲ αὐτοῦ ἐπιπέ δῶι διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῶι ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ το μὰ ἔστω ἁ ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά, ἄξων δὲ τοῦ τμά ματος καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ἁ ΠΦ, τᾶς δὲ ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ το μὰ ἁ ΙΣ. ἐπειδὴ οὖν κεκλιμένον κεῖται τὸ τμᾶμα, οὐκ ἐσσεῖται κα τὰ κάθετον ὁ ἄξων· οὐκ ἄρα ποιήσει ἁ ΠΦ ἴσας γωνίας ποτὶ τὰν ΙΣ. ἄχθω δή τις ἁ ΚΩ παρὰ τὰν ΙΣ ἐφαπτομένα κατὰ τὸ Ο τᾶς ΑΠΟΛ τομᾶς, καὶ τομὴ ΑΠΟΛ στερεοῦ ἔστω τοῦ βάρεος τὸ Ρ, τοῦ δὲ ΙΠΟΣ στερεοῦ τὸ Β, καὶ ἐπιζευχθεῖσα δὴ ΒΡ ἐκβεβλήσ θω, καὶ ἔστω κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Γ τοῦ ΙΣΛΑ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται ἁ μὲν ὑπὸ τᾶν ΡΟ, ΟΚ γωνίαν ὀξεῖ α ἁ δὲ ἀπὸ τοῦ Ρ κάθετος ἐπὶ τὰν ΚΩ ἀγομένα μεταξὺ πίπτουσα τῶν Κ, Ω· ἔστω ἁ ΡΘ. ἐὰν δὲ ἀπὸ τῶν Γ, Β ἀχθῆι τινες παρὰ τὰν ΡΘ, τὸ μὲν ἐν τῶι ὑγρῶι ἀπολαφθὲν ἐνεχθήσεται ἄνω κατὰ τὰν διὰ τοῦ Γ ἀγομέναν, τὸ δ' ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ κατὰ τὰν διὰ τοῦ Β ἀγομέ ναν κάτω, καὶ οὐ μενεῖ τὸ ΑΠΟΛ στερεὸν οὕτως ἔχον ἐν τῶι ὑγρῶι, ἀλλὰ τὸ μὲν κατὰ τὸ Α ἄνω τὰν φορὰν ἕξει, τὸ δὲ κατὰ τὸ Λ κάτω, ἕως ἂν γένηται ἁ ΠΦ κατὰ κάθ ετον.

τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνί ου κωνοειδέος, ὅταν τὸ ὑγρὸν κου φότερον ἧι καὶ τὸν ἄξονα ἔχηι μείζονα ην ἐλάσσονα δὲ ἢ ὥστε λόγον ἔχειν ποτὶ τὰν μέχρι τοῦ ἄξονος, ἢ ἡμιόλιον τῆς μέχρι τοῦ ἄξονος ὃν τὰ ρε ποτὶ δα, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν ὅ λαν εἶμεν ἐν τῶι ὑγρῶι, οὐδέποτε καταστασεῖται οὕτως, ὥστε τὰν βά σιν αὐτοῦ ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας.

ἔστω τμᾶμα, οἷον εἴρηται, καὶ ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑ γρὸν, καθάπερ ἐρρέθη, καθε στακέτω οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐ τοῦ ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφα νείας.

τμαθέντος γὰρ αὐτοῦ ἐπιπέδωι ὀρθῶι ποτὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν τομὰ ἔστω ἁ ΑΠ ΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά, ἔστω δὲ καὶ τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπι φανείας τομὰ ἁ ΣΑ, ἄξων δὲ ἔστω τοῦ τμάματος καὶ διάμετρος ἁ ΠΦ, πάλιν δὲ τεμνέσθω ἁ ΠΦ κατὰ μὲν τὸ Ρ, ὥστε διπλασίαν εἶμεν τὰν ΡΠ τᾶς ΡΦ, κατὰ δὲ τὸ Ω, ὥστε τὰν ΠΦ ποτὶ τὰν ΡΩ λόγον ἔχειν, ὃν τὰ ΙΕ ποτὶ τὰ Δ, καὶ ἁ ΩΚ ὀρθὰ ἄχθω τᾶι ΠΦ· ἐσσεῖται δὴ ἐλάσσων ἁ ΡΩ τᾶς μέχρι τοῦ ἄχονος. ἀπολάφθω οὖν τᾶι μέχρι τοῦ ἄξονος ἴσα ἁ ΡΗ, καὶ ἁ μὲν ΤΟ ἄχθω ἐφαπτομένα τᾶς τομᾶς κατὰ τὸ Ο παράλληλος ἐοῦσα τᾶι ΣΛ, ἁ δὲ ΝΟ τᾶι ΠΦ, τεμνέτω δὲ ἁ ΝΟ τὰν ΚΩ πρότερον κατὰ τὸ Ι. ὁμοίως δὴ τῶι πρὸ τούτου δειχθήσεται, ὅτι ἁ ΝΟ ἤτοι ἡμιολία τᾶς ΟΙ ἢ μεί ζον ἡμιολία· γίνεται δὴ ἁ ΟΙ τᾶς ΙΝ ἐλάσσων ἣ διπλασία. τᾶς ΒΝ, καὶ κατεσκευάσθω τὰ αὐτά· ὁμοίως δὴ δειχθήσεται ἁ ΡΘ ὀρθὰς γωνίας ποιοῦσα ποτὶ τὰν ΤΟ καὶ ποτὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν, καὶ ἀπὸ τῶν Β, Γ ἀχθεῖσαν παρὰ τὰν ΡΘ κάθετοι ἐσσοῦνται ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν. κατενεχθήσεται οὖν τὸ μὲν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τμᾶμα εἰς τὸ ὑγρὸν κατὰ τὰν διὰ τοῦ Β κάθετον, τὸ δ᾽ ἐν τῶι ὑγρῶι ἀνενεχθήσεται κατὰ τὰν Γ φανερὸν οὖν, ὅτι ἐπικλιθήσεται τὸ στερεόν, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μη δὲ καθ᾽ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐ πιφανείας, ἐπειδὴ νῦν καθ᾽ ἓν σα μεῖον ἀπτόμενον ἐπὶ τὸ κάτω φέρε ται ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῶι Α.

φανερὸν δὲ, ὅτι, κἂν ἁ ΟΝ μὴ τέμνηι τὰν ΩΚ, ταῦτα δειχθήσεται.